Добавил:

linnesse Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Математический анализ

Файл:

ЛпМА_Бесов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2024

Размер:

3.6 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4243 / 4843 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

Г л а в а 26

ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА

§26.1. Интегралы Римана, зависящие от параметра

Интегралы Римана вида

, +

или

B , +

называются интегралами, зависящими от параметра. Здесь будут установлены условия непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости по параметру для таких интегралов.

Теорема 1. Пусть функция непрерывна на

, , + .

Тогда интеграл

, +

непрерывен на , + .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть , , + . Тогда

, + , +

, , + F ; ,

где F Æ; — модуль

непрерывности

функции

Так

как

F Æ;

0 при Æ

в силу

непрерывности,

а значит,

и равномерной непрерывности

функции

на

, , + , то

отсюда следует утверждение теоремы.

Теорема 2. Пусть функции

, 1 непрерывны на , + ,

на , + , C , 2

1 , + . Пусть

функция непрерывна на

Тогда интеграл B ,

, +

непрерывен на , + .

§ 26.1. Интегралы Римана, зависящие от параметра

423

Д о к а з а т е л ь с т в о. С помощью замены переменного получаем, что

B " 1 , 1 +"

0	1

# ", +"

Подынтегральная функция # непрерывна на 0, 1 , + по теореме о непрерывности композиции непрерывных функций. По теореме 1 интеграл B непрерывен на , + .

Теорема 3 (об интегрировании под знаком интеграла). Пусть:

1Æ	функция интегрируема на		, , + ,
2Æ	интеграл	, +	существует при каждом
, + ,
3Æ	интеграл , + существует при каждом , .

Тогда существуют оба повторных интеграла и

	, + + , + +

Эта теорема вытекает из теорем 19.3.1, 19.3.1 .

Последняя формула справедлива, в частности, если функция непрерывна на , , + .

Теорема 4 (правило Лейбница). Пусть и 0 непрерывны
на , , + . Тогда функция		0
на , , + . Тогда функция
	, +

дифференцируема на , + и
:	, +		0	, +
:	, +			, +
		0

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть , , + . Тогда, используя формулу конечных приращений Лагранжа, имеем

424 Гл. 26. Интегралы, зависящие от параметра

: :									0	, +
: :										, +
									0

							, ,					0
															, +
													0		, +

	0					, 2 0 , + F ; 0 ,
				0						0							0
где F Æ; 0 — модуль непрерывности функции 0																	на ,
			0													0
, + . В силу непрерывности, а значит, и равномерной непре-
рывности 0 на								, , +
			0
							F ; 0 0				при					0
										0
Из приведённых оценок получаем, что существует
		:								: :					0	, +	,
								0							0

что и требовалось доказать.
Теорема 5. Пусть функции											и 0			непрерывны на ,
, + , функции												0
, + , функции								, 1 непрерывно дифференцируемы на , + ,
1 на , + .
Тогда на отрезке , + существует производная
6					,
						, +
						, +


	,		0
			0				, +		1 , " ,								(1)
			0

Д о к а з а т е л ь с т в о. Определим														на , +			, ,
функцию										2
										2

/ , 0, = , +

§ 26.1. Интегралы Римана, зависящие от параметра

425

Тогда

B / , , 1

Формула (1) получается, очевидно, при дифференцировании последнего равенства в соответствии с правилами дифференцирования сложной функции и дифференцирования интеграла с переменным верхним (нижним) пределом. Для применения теоремы 11.3.1 о дифференцируемости сложной функции достаточно убедиться в непрерывности на , + , , производных

/ , 0, = 0, , / , 0, = =, ,
		2
		2
	/ , 0, = 0 , +
		0
		0
Производные / ,		/ непрерывны в силу непрерывности
функции .		2
функции .

