Добавил:

linnesse Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Математический анализ

Файл:

ЛпМА_Бесов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2024

Размер:

3.6 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 4546 / 4846 47 48 > Следующая >>>

452 Гл. 28. Обобщённые функции

Пример 1. При любом		0 функция
2		2 2 при	,
	0	при

принадлежит пространству $ (ср. с примером функции из
начала § 17.3).	0

Этот пример показывает, что пространство $ содержит
функции, отличные от тождественного нуля.			0

Пример 2. Пусть функция :		локально абсолютно

интегрируема, т. е. абсолютно интегрируема на каждом отрезке, , . Тогда функционал, определённый равенством


	+	,	(1)

является обобщённой	функцией,	т. е. элементом	пространст-
ва .

Определение 7. Обобщённая функция называется регулярной, если её значения на любой функции представимы в виде (1) с некоторой локально абсолютно интегрируемой функцией .

В противном случае обобщённая функция называется сингулярной.

Регулярная обобщённая функция, определяемая формулой (1), обозначается тем же символом и отождествляется с локально абсолютно интегрируемой функцией . Таким образом, можно сказать, что содержит все локально абсолютно интегрируемые функции.

Пример 3. Æ-функция, определяемая формулой

Æ, 0 ,

является сингулярной обобщённой функцией. Покажем это. Допустив противное, предположим, что

Æ, +

при некоторой локально абсолютно интегрируемой функции . Тогда для функции из примера 1

2 2 2 + 0 1 0, 1

§ 28.2. Дифференцирование обобщённых функций

453

Но это равенство не выполняется при малых значениях , так как его левая часть ограничена интегралом


+	0 при	0 0

Следовательно, Æ-функция является сингулярной обобщённой функцией.

Пример 4. Последовательность неотрицательных

абсолютно интегрируемых на , функций называется

Æ-образной последовательностью, если:

1Æ + 1 ;

2Æ +

Примером Æ-образной последовательности является последо-

вательность функций

при

Упражнение 1. Показать,

что

если

— Æ-образная

последовательность, то

при

т. е. (в соответствии с определением сходимости в )

при

§ 28.2. Дифференцирование обобщённых функций

Если

функция

непрерывно

дифференцируема на

, , то для любой функции

Благодаря этому соотношению становится естественным

Определение 1. Пусть . Обобщённая функция ,

задаваемая формулой

(1)

называется производной обобщённой функции .

454 Гл. 28. Обобщённые функции

Читателю предлагается проверить, что функционал, стоящий в правой части (1), является линейным и непрерывным на , т. е. обобщённой функцией.

Переход от обобщённой функции к её производной называется операцией дифференцирования.

Теорема 1. Справедливы следующие свойства операции диф-

ференцирования:
1Æ	(линейность)
	# #				, # ,		, ;
2Æ	(непрерывность)
	при			в			в

Д о к а з а т е л ь с т в о.				1Æ. Для		любой	функции
имеем
# , #,					, #,
			, # ,				# ,
2Æ. Пусть		в при			. Тогда для любой функции
			,		,		при
, ,			,		,		при

Пример 1. Пусть 2 — функция Хевисайда
		2		0	при	0,
		2		1	при	0
Рассматривая 2 как обобщённую функцию, найдём её произ-
водную. Пусть		. Тогда

	2 , 2,				+ 0 Æ,
				0

Следовательно, 2 Æ.

Определение 2. Пусть , . Обобщённая функция, задаваемая формулой

, 1 , ,

(2)

называется производной порядка обобщённой функции . Так же, как в случае 1, проверяется, что функционал

, из правой части (2) является линейным и непрерывным на , т. е. обобщённой функцией.

§ 28.3. Пространства # и # основных и обобщённых функций		455
Упражнение 1.	Вычислить производную второго порядка
функции .
Мы видим, что	каждую обобщённую функцию ( )

можно дифференцировать и притом сколько угодно раз, а её производная порядка также является обобщённой функцией (элементом ) при любом .


Определение 3. Пусть . Ряд		называ-
		1
ется рядом обобщённых функций. Этот ряд называется сходя-
щимся в к , если
8	в при
	1
При этом пишут
		(3)

Из непрерывности операции дифференцирования (свойство 2Æ теоремы 1) следует, что всякий сходящийся в ряд обобщённых функций (3) можно почленно дифференцировать:

и полученный ряд также будет сходиться в .

Определение 4. Пусть , а функция ) бесконечно дифференцируема на , . Произведением ) называется обобщённая функция, задаваемая формулой

), , ) $

Упражнение 2. Показать, что ) — линейный непрерывный функционал на , т. е. обобщённая функция из .

§ 28.3. Пространства и

основных и обобщённых функций

Наряду с парой и основных и обобщённых функций важную роль в математическом анализе и теории дифференциальных уравнений в частных производных играет пара пространств 8 и 8 (называемых пространствами Шварца) основных и обобщённых функций. Эти пространства

456	Гл. 28. Обобщённые функции

замечательны тем, что они инвариантны относительно преобразования Фурье:

8 / 8, 8 / 8

Определение 1. Пространством 8 (Шварца) называется линейное пространство комплекснозначных бесконечно дифференцируемых на , функций , для которых конечна каждая из полунорм

% % , , 0 (1)

+ +

при естественном определении сложения функций и умножения функции на комплексное число.

