Добавил:

linnesse Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Математический анализ

Файл:

ЛпМА_Бесов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2024

Размер:

3.6 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 487 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

62 Гл. 4. Непрерывные функции

и учитывая, что		0 1 в силу непрерывности функции
, получаем (1).
2Æ. 1. Из непрерывности функции имеем
0					1
					1	1 1 1
						1 1 1
	0	0		0
3Æ. 1.
0
Заметим, что						, где вертикальная черта
Заметим, что						, где вертикальная черта

означает, что в дробь			вместо следует подставить .
означает, что в дробь			вместо следует подставить .

Таким образом, функция представлена в виде суперпози-

ции двух функций. Используя непрерывность функции

в точке 0, равенство (1) и теорему о пределе суперпозиции двух функций, завершаем доказательство.

Видоизменённый вариант доказательства состоит в доопреде-

лении функции							единицей в точке 0 и использовании
лении функции							единицей в точке 0 и использовании

теоремы о непрерывности суперпозиции двух непрерывных функ-
ций.		1. Представив в виде
4Æ.																			,
4Æ.																			,
0
повторяем рассуждения из доказательства 3Æ.
5Æ. 1					1 . Покажем сначала, что
0									1				1						(2)
									1				1						(2)
							0 0
Напомним, что					1			1						1		1 1		и что при
Напомним, что					1									1				и что при

доказательстве этого было установлено убывание последователь-
				1 1
ности 1							.
ности 1							.					1				1

Пусть 0					1, ,												. Тогда
Пусть 0					1, ,						1						. Тогда
											1
1			2				1		2							1
1						1							1
1	1					1	1						1		1
										1 1				1				1 1	(3)
										1 1				1					(3)

Правая часть неравенства является, как легко проверить, монотонной функцией аргумента . Поэтому

		1 1		1	1
	1		1

0 0

§ 4.9. Некоторые замечательные пределы

Обоснование первого из этих равенств состоит в том, что

если функция имеет предел											, то он совпадает с пре-
							0 0
делом				для произвольной последовательности :
																1
	0 0 при			. В нашем случае												1	.
	0 0 при			. В нашем случае													.

Итак, показано, что правая часть (3) стремится к при
0 0.
Аналогично показывается, что левая часть (3) также стре-
мится к .
Переходя к пределу в неравенствах (3), получаем (2).
Теперь покажем, что
				1					1											(4)
				0 0
Пусть 1				0. Положив , .																	0,

															1 1
имеем															1 1
имеем
1 1 1			1 1					1										1
			1 1							1

						1								1
						1								1
																		1 . 1 1
Таким образом,
	1 1 1 . 1 1							1					, 1 0,
								1
т. е. функция			1 1		представлена							в виде							суперпозиции
Æ		двух функций, где
		0,			,			1, 0					0, ,
причём				0,			. .
		0 0			0 0
Применяя теорему о пределе суперпозиции, получаем, что
				1					1											(5)
				0 0

Из (4), (5) следует 5Æ.

Замечание 1. Теорема о пределе суперпозиции Æ была установлена для случая, когда функции , определены в проколотых окрестностях предельных точек.

Упражнение 1. Перенести эту теорему на нужный нам случай односторонних пределов.

Замечание 2. Вместо теоремы о пределе суперпозиции можно воспользоваться доказанной теоремой о непрерывности супер-

позиции непрерывных функций для Æ , где

64	Гл. 4. Непрерывные функции

							при . 0,
	. 1 . 1 1						при . 0;
					при 1			0,
	1
			0		при		0
6Æ.	1			( 0,			1).
6Æ.				( 0,			1).
0
Представив		1	1			1		1	в виде суперпо-
Представив			1			1		1	в виде суперпо-

									1 1 ,
зиции логарифмической функции и функции									1 1 ,

применяем теорему о пределе суперпозиции с учётом примера 5Æ.


7Æ.	1			1 (частный случай 6Æ).
7Æ.				1 (частный случай 6Æ).
0
8Æ.	1				( 0,			1).
8Æ.					( 0,			1).
0
Пусть 1.						1
	1 ,					1
Тогда									.
Тогда									.
								1 1
Остаётся воспользоваться теоремой о пределе суперпозиции
и примером 7Æ.
9Æ.	1		1 (частный случай 8Æ).
9Æ.			1 (частный случай 8Æ).
0										0
Из рассмотренных примеров следует, что при										0
							1			1
10Æ.		1 1			(доказать самостоятельно, исполь-
10Æ.					(доказать самостоятельно, исполь-
зуя 9Æ). 0

Г л а в а 5

ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

§ 5.1. Производная

Определение	1. Пусть функция определена		на 0 ,
0 .
Предел 0 , если он существует и конечен, на-
0	0
зывается производной (от) функции в точке		0	и обознача-
ется символом	0 .

Нахождение производной от функции называется дифференцированием. При дифференцировании конкретных функций используются обозначения вида .

