ЛпМА_Бесов

ющим свойствам рядов Фурье по тригонометрической системе. В качестве примера можно сравнить формулировки теорем 1 и 24.2.1. Для интегралов Фурье и для рядов Фурье справедлив принцип локализации, аналогичны различные условия сходимости в точке (например, в терминах условий Гёльдера) и равномерной сходимости, одинаково влияние гладкости функции на скорость сходимости рядов Фурье и интегралов Фурье. Для интегралов Фурье имеются аналог равенства Парсеваля и др.

Напомним, что для комплекснозначной функции действительного аргумента "

I " 0 " = " , 0 " , = " " , ;

интеграл Римана и несобственный интеграл Римана определяются так же, как для действительнозначной функции. При этом

I " +" 0 " +" = " +",

если два последних интеграла существуют, и

I " +" I " +",

если интеграл в левой части существует как интеграл Римана или абсолютно сходится как несобственный интеграл с несколькими особенностями.

Определение 2. Пусть функция : , интегрируема по Риману на любом отрезке 3, 3 , 3 0. Тогда главным

главным значением (valeur principale) интеграла + называется

Если интеграл сходится как несобственный, то он имеет, очевидно, и главное значение, совпадающее с несобственным интегралом. Обратное неверно. Например, главные значения ин-

интегралы расходятся как несобственные.

Пусть функция абсолютно интегрируема на , и в каждой точке имеет обе односторонние производные (а значит,

инепрерывна на , ). Тогда по теореме 1 для любого

теграла Фурье). Это разложение, имеющее в комплексной форме вид (27.1.7), можно переписать так:

Правая часть (1) представляет собой результат двух последовательно применённых интегральных преобразований.

Определение 1. Пусть комплекснозначная функция :, абсолютно интегрируема на любом отрезке

3, 3 , .

Преобразование Фурье функции определяется формулой

446 Гл. 27. Интеграл Фурье и преобразование Фурье

Обратное преобразование Фурье функции определяется формулой

интегрируема на , и имеет в каждой точке обе односторонние производные.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Первая из формул (5) совпадает с ранее установленной формулой (1), а вторая получается применением первой к функции .

Формулы (5) называют формулами обращения.

Замечание 1. Теорема 1 доказана для действительнозначных функций . Она справедлива и для комплекснозначных

теоремой 1 для функций # и .

Эти же соображения применимы и при выводе ряда других свойств преобразований / и / 1. Поэтому при их формулировке и доказательстве можно ограничиться рассмотрением лишь действительнозначных функций.

Установим некоторые свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций.

/ )1 1 )2 2 )1/ 1 )2/ 2 )1, )2 ;

Изучим преобразование Фурье производных и производные преобразования Фурье.

Теорема 2. Пусть на , функция абсолютно интегрируема, а производная непрерывна и абсолютно интегрируема.

Тогда

Следствие. Пусть на , функция абсолютно интегрируема вместе со своими производными до порядка включительно, и пусть непрерывна на , .

терминах. Этот (в частности) вопрос разрешим в рамках теории обобщённых функций, созданной С.Л. Соболевым в 30-е

иЛ. Шварцем в 50-е годы прошлого века.

Врассмотренном примере использованное понятие поточечного предельного перехода можно заменить другим. Если — произвольная непрерывная на , функция, то существует предел

Отображение, которое каждой функции некоторого класса ставит в соответствие число, называется функционалом. Предпоследнее равенство означает, что Æ — функционал, определённый на множестве всех непрерывных на , функций и ставящий в соответствие каждой непрерывной функции её значение в точке 0. Функционал Æ называют Æ-функцией Дирака. Функцию Æ также можно рассматривать как функционал на множестве всех непрерывных функций, действующий по фор-

муле

Æ + ,

в которой интеграл можно понимать как интеграл Римана по

тогда и только тогда, когда её носитель компактен (т. е. является замкнутым ограниченным множеством).