ЛпМА_Бесов

402 Гл. 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пространства

Аналогично примеру 4 можно построить фактор-пространство

;E42 , пространства ;E2 , , состоящее из классов функций, причём две функции , входят в один и тот же класс (называются эквивалентными, отождествляются, не различаются), если

пространство является линейным нормированным пространством с нормой

ров 1–3 не являются полными. Покажем это на примере пространства $E1 1, 1 . Рассмотрим последовательность непрерывных на 1, 1 функций

В самом деле, предполагая противное, обозначим предельную

Лемма 1. Множество $0 , непрерывных и финитных на, функций плотно как в ;E1 , , так и в ;E2 , .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Первое утверждение леммы представляет собой переформулировку следствия из теоремы 14.8.3. Установим второе утверждение. Пусть ;E2 , , 0. Тогда существует функция ;E2 , такая, что 0 вне некоторого отрезка , , , интегрируема по Риману на , ,

% %<2 ,

Функция строится так же, как при доказательстве теоремы 14.8.3.

404 Гл. 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пространства

Можно показать, что пространства ;E1 , , ;E2 , не являются полными (см., например, § 19.7 в: Никольский С. М. Курс математического анализа. Т. 2. — 4-е изд. — М.: Наука. Физматлит, 2001. — С. 474–476). Мы не приводим доказательства, поскольку оно требует привлечения теории интеграла Лебега.

Укажем лишь последовательность функций, фундамен-

1

тальную в ;E1 0, 1 , но не имеющую предела в ;E1 0, 1 . Перенумеруем все рациональные точки интервала 0, 1 и по-

кроем -ю из них интервалом 0, 1 с центром в этой точке и длиной 2 (0 1, ). Пусть

в ;E1 0, 1 . Однако можно показать, что она не имеет предела

в ;E1 0, 1 .

Упражнение 1. Показать, что в пространствах ;E1 , , ;E2 , счётное множество финитных ступенчатых функций с рациональными параметрами (начало и конец ступени, высота ступени) плотно.

У к а з а н и е. Использовать теорему 14.8.3.

Для описания пополнений пространств ;E1 , , ;E2 , необходимо ввести понятия меры и интеграла Лебега. Мы лишь косн¨eмся этих понятий, избегая точных определений. Понятие измеримости множества по Лебегу шире понятия измеримости множества по Жордану: всякое множество, измеримое по Жордану, измеримо по Лебегу, и его мера Лебега совпадает с мерой Жордана.

Множество всех рациональных точек отрезка 0, 1 измеримо по Лебегу (и имеет лебегову меру 0, т. е. может быть покрыто счётной системой интервалов сколь угодно малой суммарной длины), но не измеримо по Жордану.

Рассмотрим определённую на отрезке , функцию со значениями, лежащими на отрезке , . Эту функцию будем считать измеримой по Лебегу, т. е. такой, что множество, : измеримо по Лебегу .

Как видим, при построении интегральной суммы (3) в качестве «представителя» функции на множестве выступает число , близкое к значениям функции в любой точке из . В то же время при построении интегральной суммы Римана

представителем функции на отрезке 1, выступает число— значение функции в одной из точек отрезка. Такой представитель может считаться удачным, если мало меняется на отрезке разбиения (например, если непрерывна на , ).

В общем же случае число не обязательно является удачным представителем значений функции на 1, .

Естественно ожидать (и легко показывается), что функция, интегрируемая по Риману на отрезке, интегрируема и по Лебегу на этом отрезке, причём её интегралы Римана и Лебега совпадают.

С другой стороны, функция Дирихле : 0, 1 ,

интегрируема по Лебегу (и её интеграл Лебега равен нулю), но не интегрируема по Риману. Таким образом, понятие интеграла Лебега шире понятия интеграла Римана.

Пример 6. Обозначим через E , E1 , полунормированное пространство интегрируемых по Лебегу на, , функций с полунормой (1), где интеграл

406 Гл. 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пространства

понимается как интеграл Лебега. Тогда можно показать, что пространство E1 , является полным и что ;E1 , , а значит (в силу леммы 1), и $0E1 , плотны в нём. Согласно определению пополнения, пространство E1 , является пополнением как пространства ;E1 , , так и пространства

$0E1 , .

