ЛпМА_Бесов

''

начали строить такую же теорию рядов Фурье, как для тригонометрической системы.

Г л а в а 25

МЕТРИЧЕСКИЕ, НОРМИРОВАННЫЕ

ИГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА

§25.1. Метрические и нормированные пространства

Определение 1. Множество ; называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов , поставлено в соответствие действительное неотрицательное число , , 0, называемое расстоянием (или метрикой) между

, , # " # "

С помощью расстояния можно ввести понятия сходящейся последовательности точек метрического пространства, фундаментальной последовательности, полноты метрического пространства, -окрестности точки, открытого и замкнутого множества, замыкания множества и др. С этими понятиями мы познакомимся на примере линейных нормированных пространств, входящих в класс метрических пространств. Перенос этих понятий и установленных на их основе свойств множеств на случай произвольного метрического пространства не составляет труда.

394 Гл. 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пространства

Определение 2. Множество ; называется действительным

(или вещественным) линейным (или векторным) простран-

то получим определение комплексного линейного (векторного) пространства.

Элементы линейного (векторного) пространства называют также векторами.

Определение 3. Если в линейном пространстве можно найтилинейно независимых векторов, а любые 1 векторов этого пространства линейно зависимы, то говорят, что линейное пространство имеет размерность .

Если же в линейном пространстве можно указать систему из произвольного конечного числа линейно независимых векторов, то говорят, что линейное пространство бесконечномерно.

Бесконечная система элементов линейного пространства называется линейно независимой, если любая её конечная подсистема линейно независима.

Определение 4. Линейное пространство ; называется нормированным пространством, если каждому элементу ;

поставлено в соответствие действительное неотрицательное число % % 0, называемое нормой элемента и удовлетворяющее следующим аксиомам:

Последнюю аксиому называют также неравенством треугольника.

Всякое нормированное пространство является метрическим пространством с расстоянием

, , % %

Обратное неверно уже потому, что произвольное метрическое пространство не обязательно линейно (в нём не обязательно введены понятия суммы элементов и произведения элемента на число). Даже в линейном метрическом пространстве ; число , , 0 не обязательно является нормой элемента ;. В последнем можно убедиться на примере линейного метрического пространства числовых последовательностей

Приведём примеры нормированных пространств.

Пример 3. Пространства (действительных чисел), (комплексных чисел) с нормой

Говоря о линейных пространствах функций, определённых на множестве , всегда будем предполагать, что операции сложения и умножения на число введены в них естественным образом, т. е.

" " " " ,) " ) " "

396 Гл. 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пространства

Пример 5. $ , — линейное пространство непрерывных на отрезке , функций с нормой

% % % %8 , "

В примерах 3–5 все аксиомы нормы проверяются элементарно.

Изучим некоторые понятия и свойства нормированных пространств, связанные с понятием расстояния. Они обобщают известные читателю понятия и свойства числовых последовательностей и множеств. До конца параграфа символом ; будем обозначать нормированное пространство. Его элементы будем называть также точками.

Для 0 назовем -окрестностью точки рованном пространстве ; множество

Предельная точка множества может принадлежать, а может и не принадлежать множеству .

Объединение множества ; и множества всех предельных точек множества называется замыканием множества и обозначается символом .

Операцией замыкания (замыканием) множества ; называется переход от множества к его замыканию .

Множество ; называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, т. е. если .

Замыкание множества ; является замкнутым множеством (доказательство то же, что и в случае ; ).

Пересечение любого числа и объединение конечного числа замкнутых множеств суть замкнутые множества (доказательство то же, что и в случае ; ).

Точка называется внутренней точкой множества ;, если существует -окрестность этой точки, содержащаяся в .

Множество, все точки которого внутренние, называется открытым.

Объединение любого числа и пересечение конечного числа открытых множеств суть открытые множества (доказательство то же, что и в случае ; ).

Для того чтобы множество было открытым, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение ; до всего пространства ; было замкнутым (предлагается доказать в качестве упражнения).

0 0 т. е. % 0%

Из определения предела следует, что никакая последовательность не может иметь двух различных пределов и что если

Используя понятие предела последовательности, можно дать эквивалентное определение предельной точки множества: точка; называется предельной точкой множества ;, если

0 % % @,

Всякая сходящаяся последовательность является, очевидно, фундаментальной, но не наоборот.

Определение 7. Нормированное пространство ; называется полным, если всякая фундаментальная последовательность его точек является сходящейся в ;, т. е. имеет в ; предел.

Ранее было установлено (критерий Коши), что линейные нормированные пространства , из примеров 3, 4 являются полными.

Из теоремы 16.1.1 и теоремы 16.3.1 следует, что пространство $ , из примера 5 является полным.

398 Гл. 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пространства

Полное нормированное пространство называется банаховым пространством.

Примеры неполных пространств будут даны в § 25.2. Определение 8. Пусть ;. Множество называется

плотным в , если .

