ЛпМА_Бесов

72 Гл. 5. Производные и дифференциалы

переменным. Это свойство называется инвариантностью формы первого дифференциала.

Пример 1. Найдём производную функции : 0,, . Эту функцию можно представить в виде

, 0 .

Применяя теорему о производной сложной функции, имеем

некоторых окрестностях 0 , 0 соответственно. Это условие можно заменить более общим, потребовав, чтобы какая-либо

под производными при необходимости понимать односторонние производные.

Покажем это. Пусть, например, функция : 0 0 имеет одностороннюю производную 0 . Доопределим на0 0 , положив

0 0 0 при 0

Тогда функция : 0 будет иметь обычную производную

доопределений функций , указанным способом остаётся лишь применить к ним теорему 1.

Покажем, как находить производную параметрически заданной функции, т. е. функции , заданной в виде

формулу дифференцирования сложной функции, получаем

/ , 0 0

При этом говорят, что функция неявно задана уравнением

/ , 0.

Предполагая, что дифференцируема на 0 и что левая часть тождества / , 0 представляет собой дифференцируемую функцию, продифференцируем это тождество почленно. Иногда оказывается (это зависит от вида /), что продифференцированное тождество может быть разрешено относительно . Найдя , мы тем самым получим производную неявно заданной

функции.

Пример 2. Пусть / , 2 2 1. Пусть —

полагая, что функция дифференцируема на 1, 1 , продифференцируем это тождество. Получим 2 2 0, т. е.

.

§5.6. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть на 0 функция определена и имеет производную . Производная также является функцией пере-

Теорема 1 (свойства производных высших порядков). Пусть существуют 0 , # 0 . Тогда в точке 0:

1Æ # # ;

2Æ (формула Лейбница)

Д о к а з а т е л ь с т в о формулы Лейбница проведём по индукции. В случае 1 эта формула была установлена выше. В предположении, что она верна для производной порядка , установим её для производной порядка 1.

Имеем

Введём теперь понятие дифференциалов высших порядков. Если функция такова, что её производная существует

является линейной функцией аргумента + , но в данном случае

будем считать + фиксированным). Если дифференцируема в точке 0 (т. е. 0 ), то можно рассмотреть дифференциал от + , т. е. Æ + (этот дифференциал обозначается новым символом Æ, чтобы отличить его от ранее построенного дифференциала +). Соответственно дифференциал независимого переменного в выражении дифференциала Æ будем обозначать через Æ .

Определение 1. Вторым дифференциалом функции в точке 0 называется

В этой цепочке равенств содержится не только определение второго дифференциала (первое равенство), но и его выражение

Последняя формула при 2 (в отличие от 1) верна лишь в случае, когда — независимое переменное. Покажем это в случае 2. Найдём выражение второго дифференциала сложной

емся, что второй дифференциал не обладает свойством инвариантности формы.

Определение 3. Функция называется непрерывно дифференцируемой в точке (на интервале, на отрезке), если её производная непрерывна в этой точке (на интервале, на отрезке). При этом в концах отрезка производная и непрерывность понимаются как односторонние.

Если заменить в этом определении на , , получим определение раз непрерывно дифференцируемой функции.

Г л а в а 6

СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

§ 6.1. Теоремы о среднем

Теорема 1 (Ферма). Пусть функция определена на 0

Д о к а з а т е л ь с т в о. Случай тривиален. Будем считать далее, что . По теореме Вейерштрасса в некоторых точках отрезка , функция принимает максимальное и минимальное значения. По крайней мере одна из этих точек

теореме Ферма производная в этой точке равна нулю, что и требовалось доказать.

Теорема 3 (Лагранжа о конечных приращениях). Пусть функция :

1Æ непрерывна на , ,

2Æ дифференцируема на , .

Тогда , .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Построим вспомогательную функцию / ) , в которой число ) выберем так, чтобы /

78 Гл. 6. Свойства дифференцируемых функций

называют формулой конечных приращений Лагранжа. Перепишем её в виде

к графику функции в точке , параллельна хорде, со-

имеет производную на , , разрывную в точке 0 0.

Теорема 4 (Коши о среднем). Пусть функции , #:

1Æ непрерывны на , ,

2Æ дифференцируемы на , ,

3Æ # 0 на , .

Тогда , , при котором справедлива формула конечных приращений Коши

Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим сначала, что # # , так как иначе в силу теоремы Ролля # должна была бы обращаться в нуль в некоторой точке интервала , , что противоречит условию 3Æ.

Пусть / )# , , . Выберем ) так, чтобы

/ / , т. е. )# )# . Отсюда

)

Тогда функция / удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Следовательно, , / 0. Последнее равенство переписывается в виде

откуда и следует утверждение теоремы.

Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши, когда # .

Упражнение 3. Можно ли доказать теорему Коши, написав формулы конечных приращений Лагранжа для функции и для функции # и поделив почленно первую формулу на вторую?

§6.2. Формула Тейлора

Вэтом параграфе будем считать, что , хотя некоторые утверждения сохраняются и для 0.

Пусть существует 0 . Тогда на некоторой окрестности0 можно написать равенство

которое называется формулой Тейлора функции в точке 0.

При этом 0 0 называется -м членом формулы Тей-

лора, % , # — многочленом Тейлора, , — остаточным членом формулы Тейлора (после -го члена).

Часто вместо % , , , пишут соответственно % ,

80Гл. 6. Свойства дифференцируемых функций

До к а з а т е л ь с т в о.

Теорема 1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано). Пусть , и пусть существует 0 . Тогда справедлива формула (1), в которой , * 0 при

0.

До к а з а т е л ь с т в о будем проводить по индукции. При

1 утверждение теоремы верно. В самом деле, в этом случае

1 ( 1) вместо , и покажем, что оно верно в приведённой форме. Используя теорему Лагранжа о конечных приращениях

1 $

1 0 1,

где 0 2 1.