Пример 7. Обозначим через E2 , полунормированное пространство измеримых по Лебегу на , , функций, квадрат которых интегрируем по Лебегу. Полунорму в нём зададим равенством (2), где интеграл понимается как интеграл Лебега. Можно показать, что пространство E2 , является полным и что подпространства ;E2 , , а значит (в силу леммы 1), и $0E2 , плотны в нём. Согласно определению пополнения, пространство E2 , является пополнением как пространства ;E2 , , так и пространства $0E2 , .

Замечание 2. В случае конечных , вместо E , можно писать E , , > 1, 2.

Замечание 3. Часто, допуская некоторую вольность, пространства E1 , , E2 , называют нормированными пространствами функций, в которых отождествлены функции, различающиеся лишь на множестве лебеговой меры 0.

Придерживаясь точных формулировок, следовало бы говорить

о нормированных пространствах E1 , и E2 , , элементами которых являются классы эквивалентных (т. е. попарно отличающихся лишь на множестве лебеговой меры 0) функций с соответственно введёнными операциями сложения и умножения на

число и нормой (ср. пространства ;E41, ;E42 из примеров 4, 5).

§ 25.3. Евклидовы и гильбертовы пространства

Определение 1. Скалярным произведением в действительном линейном пространстве ; называется вещественная функция , , определённая для каждой пары элементов , ; и удовлетворяющая условиям:

1Æ , 0; , 0 ; 2Æ , , ;

3Æ 1 2, 1, 2, ; 4Æ ) , ) , ) .

Определение 2. Действительное линейное пространство с фиксированным скалярным произведением называется евклидовым пространством.

Выполнение для % % всех аксиом нормы очевидно, за исключением неравенства треугольника. Установим его, доказав предварительно неравенство Коши–Буняковского

Пример 1. Действительное -мерное арифметическое евклидово пространство . Так называется линейное пространство

получаем, что $E2 , совпадает с линейным нормированным пространством $E2 , из примера 25.2.2.

408 Гл. 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пространства

Пример 3. ;E2 , — линейное пространство из примера 25.2.5. Введём скалярное произведение

, # " # " +", , # ;E2 ,

Для вещественной функции , # выполняются все свойства скалярного произведения, за исключением свойства , 0(т. е. " 0 " , ). Такую функцию , # называют полускалярным произведением. Полунорма определяется как

% %<2 , ,

Замечание 1. В евклидовом пространстве для нормы (1) выполняется, как нетрудно проверить, тождество параллело-

выражающее следующее свойство: сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон.

Свойство (3) является не только необходимым, но и достаточным для того, чтобы нормированное пространство было евклидовым.

Упражнение 1. Убедиться с помощью (3), что нормы в пространствах $ , , $E1 , из примеров 25.1.5, 25.2.1 нельзя задать с помощью какого бы то ни было скалярного произведения.

Наряду с евклидовым пространством рассматривают и комплексное линейное пространство со скалярным произведением, называемое унитарным пространством (комплексным евклидовым пространством). При этом скалярным произведением

называется комплекснозначная функция , с условиями: 1Æ , 0, , 0 ,

Норма в комплексном евклидовом пространстве определяется, как и в действительном, формулой (1).

Приведём примеры комплексных евклидовых пространств. Пример 4. — линейное пространство, представляющее

собой множество всевозможных упорядоченных наборов1, ... , из комплексных чисел с операциями сложения

410 Гл. 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пространства

Пример 6. Пространство 42 элементов

1, 2, ... , где , 2 ,

1

со скалярным произведением

,

1

является сепарабельным гильбертовым.

Сходимость (даже абсолютная) последнего ряда следует из оценки

сепарабельным предгильбертовым пространством.

Упражнение 2. Доказать, что счётное множество многочленов с рациональными коэффициентами плотно в $E2 , .

У к а з а н и е. Можно воспользоваться теоремой Вейерштрасса о приближении непрерывной функции многочленами.

Пример 8. Пространство E2 , , , , , из примера 25.2.7 является гильбертовым, если под элементами E2 , понимать функции, отождествляя две функции, различающиеся лишь на множестве лебеговой меры 0 (см. замечание 25.2.3).

Множество финитных ступенчатых функций с рациональными параметрами является счётным плотным множеством

вE2 , .

§25.4. Ортогональные системы и ряды Фурье по ним

Вэтом параграфе ; будет обозначать предгильбертово пространство.

Определение 1. Элементы , ; называют ортогональными (друг другу), если , 0.

Последовательность ненулевых элементов простран-

1

ства ; называют ортогональной системой, или ортогональной последовательностью, если

, 0 @, , @