Теорему 24.3.3 (Вейерштрасса) можно переформулировать следующим образом: множество всех алгебраических многочленов плотно в пространстве $ , .

Если пространство ; неполно, то его всегда можно пополнить, т. е. «экономно» включить некоторым (и, по существу, единственным) способом в некоторое полное пространство.

Определение 9. Пусть ; — нормированное пространство. Полное нормированное пространство ; называется пополнением пространства ;, если:

1Æ ; является подпространством пространства ; , т. е. ;; и определения суммы, произведения элемента на число и нормы в пространствах ; и ; совпадают для элементов из ;;

2Æ ; ; , т. е. ; плотно в ; .

Определение пополнения метрического пространства аналогично; при этом вместо 1Æ требуется, чтобы ; ; и чтобы расстояния в ; и в ; совпадали.

Теорема 1. Каждое метрическое пространство и каждое нормированное пространство имеют пополнения.

Не приводя доказательства, укажем лишь его идею на примере метрического пространства ; с расстоянием , , .

Задача состоит прежде всего в том, чтобы «экономно» присоединить к ; некоторые новые («идеальные») элементы и распространить на полученное расширенное множество понятие расстояния. Рассмотрим всевозможные фундаментальные последо-

вательности , не являющиеся сходящимися в ;. Рассто-

1

янием между последовательностями и назовём число

, , , ,

Последний предел существует в силу фундаментальности число-

Две не сходящиеся в ; фундаментальные последовательности , назовём эквивалентными, если , , 0.

Все фундаментальные последовательности, не сходящиеся в ;, разбиваются на классы эквивалентных последовательностей. Каждый такой класс назовём «идеальным» элементом. Расстояние между двумя «идеальными» элементами определим как расстояние между какими-либо двумя представителями соответствующих классов эквивалентных последовательностей. Аналогично введём понятие расстояния между «идеальным» элементом

и элементом 0 ;.

Объединение пространства ; и множества полученных «идеальных» элементов обозначим через ; . Наделённое введённым расстоянием, оно является искомым пополнением метрического

§ 25.2. Пространства 1, 2, 1, 2, 1, 2

Если в аксиомах нормы из определения 25.1.4 снять требование % % 0 , то число % % будет называться полунормой элемента , а определение нормированного пространства превратится в определение полунормированного пространства. На полунормированные пространства дословно переносятся понятия предельного перехода, замыкания множества, плотности множества, полноты пространства и др.

Рассмотрим примеры нормированных и полунормированных пространств, норма (полунорма) которых задаётся с помощью интегралов.

Пример 1. $E , $E1 , — линейное пространство непрерывных на отрезке , функций с нормой

% % % %< , " +"

400 Гл. 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пространства

Пример 2. $E2 , — линейное пространство непрерывных на отрезке , функций с нормой

% % % %<2 , 123 " 2 +"

В примерах 1, 2 все аксиомы нормы проверяются элементарно, за исключением неравенства треугольника в примере 2. Последнее будет выведено ниже из свойств скалярного произведения.

пространство непрерывных и финитных на , функций с нор-

% % % %< , " +"

ственный с конечным числом особенностей, и интегрируемых по Риману на каждом отрезке из интервала , , не содержащем особенностей (см. определение 14.8.2). При этом полунорма

не является нормой на линейном пространстве ;E1 , , так

как из равенства %2% 2 " +" 0 не следует, что 2 0 (нулевым элементом рассматриваемого линейного пространства является тождественно равная нулю функция). В самом деле, равенство %2% 0 выполняется, например, и для всякой функции 2, принимающей ненулевые значения лишь в конечном множестве точек.

Замечание 1. Отметим без доказательства следующие два свойства интегрируемой по Риману функции:

1Æ ограниченная функция 2: , интегрируема по Риману на , тогда и только тогда, когда множество её точек разрыва имеет лебегову меру нуль, т. е. может быть покрыто

объединением счётного числа интервалов сколь угодно малой суммарной длины;

2Æ для интегрируемой по Риману на , функции 2 условие

если " " +" 0. Таким образом, линейное простран-

ство ;E1 , разбивается на классы эквивалентных функций. В силу замечания 1 две эквивалентные функции «мало» отличаются друг от друга: их значения могут быть различны лишь на

следующим образом операции сложения и умножения на

действительное число. Пусть , — два класса из ;E41 , , а ( ), ( ) — два каких-либо их представителя. Суммойназовём тот класс ., который содержит , а произведением ) — тот класс, который содержит ) . Легко проверить независимость суммы и произведения от выбора представителей,

а также выполнение для ;E41 , всех аксиом линейного

пространства. Линейное пространство ;E41 , называется

фактор-пространством пространства ;E1 , .

Нулевым элементом пространства ;E41 , является множество абсолютно интегрируемых на , функций 2, для

которых 2 " +" 0. Положим

% %<1 , % %<1 , " +",

мым как несобственный с конечным числом особенностей, и интегрируемых по Риману на каждом отрезке из , , не содержащем особенностей. При этом