ЛпМА_Бесов

Перейдём в этом равенстве к пределу при 3 0. Левая часть

(7) в силу теоремы 26.2.3 имеет конечный предел

, + + +

— интеграл от функции, непрерывной на , + в силу теоремы 4.

Всамом деле,

, + + , + +

при 3 0 в силу равномерной сходимости на , + . Следовательно, и правая часть (7) имеет конечный предел, который по определению несобственного интеграла есть правая часть (6).

Переходя в равенстве (7) к пределу при 3 0, получаем равенство (6).

Упражнение 5. Получить теоремы 4 (при 1), 6 в качестве следствий из теорем 26.2.2, 26.2.3 соответственно. Такие их доказательства сравнить с доказательствами теорем 16 3 1 , 16 3 2 .

434Гл. 26. Интегралы, зависящие от параметра

Вправой части последнего равенства первый из интегралов сходится в силу сходимости второго интеграла и интеграла в левой части этого равенства. Дифференцируя полученное тождество, имеем

найдя его производную с помощью дифференцирования

под знаком интеграла. Затем воспользоваться упражнением 2. Для доказательства равномерной сходимости несобственного

интеграла иногда бывает полезно применить интегрирование по частям, «улучшающее» сходимость интеграла.

Пример 2. Интеграл

сходится, но не абсолютно (ср. с примером 14.7.3). В результате

1

интегрирования по частям получается интеграл 2 + ,

1

сходящийся абсолютно и (по признаку Вейерштрасса) равномерно на .

Приведём точные рассуждения. В соответствии с определением 1 оценим

>

Тогда интеграл (9) сходится равномерно на .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся критерием Коши равномерной сходимости несобственного интеграла (теорема 1). Для этого при 3 3 оценим интеграл

3 , 3 , , # , +

2 # 3 , # , + 2 2 # 3 , # 3 ,

436 Гл. 26. Интегралы, зависящие от параметра

1Æ интеграл

, +

сходится равномерно на , 2Æ функция # равномерно ограничена, т. е. существует число

0 такое, что

# , при , ,

Тогда интеграл из (9) сходится равномерно на .

Д о к а з а т е л ь с т в о предлагается провести самостоятельно, оценив, как и при доказательстве признака Дирихле, интеграл 3 , 3 , .

Упражнение 7. Установить равномерную сходимость интеграла из примера 2 с помощью признака Дирихле.

Упражнение 8. С помощью признака Абеля доказать утверждение из упражнения 2, воспользовавшись примером 14.7.3.

До сих пор в этом параграфе рассматривались несобственные интегралы с особенностью на верхнем пределе интегрирования. Аналогично изучают зависящие от параметра несобственные интегралы с особенностью на нижнем пределе интегрирования (см. определение 14.7.3) и зависящие от параметра несобственные интегралы с несколькими особенностями (см. определение 14.7.5). В последнем случае интеграл

, + , , ,

с несколькими особенностями представляется в виде суммы интегралов:

0 1 ... ,

где каждый из интегралов является несобственным с одной особенностью на верхнем либо на нижнем пределе интегрирования. При этом интеграл называется равномерно сходящимся на , если каждый из интегралов равномерно сходится на .

Пример 3. Гамма-функция Эйлера

есть интеграл, имеющий две особенности на нижнем и на верхнем пределах интегрирования. Представим 7 9 в виде

Легко видеть, что первый интеграл сходится при 9 0 и расходится при 9 0, а второй сходится при 9 0. Следовательно, интеграл (10) сходится при 9 0.

Интеграл (10) сходится равномерно на любом отрезке90, 91 0, , так как на таком отрезке равномерно сходятся оба интеграла из (11), что устанавливается с помощью признака Вейерштрасса с мажорантами 0 0 1, 1 1 1 соответственно. Следовательно, гамма-функция 7 9 непрерывна при 9 0 по теореме 4.

При 9 0 с помощью интегрирования по частям имеем

Значит, при 9 0

7 9 9 1 ... 9 1 97 9

Из этой формулы видно, что по значениям гамма-функции на полуинтервале 0, 1 можно вычислить её значения для любого аргумента 9 1.

Поскольку 7 1 1, то из последнего соотношения получаем

7 1 , ,

т. е. функция 7 9 1 является продолжением функции 9 9 с множества целых неотрицательных чисел на полуось

9 9 1 .

438 Гл. 26. Интегралы, зависящие от параметра

Пример 4. Бета-функция Эйлера

зависит от двух параметров: >, ?. Интеграл имеет две особенности на нижнем и на верхнем пределах интегрирования. Поэтому представим его в виде

Первый из интегралов в (13) сходится при > 0 и расходится при > 0, а второй сходится при ? 0 и расходится при ? 0. Следовательно, бета-функция >, ? определена на первом квадранте >, ? : > 0, ? 0 0, 0, .

Интеграл (12) равномерно сходится на множестве

>, ? > >0, ? ?0 при >0, ?0 1,

так как на этом множестве равномерно сходится каждый из интегралов (13), что легко установить, применив признак Вейерштрасса с мажорантой 0 1 1 0 1. Следовательно, по теореме 4 бета-функция >, ? непрерывна на первом квадранте.

Функции >, ? и 7 9 связаны между собой формулой Эйлера

>, ? ; + ; - , > 0, ? 0

; + -

Существуют компьютерные программы, позволяющие находить значения бета- и гамма-функций при различных значениях параметров. Эти программы используются для вычисления интегралов, сводящихся к этим функциям.

440 Гл. 27. Интеграл Фурье и преобразование Фурье

Тогда при , , + имеем:

7

-+ 0. , , + ,

7

где F Æ; ; M — модуль непрерывности функции на замкнутом прямоугольнике M , 3 , + .

Поскольку функция равномерно непрерывна на M, то можно указать Æ Æ 0 такое, что F Æ ; ; M .

Тогда из (1) получаем

4 +

Следовательно, интеграл непрерывен на , + .

2Æ. При 0 через : , обозначим непрерывную финитную (т. е. равную нулю вне некоторого отрезка , ) функцию такую, что

Для каждого 0 функция существует в силу следствия из теоремы 14.8.3.

Тогда

утверждение 2Æ теоремы.

Предельный переход в левой части равенства (2) обосновывается с помощью оценок

, + +

Обоснование предельного перехода в правой части (2) аналогично.

Определение 1. Пусть функция абсолютно интегрируема на , . Интегралом Фурье функции называется интеграл

Из леммы 2 следует, что интеграл 8 из (3) является несобственным интегралом с одной особенностью на верхнем пределе.

Как видим, правая часть (3) является аналогом ряда Фурье,

а, из (4) — аналогами коэффициентов Фурье. Перепишем интеграл Фурье 8 в виде

Изучим сходимость интеграла Фурье (т. е. внешнего интеграла в правой части последнего равенства). Для этого рассмотрим интеграл

8 1 " " +" +, 3 0,

0

являющийся аналогом суммы Фурье.