Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1309 вузов, 5197 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"
Предмет:
Математический анализ
Файл:

ЛпМА_Бесов

.pdf
Скачиваний:
5
Добавлен:
28.12.2024
Размер:
3.6 Mб
Скачать
☆

412 Гл. 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пространства

Покажем, что полином Лежандра % ортогонален любому многочлену & степени .

Учитывая, что производная 2 1 при 0 1 обращается в нуль в точках 1, с помощью интегрирования по частям получаем

1

 

2 1

 

 

1

 

 

 

 

1 2 1

 

 

 

 

&

+

&

 

 

 

 

 

 

 

1

+

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2 2 1

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

2

 

+ ...

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2 1

 

1

 

 

1 &

 

 

 

 

 

 

 

0 (1)

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В частности, 1 1 %

% +

 

 

0 при 0 .

 

Вычислим норму многочлена Лежандра

 

 

 

 

 

 

%

 

2 1

 

& 1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где & 1 — многочлен степени не выше 1 1). Используя (1) и интегрируя несколько раз по частям, получаем

1

2

+

2 1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

%

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1

1

2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2 1

 

1

2

 

 

 

1

2

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2 1

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

2

+

2

1

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

4 + ...

 

 

 

 

 

 

 

2 4 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1) Символом обозначается произведение всех натуральных чисел до включительно, имеющих ту же чётность, что и .

§ 25.4. Ортогональные системы и ряды Фурье по ним

413

Следовательно, %% % 2 2 1 .

Ниже через ; мы обозначаем предгильбертово пространство,

через % % , — норму его элемента , через —

1

ортогональную последовательность в ;. Напомним, что по определению % % 0 @ .

 

 

 

 

Теорема 1. Пусть ;,

.

 

Тогда

1

 

 

,

 

 

(2)

 

 

 

2

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу следствия из леммы 25.3.1 сходящийся в ; ряд можно почленно умножать скалярно. Используя свойство ортогональности, имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, , , ,

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда и следует (2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение 2. Пусть

;,

 

 

— ортогональная по-

следовательность в ;.

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда числа

,

 

называются коэффициентами Фу-

 

2

рье

элемента

 

 

 

 

, ряд

 

 

 

 

— рядом Фу-

по системе

 

 

 

рье

элемента

по системе

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

—

 

 

, 8 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

(частичной) суммой Фурье порядка элемента

по системе

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, каждому элементу

; ставится в соответ-

ствие его ряд Фурье:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Говорят, что элемент разложен в ряд Фурье, и пишут

 

 

, если ряд в (3) сходится к

в ;, т. е.

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

% 8 %

0

при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидны следующие свойства частичных сумм ряда Фурье:

 

 

 

8

при 1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

414 Гл. 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пространства

откуда

 

 

 

 

8 ! ! , если

! ;

(4)

 

1

 

8 , 0

при 1

 

Лемма 1 (об ортогональном разложении). Всякий элемент

; может быть представлен в виде суммы двух ортогональных друг другу слагаемых:

 

8 8

, 8

, 8 0

(5)

Лемма 2 (аналог теоремы Пифагора).

 

 

 

 

 

 

 

% %

2 % 8

%2 %8

%2

 

(6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя (5), имеем

 

 

% %

2 % 8 8 %2 8 8 , 8 8

 

 

 

 

 

 

 

 

% 8 %2 %8 %2

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 2 (минимальное свойство коэффициентов Фурье).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

1,..., "

 

 

%

 

 

 

%

 

 

 

 

1

 

 

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть

!

. С помощью

леммы 2 и (4) получаем, что

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

% ! %2 % ! 8

 

 

! %2 %8

 

! %2

 

 

 

% 8 %2 %8 ! %2

 

% 8 %2

Следствие.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

% 8 % %

8

%

при

 

 

 

 

Теорема 3 (неравенство Бесселя). Пусть

 

 

;, — коэф-

фициенты Фурье элемента

по ортогональной системе

 

.