При функция 8 и каждая из её производных убывает быстрее любой степени функции 1 . Такую функцию называют быстро убывающей.

Заметим, что $			8	, однако 8 не совпадает с $ . Так,
		0	8					0
функция	2		принадлежит 8, но не $ .
Введём в 8 понятие сходимости.						0
Введём в 8 понятие сходимости.
Определение		2.	Последовательность					функций
8 называется сходящейся к							1
8 называется сходящейся к					функции		8,	если при
	% % , 0				, 0			(2)
В других терминах сходимость (2) означает, что для любых
, 0	при

на ,

Определение 3. Линейное пространство 8 с введённой сходимостью (2) называется пространством 8 основных функций.

Определение 4. Линейный непрерывный функционал на 8

называется обобщённой функцией медленного роста.

Пример 1. Пусть функция локально абсолютно интегрируема, и пусть при некоторых 0,

1 , ,

Тогда функционал

, + 8

является обобщённой функцией медленного роста.

§ 28.3. Пространства # и # основных и обобщённых функций

457

Определение 5. Пространством 8 (Шварца) обобщённых функций (медленного роста) называется линейное пространство обобщённых функций медленного роста с введёнными в нём операциями сложения, умножения на комплексное число, а также сходимостью по следующим правилам:

1Æ #, , #, , # 8 , , ,

2Æ последовательность		, 8 , называется
сходящейся в 8 к 8 при 1		, если при
, ,	8
В пространстве 8 равенством
, ,	8

определена операция дифференцирования. Эта операция непре-

рывна в 8 в том смысле, что (при								)				в 8
в 8 .
в 8 .
Отсюда следует, что при , 8
				4					4
				4					4

		1				1
В пространстве 8 формулой
	>, , > 8,									8
определена операция умножения на многочлен > >													.
Преобразование			Фурье		/		и	обратное				преобразование
Фурье / 1 для			8 имеют вид:
					1
		/			1			+,


					2

		1			1
	/	1			1						+

					2
					2

Упражнение 1. Установить следующие свойства преобразо-
вания Фурье:
1Æ	8 / , / 1 8;
2Æ	преобразование Фурье взаимно однозначно отображает 8
на 8;

458				Гл. 28. Обобщённые функции
	3Æ операции преобразования Фурье /							и обратного преоб-
разования Фурье / 1					непрерывны в 8 в том смысле, что при

						/ 1		4 / 1
		4	/ 4 / ,			/ 1		4 / 1
соответственно.
	Равенство			.
	+			.

	-	+		0	+		+		.
	-			0			+		.

								+ +
для функции			8 и абсолютно интегрируемой-						на 0 ,
функции делает естественным

Определение 6. Преобразованием (обратным преобразованием) Фурье обобщённой функции 8 называется обобщённая функция / (/ 1 ), определённая равенством

/ , , / / 1 , , / 1 8

Упражнение 2. Установить следующие свойства преобразования Фурье обобщённых функций:

1Æ 8 / 8 , / 1 8 ;

2Æ	8 " 8 ;
3Æ	(непрерывность) при
	в 8 / / в 8 , / 1 / 1 в 8 ;

4Æ	/ / 8 ;
5Æ	/ / 8 .

ПРИЛОЖЕНИЕ

Производные основных элементарных функций

$ 0 ($ — постоянная);

1, ;
,						0;
			1,			0;
						, 0, 0,

							1;
	1
			,		0;

		1		,		0;

					;
						;
			1			2	;

	2

						1					2 ;

				2
									1				;


							1 2
							1 2
												1		;


									1 2
						1						;

						1 2
						1 2
									1				;

									1 2
$	$					;
$	$					;
$			1					;
$								;
		2

$						1				.

					2

460	Приложения

Простейшие неопределённые интегралы

		0 +					$;
	+					1					1 $, 1;

								1
									$;

					+	1			$;


										$;

		1 2
										$;


1 2
1 2

											2 1 $;


2 1
2 1
					+					$;
					+				$;
									$;

			2


				2						$

Формулы Тейлора для основных элементарных функций

461

Формулы Тейлора для основных элементарных функций

					(при				0)
		* ;
	0 #
				1		2			2 1	;
				1		2# *				;
	0					2# *
	0
				1		2 1			2 2		;
				1		2# 1 *					;
	0					2# 1 *
	0
$		2						2 1 ;
$								2 1 ;
	0 2# *
$				2 1					2 2 ;
$									2 2 ;
	0 2# 1 *
				1		2 1			2 2 ;
				1					2 2 ;
	0					2# 1 *
	0
				1
1			1				* ;
1							* ;
		1		#
		1
				1 ... # 1
1 1												* ;
1 1									#			* ;
				1					#
				1

	1		*
	1

	1 0
	1 0

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 4546 / 4846 47 48 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
28.12.20243.6 Mб4ЛпМА_Бесов.pdf
#
28.12.2024102.1 Кб0обозначения.pdf