ЛпМА_Бесов

52

Гл. 4. Непрерывные функции

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть,

для

определённости,

$ . Поделим

отрезок , пополам

и

через

1, 1

обозначим

такую

его

половину,

для

которой

1 $ 1 . Затем

поделим

отрезок

1, 1

пополам

и

через

2, 2

обозначим

такую

его

половину,

для

которой

2 $ 2

. Продолжая процесс, получим стягивающуюся

систему вложенных отрезков ,

, для которых

$

Пусть , . Тогда

,

при

и (в силу непрерывности функции в точке )

,

при

, . Тогда функция принимает все значения

,

,

§ 4.5. Обратные функции

53

(единственное) значение , для которого

, обозна-

чим полученную функцию символом

1

1 ,

1

,

1

Лемма 1. Пусть функция

строго монотонна на

множестве . Тогда обратная функция 1

строго

монотонна на множестве .

симметричны относительно прямой .

Теорема 1. Пусть функция

,

задана на отрез-

ке , , строго возрастает и непрерывна.

Тогда

обратная

функция

задана

на

отрезке

,

, , строго возрастает и непрерывна на нём.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Найдём область значений функ-

ции . Поскольку

, , то , .

C другой

стороны,

по теореме

Коши

$ ,

, :

54

Гл. 4. Непрерывные функции

Рис. 1

Теорема 2. Пусть функция

,

задана на интерва-

ле , , строго возрастает и непрерывна на нём.

Тогда обратная функция задана, строго возрастает и непре-

рывна на интервале , , .

,

,

Д о к а з а т е л ь с т в о. Найдём область значений

функ-

ции . Покажем, что

,

(1)

В самом деле, допущение, например, того, что 0 при

некотором

0 , , означало бы в силу строгого возрастания

, что

0, , что противоречит тому, что

.

,

Покажем теперь, что

0 ,

0 , 0 0

(2)

Из определения верхней и нижней граней следует, что

1, 2 , 1 0, 2 0

Применяя к сужению 1, 2 функции на отрезок

1, 2

§ 4.6. Показательная функция

55

1

, строго возрастает и непрерывна на 0, .

В этом параграфе буквами , , с индексами будем обозначать

рациональные числа, число

0.

Для

рационального показателя степени

,

где ,

и дробь несократима, полагают при

0

1 ,

1

Тем самым определено

0, , ;

0

(1)

Будем считать известными следующие свойства показатель-

ной функции рационального аргумента .

1Æ

1 2 1 2 при

1, 1

2 при 0 1;

2Æ 1 2 1 2 ;

3Æ 1 2 1 2 ;

4Æ

0 1;

5Æ

.

Лемма 1 (Бернулли). Пусть

1, , 1. Тогда

1 2 1

(2)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сначала

1

, . Поло-

жим ) 1 1 0. Тогда

1

1 ),

1 ), откуда

)

1

, т. е.

1 1

1

1 ,

(3)

Пусть теперь 0 1. Тогда

1

1

при некотором

1

. Используя (3) и монотонность функции

, получаем

1

1 1

1

1

2

1 2 1 ,

1

и неравенство (2) в этом случае установлено.

Пусть теперь 1 0. Тогда

1 1 2 1

Учитывая, что 1, получаем отсюда (2).

Лемма доказана.

Определение 1. Пусть 0,

,

.

Тогда

Это определение корректно в следующем смысле:

1)

существует и конечен;

2)

не зависит от выбора сходящейся к

последова-

тельности ;

3) в случае

значение

по этому определению совпа-

дает с прежним.

Установим 1). Пусть

1,

(

). Тогда

1

, 1 в силу сходимости последовательности

. С помощью неравенства Бернулли имеем для , 1:

1

2

1

(4)

Заметим, что последовательность

ограничена (как вся-

кая сходящаяся), поэтому при некотором 0

1

(5)

В силу сходимости последовательности

для неё выпол-

няется условие Коши:

0 ,

Отсюда и из (4) при 0 1 имеем

2 1 ,

Это означает, что для последовательности

выполняется

условие Коши. В силу критерия Коши она сходится, т. е.