Тогда справедливо неравенство Бесселя

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 % %2 %

%2

 

 

 

 

(7)

1

§ 25.4. Ортогональные системы и ряды Фурье по ним

415

Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя ортогональность системыи равенство (6), получаем

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

%8 %2 % %2

 

 

 

2 % %2

 

 

1

 

 

"

1

"

 

 

 

 

Следствие. Коэффициенты Фурье обладают свойством

 

 

 

% %

0

при

 

,

 

 

а если

— ортонормированная система, то

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

0

при

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 4. Пусть

 

— ортогональная последователь-

ность в ;.

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда для каждого элемента ; следующие утверждения

эквивалентны ( — коэффициенты Фурье элемента

):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1Æ

для любого 0 существует полином

по систе-

ме

 

, для которого

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

" 1

"

 

 

 

 

2Æ

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

3Æ

справедливо равенство Парсеваля:

 

 

 

%%2 2 % %2 (8)

1

До к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что 1Æ 2Æ. В силу минимального свойства коэффициентов Фурье, 1Æ эквивалентно утверждению

0 % 8 % ,

а значит, в силу следствия из теоремы 2, тому, что

% 8 %

 

Последнее эквивалентно 2Æ.

 

416 Гл. 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пространства

Эквивалентность 2Æ 3Æ становится очевидной, если переписать (6) в виде

 

 

2 % %2

% %

2 % 8 %2

1

 

 

 

Замечание 1. Равенство Парсеваля (8) является бесконечномерным аналогом теоремы Пифагора.

Упражнение 1. В условиях теоремы 4 доказать, что 2Æ 3Æ, используя почленное скалярное умножение ряда из 2Æ на .

Определение 3. Система элементов предгильберто-

1

ва (или линейного нормированного) пространства ; называется

полной в ;, если множество (конечных) линейных комбинаций её элементов плотно в ;.

Теорема 5 (критерий полноты ортогональной последователь-

ности). Пусть

 

 

— ортогональная последовательность в ;.

 

 

1

 

Тогда следующие три утверждения эквивалентны:

1Æ

— полная в ; последовательность,

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2Æ

 

;,

1

 

 

 

3Æ % %2 2 % %2 ;

1

 

 

 

( — коэффициенты Фурье элемента ).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно воспользоваться теоре-

мой 4 для каждого

 

;.

Теорема 6 (Рисса–Фишера). Пусть — ортогональная

1

система в гильбертовом пространстве L, и пусть действительные числа 1, 2, 3, ... таковы, что ряд

 

 

 

2 % %2

(9)

 

 

 

сходится.

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда в

L ряд

 

сходится к некоторому элементу

L:

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу сходимости ряда (9) 0

:

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2 % %2 ,

> ,

" 1

"

1

 

 

§ 25.4. Ортогональные системы и ряды Фурье по ним

417

см. теорему 15.1.2 (критерий Коши сходимости числового ряда).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это значит, что в L последовательность

являет-

 

 

 

 

 

 

1

1

ся фундаментальной, а значит, и сходящейся (в силу полноты L)

к некоторому элементу

L. Тогда в L по определению суммы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ряда

.

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лемма 3. Пусть

 

— ортогональная система в гильбер-

товом пространстве L.

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда для

любого

L его ряд Фурье

по этой

системе

сходится в L:

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

причём

0, 0

@ .

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о. Ряд

 

 

 

сходится

в силу

 

2 % %2

 

 

 

 

1

 

 

 

неравенства Бесселя (7). Следовательно, ряд

 

сходится

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

по теореме 6 (Рисса–Фишера). Имеем далее при @

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0, ,

,

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

, % %2 , , 0

Определение 4. Ортогональная последовательность

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

в предгильбертовом пространстве ; называется замкнутой,

если для любого

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, 0 @ ,

 

 

т. е. если не существует ненулевого элемента

;, ортогональ-

ного всем элементам системы

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Теорема 7. В гильбертовом пространстве L ортогональная

система

полна тогда и только тогда, когда она замкнута.