Упражнение 1. Доказать, что функция, имеющая производную в данной точке, непрерывна в этой точке.

Примеры.						,	,	1
( ), .
Теорема 1 (арифметические свойства производных). Пусть
существуют 0 , # 0 . Тогда:
1Æ # 0					0 # 0 ;
2Æ	# 0				0 #	0 0 # 0 ;	в	частности,
	0		0 , где — постоянная;
3Æ	если #	0 0, то
						0 0 0 0
				0		0 2
Д о к а з а т е л ь с т в о						приведём лишь	для	дифферен-

цирования дроби. Другие формулы устанавливаются анало-

гично.		Положим		0,	0 0 ,
# # 0 # 0 . Тогда
		0
	0 0 0 0 0
				0 0
				0 0
			0 0				0
						0 0 0	0
			0 0			0 2
			0 0			0 2
при		0.

3 О.В. Бесов

66	Гл. 5. Производные и дифференциалы
	§ 5.2. Дифференциал

. Пусть её приращение в точке 0 может быть представлено
в виде			0
Определение 1. Пусть функция определена на 0 ,			0
	0 0 0 *		(1)
при	0, где .
Тогда функцию называют дифференцируемой в точке			0,
а линейную функцию
	+ 0 ,	,	(2)
— дифференциалом функции в точке		0.

0тогда

итолько тогда, когда существует 0 . При этом 0 .

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1Æ. Пусть функция дифференцируема в точке 0. Тогда справедливо равенство (1).

Поделив его почленно на , получим

	0 * 1

Переходя в этом равенстве к пределу при			0, получим,
что	0 .
2Æ. Пусть теперь существует
	0 0
	0
Тогда	0 0 * 1 при	0.

Умножая последнее равенство почленно на , получаем
	0 0 * при		0	(3)

Это означает, что приращение функции представлено в виде (1) с 0 , так что функция дифференцируема в точке 0.

Теорема 2. Пусть функция дифференцируема в точке 0. Тогда непрерывна в точке 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию теоремы приращение0 представимо в виде (1). Из (1) следует, что 0 0 при 0, а это и означает непрерывность функции в точке 0.

§ 5.3. Геометрический смысл производной и дифференциала	67
Пример , 0 0, показывает, что непрерывность

функции в точке не влечёт за собой её дифференцируемости в этой точке.

Последние две теоремы утверждают, что дифференциру-

емость функции в точке	0	и существование		производной
0 — эквивалентные свойства и что каждое из них сильнее
свойства непрерывности функции в точке			0.
Представление (1), как показано, можно записать в виде (3).
Выражение (2) дифференциала функции в точке				0 записыва-
ется также в виде
+ 0 0 ,
В последней формуле переменное			часто (ради симметрии
записи) обозначают через +	. Тогда дифференциал + 0
принимает вид
+ 0 0 + ,		+

При этом + называют дифференциалом независимого пе-

ременного, а + 0 — дифференциалом функции. Символом

часто обозначают производную , но теперь видно, что на него можно смотреть как на частное двух дифференциалов.

Теорема 3 (арифметические свойства дифференциалов).

Пусть функции , # дифференцируемы в точке 0. Тогда функ-

ции #, #, и в случае # 0		0 также и дифференцируе-
мы в точке	0, причём в этой точке:

1Æ + # + +#;
2Æ + # # + +#;
3Æ + .
	2

Д о к а з а т е л ь с т в о следует из соответствующих формул

для производных. Установим для примера 2Æ. Формулу производной произведения # # # умножим почленно на + . Получим

+ # # + # + # + # + +#

§5.3. Геометрический смысл производной

идифференциала

Проведём секущую 0 через точки 0 0, 0

и 0 , 0 графика функции , где 0 (см. рис. 1).

68	Гл. 5. Производные и дифференциалы
	y		y = f(x)
	y
			Mh
			df	f
	y0	M0	df
		M0

	O	x0	x0 + h	x
		Рис. 1

Уравнение секущей 0 имеет вид

0 0,

где 0 0	,	0 0	.
Устремим
Устремим	к нулю. Тогда точка будет стремиться

к 0, секущая — поворачиваться, меняя свой угловой коэффициент , который стремится к конечному пределу тогда и только тогда, когда существует 0 : 0 0 .

Прямую, проходящую через точку 0, 0 графика и являющуюся «предельным положением секущей», называют каса-

тельной. Дадим точное определение.
Определение 1. Пусть	существует 0 .		Касательной
к графику функции в точке 0,		0 называется прямая
0 0	0 ,	где 0	0

Теорема 1. Пусть функция определена на 0 и существует 0 . Тогда среди всех прямых, проходящих через

точку 0, 0 ( пр ) 0 0, 0 0 ), касательная к графику функции и только она обладает свойством

пр * 0 при

Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку функция дифференцируема в точке 0, то имеем

0 0 0 * 0 при

Отсюда

пр 0 ) 0 * 0

§ 5.3. Геометрический смысл производной и дифференциала		69
Правая часть равенства есть * 0 при	0 тогда и только
тогда, когда ) 0 , т. е. когда прямая	пр )	0 0
является касательной.

Доказанная теорема показывает, что касательная в окрестности точки касания расположена «ближе» к графику функции, чем другие прямые.

Производная 0 , являясь угловым коэффициентом касательной, равна , где — угол между осью абсцисс и касательной, отсчитываемый от оси абсцисс в направлении кратчайшего поворота от базисного вектора оси абсцисс к базисному

вектору оси ординат. Дифференциал функции + 0 0
при заданном равен приращению ординаты касательной.
Определение 2. Пусть функция								непрерывна в точке		0
и	( , ) при					0. Тогда говорят, что имеет
						точке	0,	0 ( , ),
бесконечную производную в
и что график функции имеет в точке								0, 0 вертикальную
касательную			0.
Ранее рассмотренную касательную с конечным угловым ко-
эффициентом			0 часто называют наклонной касательной.
Определение 3. Правой (левой) односторонней производ-
ной функции в точке					0 называется число
			0			0 0

				0 0
			0			0 0			,

				0 0
если этот предел существует и конечен.
Слово «односторонняя» часто опускают и называют 0
правой, а		0 — левой производной.
Теорема 2. Производная						0	существует тогда и толь-
ко тогда, когда существуют односторонние производные										0 ,
					.
0	и 0 0
Докажите в качестве упражнения.
Теорема 3. Пусть существует							односторонняя производная
	. Тогда функция непрерывна справа в точке 0.
0

Докажите в качестве упражнения. Сформулируйте и докажите аналогичную теорему о непрерывности слева.

Замечание 1. На основе односторонней производной можно ввести понятие односторонней касательной.

Упражнение 1. Рассмотреть с этой точки зрения пример

70		Гл. 5. Производные и дифференциалы
§ 5.4. Производная обратной функции
Теорема 1. Пусть функция непрерывна и строго
монотонна на		0 , и пусть 0 0. Тогда обратная функ-
ция 1 имеет производную в точке 0 0 , причём
1 0	1		.

	0

Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме 4.5.2 об обратной функции 1 определена, строго монотонна и непрерывна на некоторой окрестности 0 точки 0.

Из дифференцируемости функции в точке 0 следует, что

приращения	0 и 0 0 связаны
соотношением
0 ,
где 0 при	0.

В силу строгой монотонности каждое из приращений ,однозначно определяется другим. Будем считать теперь независимым, тогда . При этом 0 0, строго монотонна и непрерывна на некоторой окрестности 0 точки 0. Тогда

По теореме о пределе суперпозиции			0 при 0.
Тогда
	1	1		при 0,

	0
	0	0

что и требовалось доказать.

Другое доказательство этой же теоремы можно провести так:

			1

0		0

	1			1		1	(1)
							(1)
0			0		0
0			0		0

Здесь запись		означает, что отношение				рассмат-

ривается как функция аргумента . Принципиально важным

является предпоследнее равенство, которое следует из теоремы о пределе суперпозиции.

§ 5.5. Производная сложной функции

Теорема 1.	Пусть 0 ,	0 , где 0			0 . Тогда
0 0 0 .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из существования 0				,	0 сле-
дует, что , непрерывны в точках 0,			0 соответственно. По
теореме о непрерывности суперпозиции непрерывных функций
суперпозиция	. /

определена на некоторой окрестности			0 точки	0	. Из усло-
вий теоремы следует, что приращения . и соответственно
функций и	представимы в виде
. 0 ,			0 при		0,
0 1 ,		1	0 при		0

Доопределим функцию в точке 0, положив 0 0, тогда первое из этих равенств окажется верным и при 0.

Считая, что в первом из этих равенств приращение вызвано приращением , выразим . через , подставляя из второго равенства в первое:

. / 0 0 0 1

0 0 0 1

Поделив это равенство почленно на , получим

0 0 0 1

Учитывая, что		0, а			0 при			0, и пе-
								0, получаем
реходя в последнем равенстве к пределу при
утверждение теоремы.
Рассмотрим в точке "0		, дифференциал сложной функ-
ции , где функции :			,		и : ,		, имеют
соответственно производные 0				и	"0 , где		0	"0 . В си-
лу теоремы о производной сложной функции
+ "0 "0 "0 +" "0 + "0
Опустим обозначение аргумента "0:
	+ +	,	где		,		,
Здесь +	— дифференциал функции. Мы видим, что дифферен-
циал +	имеет ту же форму, как если бы					было независимым

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 487 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
28.12.20243.6 Mб3ЛпМА_Бесов.pdf
#
28.12.2024102.1 Кб0обозначения.pdf