существует и конечен. Из (5) следует, что

0.

§ 4.6. Показательная функция

57

1

Пусть теперь 0

1. Тогда

, и существование

1

предела

следует из уже установленного существования

1

.

положительного предела

Случай 1 тривиален.

Установим 2). Пусть

1,

,

при . Тогда

0 при

, и с помощью неравенства Бернулли

имеем

1 2 1

0

Отсюда следует, что

0,

что и требовалось показать.

Случай 0

1 сводится к рассмотренному с помощью

равенства

1

.

1

Установим 3). Для этого достаточно рассмотреть последова-

тельность , где

.

Определение 2. При

0 функция

,

, ,

называется показательной с основанием .

Функция

,

, , называется экспоненциаль-

ной. Иногда вместо пишут .

Теорема 1. Показательная функция имеет следующие свой-

ства:

1Æ 0 , ;

2Æ

при

1 строго возрастает, при

0

1 строго

убывает;

3Æ

;

4Æ ;

5Æ

;

6Æ

непрерывна на , .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1Æ.

Это свойство следует из 2Æ

и из (1).

2Æ. Пусть

1,

. Пусть , , — рациональные числа,

причём

, .

Пусть

, ,

(

), причём , , ,

§ 4.7. Логарифмическая и степенная функции

59

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 1. Тогда

0,

.

,

,

В самом деле, 1 1

,

1

0 (

).

1

,

Установим некоторые свойства логарифмической функции.

1Æ.

при

, 0.

. Из

Сравним

и

их совпадения следует 1Æ (объяснить, почему).

2Æ.

при

0, .

. Из их

Сравним

и

совпадения следует 2Æ.

3Æ.

1 при

0, 0, 1, 1.

1

. Из

Сравним

и

их совпадения следует 3Æ.

Определение 2. Пусть . Функция

0,

0,

60

Гл. 4. Непрерывные функции

Лемма 1.

(1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сначала 0

. Рассмот-

2

рим часть тригонометрического круга, лежащую в первом квад-

ранте (рис. 1).

Пусть радианная мера угла ' рав-

на . Тогда длина дуги

равна

, а длина

отрезка $ равна

$ . Из геомет-

рии известно, что

$

Этим оценка (1) установлена при 0 .

Рис. 1

2

В силу чётности обеих частей (1) она верна

и при

0. Остаётся заметить, что (1) очевидно при

2

0 и при

1.

Теорема 1. Функции ,

, ,

непрерывны на

своих областях определения.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем,

что функция

непрерывна в произвольной точке

0 . Имеем

0 0 2 0

2

2

В силу (1)

2

,

2

так что

0 при

0, что и доказывает непрерывность

функции

в точке

0.

§ 4.9. Некоторые замечательные пределы

61

Непрерывность функции

доказывается аналогично или

с использованием равенства

и

теоремы

2

о непрерывности суперпозиции непрерывных функций.

Функции

,

непрерывны в точках,

где знаменатели отличны от нуля, как частные непрерывных

функций.

Символами

1, 1

,

,

2

2

1, 1

0, - ,

,

,

,

2 2

,

0, -

обозначаются функции, обратные к сужению

на ,

,

2 2

к сужению на 0, - , к сужению

на ,

, к суже-

нию на 0, - соответственно.

2

2

Теорема 2.

Функции

,

, ,

1Æ

1

(1)

0

Рассматривая в тригонометрическом круге сектор с углом

радианной меры

, 0

, и два треугольника с тем же

2

углом (см. рис. 4.8.1) и сравнивая их площади, получаем

1

1

1

,

откуда

2

2

2

1, 0

2

Из чётности функций и

следует, что те же неравенства

верны и при 0

. Переходя в них к пределу при

0

2