1

 

 

Необходимость.

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть

система

 

 

 

 

L. Тогда

в

силу

равенства

1 полна в L, и пусть

Парсеваля

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

% %

 

 

 

 

 

 

 

 

2

,

 

 

 

% %2

1 2

 

 

 

 

1

2

 

 

Поэтому если , 0 , то % % 0, т. е. .

14 О.В. Бесов

418 Гл. 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пространства

 

Следовательно, система

 

 

замкнута.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

замкнута в

 

 

,

 

 

 

Достаточность. Пусть система 1

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L и — коэффициенты Фурье элемента

. Тогда по лемме 3

ряд

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сходится к некоторому элементу

0 L, причём

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0, 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В силу замкнутости системы

отсюда следует, что

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0, т. е. что

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

полна.

 

 

 

 

 

 

Из теоремы 5 следует, что система

 

 

 

 

 

 

 

 

Обратимся к конкретным примерам.

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 4. Последовательность

одночленов

 

 

 

 

полна

в нормированном функциональном пространстве

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$ , — непрерывная на

, функция,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

%

 

%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

в силу теоремы 24.3.3 Вейерштрасса о приближении непрерывной функции алгебраическими многочленами.

Пример 5. Тригонометрическая система

 

 

 

 

 

 

 

 

1

, ", ", 2", 2", 3", 3", ...

(10)

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

полна в нормированном функциональном пространстве

 

 

 

$per — 2--периодическая непрерывная функция,

 

 

 

%

 

%

 

 

 

 

 

 

 

,

 

в силу теоремы 24.3.1 Вейерштрасса о приближении непрерывных периодических функций тригонометрическими многочленами.

Пример 6. Тригонометрическая система (10) полна в нормированном функциональном пространстве

$ -, - — непрерывная на -, - функция,

- - , % %

 

 

,

 

 

в силу теоремы 24.3.1 Вейерштрасса.

Пример 7. Тригонометрическая система (10) не является полной в пространстве $ -, - . Например, никакую непрерывную на -, - функцию при - - нельзя

§ 25.4. Ортогональные системы и ряды Фурье по ним

419

приблизить с высокой точностью никаким тригонометрическим многочленом, так как для всякого тригонометрического многочлена ! выполняется условие ! - ! - .

Пример 8. Последовательность одночленов полна

0

в пространствах $E1 , , $E2 , , ;E1 , , ;E2 , ,

E1 , , E2 , в силу примера 4, а также плотности в указанных пространствах множества непрерывных на , функций

(см. лемму 25.2.1 и примеры 25.2.6, 25.2.7).

 

 

Пример 9. Тригонометрическая система функций (10) пол-

на в пространствах $E1 -, - , $E2 -, - , ;E1 -, - ,

;E2 -, - , E1 -, - , E2 -, - в силу примера 6, а также

плотности в указанных пространствах множества

 

$0 -, - — непрерывная на -, - функция,

 

- - 0

Упражнение 2. Показать,

что система

(10)

не полна

в ;E1 -, - Æ при Æ 0.

 

 

 

Пример 10. Пусть E2

-, - . Тогда

 

разлагается

в тригонометрический ряд Фурье:

 

 

 

 

 

 

20

 

1

 

 

 

(сходящийся к по норме пространства E2 -, - , т. е. в смыс-

ле среднего квадратичного), и справедливо равенство Парсеваля

1

'

2

 

 

 

2 2

 

2 + 0

 

 

 

2

 

 

 

'

 

1

Здесь , — коэффициенты Фурье по тригонометрической системе, вычисляемые по формулам (24.1.2), где интегралы понимаются как интегралы Лебега.

Утверждение вытекает из полноты системы (10) в E2 -, - (см. пример 9) и из теоремы 5.

