ЛпМА_Бесов

372 Гл. 24. Тригонометрические ряды Фурье

Следствие. Пусть 2--периодическая функция абсолютно

Замечание 1. В условии теоремы требование существования

0 , 0 можно заменить (как это видно из доказательства) более слабым требованием, например, требованием выполнения неравенств

при некоторых 0, 1 , Æ 0, 0. Условия (2) называются

односторонними условиями Гёльдера степени , а при 1 ещё и односторонними условиями Липшица.

Замечание 2. Непрерывность 2--периодической функции нане является достаточным условием сходимости её ряда Фурье в данной точке 0. Существуют примеры 2--периодических непрерывных на функций, ряды Фурье которых расходятся

вкаждой рациональной точке.

Втеореме 1, в следствии и в замечании 1 приводятся достаточные условия сходимости ряда Фурье в данной точке. Имеются и значительно более общие достаточные условия такой сходимости, например, признак Дини, который рекомендуется доказать

вкачестве упражнения.

Признак Дини. Пусть 2--периодическая функция абсолютно интегрируема на отрезке -, - , и пусть для некоторой точки 0 и для некоторого числа сходится интеграл

Замечание 3. Пусть функция задана и абсолютно интегрируема на отрезке длины 2-, например, на -, - . Для выяснения сходимости её ряда Фурье в концах отрезка можно применить теорему 1, продолжив предварительно функцию до 2--пе- риодической функции (изменив при необходимости её значения в одном или в обоих концах отрезка). После такого продолжения

2

Аналогично решается вопрос о сходимости ряда Фурье в точке 0 -.

374Гл. 24. Тригонометрические ряды Фурье

До к а з а т е л ь с т в о. Пусть 0 Æ Æ -. Перепишем формулу (1) в виде

8 ;

# " ! ! 2

2

2

Пусть 1 . С помощью теоремы Лагранжа о конечных приращениях получаем, что при 0 " -

" " 2 2 1"

# " 22 1! - 1

2

и (за исключением, быть может, конечного числа значений ")

376 Гл. 24. Тригонометрические ряды Фурье

Положим

так что

2Æ

Æ, " 1 +" 1 2 Æ (6)

0

Для оценки BÆ при 2 Æ " - воспользуемся

378 Гл. 24. Тригонометрические ряды Фурье

и теорема доказана.

Отметим, что теорема 4 обобщает сформулированный ранее принцип локализации, показывая, что для утверждения о равномерной сходимости ряда Фурье функции на отрезке , достаточно знать поведение этой функции лишь на -окрестности, этого отрезка при сколь угодно малом 0.

§ 24.3. Приближение непрерывных функций многочленами

Определение 1. Функция вида

называется тригонометрическим многочленом (тригонометрическим полиномом) степени .

Теорема 1 (Вейерштрасса). Пусть — 2--периодическая непрерывная функция.

Тогда для любого 0 существует такой тригонометрический многочлен !, что

!

Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим 0. Пусть 6 : —

0

разбиение отрезка -, - , - @ 26 . Построим ломаную

(вписанную в график функции ), соединив последовательно точки , графика функции отрезками. Обозначим че-

рез J: 2--периодическую непрерывную функцию, график которой совпадает на -, - с построенной ломаной. Очевидно, J: — кусочно линейная на -, - функция, а значит, и непрерывная кусочно-непрерывно дифференцируемая функция.

Непрерывная на отрезке функция является равномерно непрерывной. Поэтому

Функция J: удовлетворяет условиям теоремы 24.2.1, поэтому её ряд Фурье сходится к J: равномерно на . Следовательно, существует такое , что

Из последних двух неравенств получаем, что

8 ; J: ,

т. е. утверждение теоремы при

! 8 ; J:

Теорему 1 в эквивалентной форме можно сформулировать следующим образом.

Теорема 1 (Вейерштрасса). Пусть функция непрерывна на отрезке -, - , и пусть - - .

Тогда для любого 0 существует такой тригонометрический многочлен !, что

Упражнение 1. Показать, что последняя теорема перестаёт быть верной, если отбросить условие - - .

Заметим, что в теореме 1 в качестве тригонометрического многочлена ! нельзя (вообще говоря) взять частичную сумму

8 ; ряда Фурье функции , поскольку ряд Фурье непрерывной функции не обязан равномерно сходиться (не обязан даже и поточечно сходиться) к функции . Однако в качестве ! можно взять сумму Фейера G ; функции при достаточно большом , где

G ; 0 ; 1 ; ... ;1

— среднее арифметическое сумм Фурье, как это следует из теоремы Фейера.

Теорема 2 (Фейера). Пусть — 2--периодическая непрерывная функция.

Тогда

G ; при

Оставим эту теорему без доказательства.

Факт сходимости последовательности сумм Фейера в теореме Фейера выражают ещё и следующим образом.

Ряд Фурье 2--периодической непрерывной функции суммируется к методом средних арифметических.

Метод суммирования ряда средними арифметическими даёт возможность для некоторых расходящихся рядов определить понятие их суммы как предела последовательности средних арифметических их частичных сумм. Для сходящегося ряда это понятие совпадает с понятием суммы ряда.

Пример 1. Расходящийся ряд 1 1 1 1 ... суммируем методом средних арифметических к числу 12 .

С помощью теоремы 1 (Вейерштрасса) доказывается возможность приближения с любой точностью непрерывной на отрезке функции подходящим алгебраическим многочленом %.

Теорема 3 (Вейерштрасса). Пусть функция непрерывна на

является 2--периодической и непрерывной на . По теореме 1 для каждого 0 найдётся такой тригонометрический многочлен !, что

Функции ", " (а значит, и ! " ) разлагаются в степенные ряды с радиусом сходимости ; . Следовательно, эти ряды равномерно сходятся на каждом отрезке. Поэтому существует такой номер , что

! " % " ,

0 ' 2

где % — многочлен Тейлора функции !.

Из последних двух неравенств получаем, что

делом некоторой равномерно сходящейся последовательности алгебраических многочленов.

§ 24.4. Почленное дифференцирование и интегрирование;

убывание коэффициентов и остатка ряда Фурье

Лемма 1. Пусть — 2--периодическая и кусочно-непрерыв- ная функция, , — её коэффициенты Фурье.

Тогда справедливо неравенство Бесселя