Производная / , вычисленная по правилу Лейбница (теорема 4), с помощью замены переменного в интеграле записывается в виде

/ , 0, = 00 0 = 0 ", = 0 +"

0	1

, 0, =, " +" (2)

По теореме о непрерывности композиции непрерывных функций подынтегральная функция непрерывна на , + ,

, 0, 1 . Отсюда следует, что интеграл 01 , 0, =, " +" непрерывен на , + , , . Последнее свойство можно

установить с помощью непосредственной оценки

1		1
, 0 0, = =, " +" , 0, =, " +"
0		0
	1
	, 0 0, = =, " , 0, =, " +" F Æ; ,
	0

где F Æ; — модуль непрерывности функции , 2 0 2

= 2 Æ2.

426 Гл. 26. Интегралы, зависящие от параметра

§ 26.2. Равномерная сходимость функции на множестве

Определение 1. Пусть , , 0	— предельная точка
множества (не исключаются случаи 0 , , ).
Пусть заданы функции : ,	: . Говорят,

что функция равномерно на стремится (сходится) к при 0, и пишут

	,	при	0,
	=
если
	,	0	при	0	(1)
=
Можно сформулировать эквивалентное определению 1 опре-
деление равномерного стремления к				, если вместо условия
(1) написать

0 0 , 0

В последней формулировке вместо 0 можно написать

Æ 0 , где Æ Æ 0.
Пример 1. Пусть функция непрерывна на	, , + , 0
, + . Тогда
, , 0 при , +	0
,

Всамом деле, из равномерной непрерывности функции на

, , + следует, что

0 Æ Æ 0				,		, 0 при 0 Æ
В случае , 0			значения функции на
можно записать как					, . Тогда понятие равномерно-
го стремления ,				при совпадает с изученным
понятием		=	на	сходимости			последовательности
	равномерной
		:
1					при

		=

Замечание 1. Введём в рассмотрение нормированное пространство ограниченных на функций:

# # — ограниченная на функция, %#%; #

§ 26.2. Равномерная сходимость функции на множестве

427

	Тогда равномерное стремление ,							при 0
						=
совпадает, очевидно, с понятием сходимости по норме:
	% ,		%;	0	при			0,
а	понятие	равномерной		сходимости			последовательности
		— с понятием сходимости последовательности
	=
по норме:		%	%;	0	при

	Если же , , а			, непрерывна на				, как функция
аргумента		при каждом , то вместо						, можно взять
$ , .
	Так же, как для случая равномерной сходимости последова-

тельности функций, доказываются следующие три теоремы.

Теорема 1 (критерий Коши равномерной сходимости функции). Для того чтобы заданная на функция равномерно на стремилась к какой-либо функции при 0, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось

условие Коши

0 Æ Æ 0 , ,

=	, Æ 0

Теорема 2. Пусть заданная на функция при каждом фиксированном непрерывна как функция от в точке 0 (по ), и пусть

,		при			0
	=
Тогда функция	непрерывна в точке			0 (по ).
Теорема 3. Пусть функция : ,						при каждом
непрерывна на , как функция аргумента						, и пусть
,		при			0
	,
Тогда
, +		+	при			0

428	Гл. 26. Интегралы, зависящие от параметра

Теорему 3 называют теоремой о переходе к пределу под знаком интеграла, поскольку она утверждает, что

	, + , +
> 0		> 0

Упражнение 1. Получить теорему 26.1.1 в качестве следствия из теоремы 3.

Упражнение 2. Сравнить теоремы 1, 2, 3 соответственно с теоремами 16.1.1, 16.3.1, следствием из теоремы 16.3.2.

Упражнение 3. Сформулировать и доказать аналог теоремы 16.3.3 о дифференцировании предела последовательности.

§ 26.3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

Будем рассматривать несобственные интегралы

, + ,		,		,	(1)

с особенностью на верхнем пределе, где
,	, , ,
Чаще всего будем считать, что 1 и , + .
Напомним, что при написании символа				, +	пред-
полагается, что функция , интегрируема по Риману по
переменному на любом отрезке		, 3	, , т. е. что интеграл

, 3 , +		, 3 ,			(2)

существует как интеграл Римана.

Напомним также, что несобственный интеграл при фиксированном называется сходящимся и что


		, + ,
	0

если последний предел существует и, следовательно, конечен. В противном случае несобственный интеграл называется

расходящимся.

§ 26.3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

429

Определение 1. Говорят, что несобственный интеграл

вида (1) сходится равномерно на , если:

1Æ сходится на множестве (т. е. ),

2Æ , +	0 при 3	0.
>
Поясним, что при выполнении условия 1Æ
, +	0 при 3	0	,	(3)

однако скорость этого стремления к нулю может существенно зависеть от . Условие же 2Æ показывает, что стремление к нулю интеграла в (3) «в равной мере быстрое» на множестве точек из (точнее говоря, имеется стремящаяся к нулю мажоранта 1) модуля этого интеграла).

Пример 1.


+ ,			Æ, 0,
Здесь	0
Здесь

	+			+0 Æ
>			>

При Æ 0 имеем		Æ 0,			так что интеграл

сходится равномерно на Æ, .
При Æ 0 предел		0 0, так что интеграл не

сходится равномерно на 0, .
Замечание 1. Условие 2Æ определения 1 можно переписать
в виде	, 3		при	3	0
	, 3		при	3	0

Теорема 1 (критерий Коши равномерной сходимости несобственного интеграла). Для того чтобы несобственный интеграл

(1) сходился равномерно на , необходимо и достаточно выполнения условия Коши

0 3 , , +

>	3 , 3 3 , (4)

1) При выполнении условия , на некотором множестве точек, функция называется мажорантой функции .

430Гл. 26. Интегралы, зависящие от параметра

До к а з а т е л ь с т в о необходимости основывается на равенстве

, + , + , + ,

а достаточности — на критерии Коши сходимости несобственного интеграла (теорема 14.7.1) и на предельном переходе в неравен-

стве	, + при 3 0.

Замечание 2. Доказательство теоремы 1 можно получить в качестве следствия из теоремы 26.2.1, используя замечание 1.

Упражнение 1. Доказать, что несобственный интеграл

+ , Æ Æ,

а) сходится равномерно на множестве Æ при Æ 0; б) сходится, но не равномерно на 0.

Упражнение 2. Доказать, что несобственный интеграл


		+ ,	0,

	0
равномерно сходится на 0, .
Теорема 2 (признак сравнения). Пусть для функций , #
,	, и для некоторого 0 выполняется
неравенство , # , при			, , , и пусть
несобственный интеграл

B # , +

сходится равномерно на .

Тогда несобственный интеграл

, +

сходится равномерно на .

§ 26.3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

431

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 0. Тогда в силу равномерной сходимости на интеграла B из критерия Коши следует


3 ,		#	, +	3 , 3 3 ,
Тогда	>
Тогда

	, +			3 , 3 3 ,
>

Из критерия Коши следует, что несобственный интеграл сходится равномерно на .

Частным случаем признака сравнения (теоремы 2) является Теорема 3 (признак Вейерштрасса равномерной сходимости

несобственного интеграла). Пусть ,				, ,
, ,	при , , . Пусть несобствен-
ный интеграл	+ сходится.
Тогда несобственный интеграл , +				равномерно схо-
дится на .
Упражнение 3. Доказать, что несобственный интеграл

		1	2 +
	0	1

сходится равномерно на , .

Для несобственного интеграла вида (1) установим достаточные условия его непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости по параметру под знаком интеграла.

Теорема 4. Пусть функция непрерывна на	, M, M
1, +1 ... , + , и пусть интеграл
, + , M,	(5)

сходится равномерно на M.
Тогда непрерывен на M.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 0, и пусть 3 , таково, что

, +
?

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4243 / 4843 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
28.12.20243.6 Mб4ЛпМА_Бесов.pdf
#
28.12.2024102.1 Кб0обозначения.pdf