В частности, сформулированные свойства верны для произвольной непрерывной или кусочно-непрерывной на -, - функции .

Пример 11. Пусть E2 1, 1 . Тогда разлагается в ряд Фурье по полиномам Лежандра:

 

2 1

1

% +

% ,

 

2

0

 

1

 

 

14*

420 Гл. 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пространства

(ряд сходится по норме пространства E2 1, 1 , т. е. в смысле среднего квадратичного), и справедливо равенство Парсеваля.

Сказанное верно, в частности, для произвольной непрерывной или кусочно-непрерывной на отрезке 1, 1 функции .

Обоснование то же, что в примере 10.

Определение 5. Пусть ; — нормированное пространство. По-

 

 

 

;

@

, называется базисом

следовательность 1

,

 

 

в ;, если:

 

 

 

 

 

 

1Æ

для любого ; справедливо представление

 

 

) ,

) ;

 

 

 

1

 

 

 

 

2Æ

указанное представление единственно.

 

 

Упражнение 3. Показать, что

система

 

элементов

базиса линейно независима.

 

 

1

 

 

 

 

 

Базис является, очевидно, полной системой в ;. Обратное

неверно. Например, система одночленов

, будучи полной

 

0

в $ 1, 1 (см. пример 4), не является в этом пространстве

 

 

базисом. В самом деле, если )

, причём этот сте-

0

 

пенной ряд сходится в $ 1, 1 , т. е. равномерно на 1, 1 , то

его сумма является бесконечно дифференцируемой на 1, 1 , но не произвольной функцией из $ 1, 1 .

Известно, что тригонометрическая система (10), полная в $ -, - , не является базисом в этом пространстве (пример 6).

Теорема 8. Пусть

 

— ортогональная система в пред-

 

 

1

 

 

 

 

 

 

гильбертовом пространстве ;.

 

 

 

 

 

 

Если

— полная система, то она является базисом в ;.

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть

— полная

система

 

 

 

 

1

 

;. Тогда в силу

в предгильбертовом пространстве ;, и пусть

 

теоремы 5

,

,

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

т. е. совпадает с суммой своего ряда Фурье. Такое представле-

ние единственно по теореме 1. Следовательно,

 

— базис

в ;.

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 9 (об ортогонализации). Пусть

 

— линейно

1

независимая система элементов в предгильбертовом пространстве ;.

§ 25.4. Ортогональные системы и ряды Фурье по ним

421

Тогда в ; существует система элементов , удовлетво-

ряющая следующим условиям:

1

1Æ — ортонормированная система,

1

2Æ при каждом

1 1 ... , 0

Каждый элемент системы определяется условиями 1Æ,

1

2Æ однозначно с точностью до множителя 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Элемент 1 ищется в виде 1

11 1; при этом 11 определяется из условия

1, 1 112 1, 1 1,

т. е. 11

1

 

 

 

1

 

Пусть элементы ( 1, ..., 1), удовлетворяющие усло-

виям 1Æ, 2Æ, уже построены.

 

 

 

Ищем элемент в виде

 

 

 

1 1 ... , 1 1

 

Здесь виден геометрический смысл выражения

 

1 1 ... , 1 1,

 

 

состоящий в том, что из элемента

вычитается его проекция

на подпространство, натянутое на элементы 1, ..., 1.

Из требований ортогональности , 0 при полу-

чаем

, 1, ... , 1

 

 

 

 

 

Из требования нормированности получаем

 

 

,

 

2

2

1,

 

% 1 1 ... , 1 1%

 

откуда (а значит, и ) определяется с точностью до множи-

теля 1.

 

 

 

 

 

Переход от системы

 

 

к системе

, удовлетворя-

 

 

1

 

1

 

ющей условиям 1Æ, 2Æ, называется процессом ортогонализации.

Ясно, что в ; системы

 

 

и

полны или не полны

одновременно.

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 
Соседние файлы в предмете Математический анализ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности