Добавил:

linnesse Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Математический анализ

Файл:

ЛпМА_Бесов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2024

Размер:

3.6 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 4837 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

362	Гл. 23. Скалярные и векторные поля

Выясним связь между потенциальностью непрерывно дифференцируемого векторного поля % & ; и условием


	%	%		%
%		%	%
%		%	%

		; &			%	; &	% , (3)

при выполнении которого векторное поле называется безвихревым.

Теорема 1. Пусть непрерывно дифференцируемое векторное поле в области C 3 потенциально.

Тогда в этой области оно является безвихревым.

Эта теорема содержится как часть в теореме 20.5.2.

Условие (3), являясь необходимым условием потенциальности

непрерывно дифференцируемого векторного поля , не является достаточным в случае произвольной области C 3 .

Пример 1. Пусть C 3 '.,					0 ,
Пример 1. Пусть C 3 '.,	2 2 2 2				0 ,
, , . C.	2 2 2 2
, , . C.
Тогда в области C. Однако		поле	не	является

потенциальным, в чём можно убедиться, вспомнив, что его циркуляция по окружности $! ; 2, ; 2, 0 : 0 2 2- радиуса ; равна

, + 2- 0

(см. пример 20.5.1).

Условие (3) оказывается необходимым и достаточным условием (критерием) потенциальности поля для области C 3 с некоторым геометрическим свойством, называемым поверхностной односвязностью.

Определение 2. Область C 3 называется поверхностно односвязной, если для любой простой замкнутой ломаной JC существует поверхность 8 C, удовлетворяющая условиям теоремы Стокса и натянутая на J.

Определение 3. Область C 3 называется выпуклой, если вместе с любыми двумя своими точками она содержит отрезок с концами в этих точках.

Пример 2. Выпуклая область является поверхностно односвязной. В самом деле, пусть задана простая замкнутая ломаная J C. Покажем, что на неё можно натянуть лежащую

§ 23.4. Потенциальные векторные поля (продолжение)	363
в области C поверхность 8, удовлетворяющую условиям теоре-
мы Стокса. Пусть
J ρ 0 0 0 2- ,

0 00 01 ... 06 2-, , 0 — последовательно занумерованные вершины ( 6 0) ломаной J. Выберем произволь-

ную точку C, не лежащую ни на одной прямой, соединяющей точки 1 и ( 1, ..., ). Рассмотрим кусочно-гладкую

поверхность 8 !6	, гладкие куски 8 которой являются
1 8
треугольниками с вершинами 1, , . Очевидно, что 8
и является искомой поверхностью.
Пример 3. Область C из примера 1 не является поверхност-
но односвязной, так как, например, на замкнутую ломаную J,

лежащую в плоскости . 0 и «охватывающую» ось '., нельзя натянуть требуемую поверхность 8, лежащую в области C, т. е. не пересекающую ось '.. В качестве такой ломаной J можно взять, например, ломаную, вписанную в окружность $! из примера 1, в частности, равносторонний треугольник в плоскости

. 0 с центром в точке 0, 0, 0 .

Пример 4. Область, образованная вращением вокруг оси '. не пересекающего ее открытого круга в плоскости ' . и называемая тором, не является поверхностно односвязной.

Теорема 2. Пусть на поверхностно односвязной области задано непрерывно дифференцируемое векторное поле.

Тогда для его потенциальности необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость установлена в теореме 20.5.2.

Достаточность. Пусть C — поверхностно односвязная область, и пусть — непрерывно дифференцируемое векторное поле на C. Покажем, что для произвольного кусочно-гладкого контура 7 C выполняется условие (2). В силу леммы 20.3.1 об аппроксимации криволинейного интеграла второго рода достаточно убедиться в выполнении условия

, + 0	(4)
5

для любой замкнутой ломаной J C. Достаточно установить (4) для любой простой замкнутой ломаной J. Натянем на J поверхность 8 C, удовлетворяющую условиям теоремы Стокса, что

364	Гл. 23. Скалярные и векторные поля

можно сделать в силу поверхностной односвязности области C. Тогда по теореме Стокса

, +		, ν +8 , ν +8 0
5	4	4

Следовательно, условие (4) выполняется, и теорема доказана. Замечание 1. Сравним характер условий (1), (2), (3) потен-

циальности непрерывно дифференцируемого поля .

Условие (3) является локальным (для его проверки в данной точке достаточно знать поведение поля на сколь угодно малой окрестности этой точки). Условия (1), (2) называют интегральными (для их проверки требуется знание поведения поля«в целом»). Мы видели (теорема 1), что для произвольной области C из интегрального условия вытекает локальное (для доказательства привлекаются свойства поля в принадлежащем области малом шаре с центром в данной точке).

Интегральные условия (1) или (2) вытекают из локального условия (3) лишь при некотором специальном геометрическом условии (поверхностная односвязность) на область (см. теорему 2 и пример 1).

Г л а в а 24

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

§24.1. Определение ряда Фурье

ипринцип локализации

Определение 1. Ряд вида

		0		,
		0
		2
		2
			1
называется тригонометрическим рядом.
Множество функций
1		, , , 2 , 2 ,		3 ,	3 , ...
	2	, , , 2 , 2 ,		3 ,	3 , ...
	2

называется тригонометрической системой. Тригонометрическая система функций является ортогональ-

ной системой в том смысле, что

+ 0, , 0 , ;

+ 0, , , ;

+ 0, 0 ,

Кроме того,

'		'
2	+	2 +	-,
'		'
Лемма 1. Пусть
	0			(1)
	0			(1)
	2
		1

и этот ряд сходится равномерно на .

366 Гл. 24. Тригонометрические ряды Фурье

Тогда:		'
		'
0	1		+ ;
0	'		+ ;
	'
		'
	1			+	;	(2)
		'		+	;


		'
	1			+ ,
	'			+ ,
	'
Д о к а з а т е л ь с т в о.				Функция непрерывна на

-, - как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных

функций. Умножим равенство (1) почленно		на или
на ( ). Полученные	ряды также	будут сходиться
равномерно на -, - , и их	почленное	интегрирование

с использованием свойства ортогональности функций системы даёт равенства

'		'
	+		2	+	- ,
'		'
'		'
	+		2	+	- ,
'		'

откуда получаем вторую и третью формулы из (2). Первая из формул (2) получается почленным интегрированием ряда (1).

Заметим, что члены тригонометрического ряда являются 2-- периодическими функциями, определёнными на действительной оси. Поэтому и сумма тригонометрического ряда (если этот ряд сходится) также является 2--периодической функцией.

Определение 2. Пусть — 2--периодическая функция, абсолютно интегрируемая на отрезке -, - . Тригонометрический ряд с коэффициентами , , определёнными по формулам (2), называется тригонометрическим рядом Фурье функции , а коэффициенты , — коэффициентами Фурье функции .

В этом случае пишут

0		,	(3)

2
	1

понимая под такой записью, что функции поставлен в соответствие её ряд Фурье.

§ 24.1. Определение ряда Фурье и принцип локализации

367

Лемму 1 можно переформулировать так: равномерно сходящийся тригонометрический ряд является рядом Фурье своей суммы.

Упражнение 1. Показать, что тригонометрический ряд

#, 0, является рядом Фурье.

1 #1

Заметим, что если 2--периодическая функция абсолютно интегрируема на каком-либо отрезке , 2- длины 2-, то она будет абсолютно интегрируемой и на любом отрезке , 2- ,

и при этом

2' 2'

+ +

Это свойство, очевидное с геометрической точки зрения, без труда можно доказать аналитически. В частности, коэффициенты Фурье 2--периодической функции можно вычислять, заменив в формулах (2) интеграл по отрезку -, - на интеграл по любому отрезку , 2- .

С другой стороны, каждую заданную на -, - абсолютно интегрируемую функцию можно (изменив при необходимости её значение в точке - или/и в точке -) продолжить до определённой на всей оси 2--периодической функции. При этом изменение её значения в одной или в двух точках не изменит коэффициентов Фурье (2) её 2--периодического продолжения, а значит, и ряда Фурье (3). Поэтому сходимость и другие свойства ряда Фурье можно изучать, считая, что функция задана лишь на отрезке длины 2-, например, на -, - .

В первую очередь мы будем исследовать вопросы сходимости ряда Фурье в данной точке и на отрезке, равномерной сходимости на всей числовой оси и т. п. Наибольший интерес представляет случай, когда ряд Фурье функции сходится к функции в том или ином смысле. В этом случае говорят, что функция

разложена в ряд Фурье.

Теорема 1 (Римана об осцилляции). Пусть функция абсолютно интегрируема на конечном или бесконечном интервале , .

Тогда

) + ) + 0

368Гл. 24. Тригонометрические ряды Фурье

До к а з а т е л ь с т в о. Без ограничения общности будем считать, что , , . Если это не так, то функцию можно доопределить нулём на , , . По теореме 14.8.4 функция непрерывна в среднем, т. е.


+	0 при		0	(4)

Заменив в следующем интеграле переменное		на	, полу-
чаем
чаем

) )

В силу (4)

) 2

			)
+			)	+
1

	2			) +

			0 при	)
		+	0 при	)
		+

Для интеграла ) + доказательство аналогично.

Следствие. Коэффициенты Фурье и (2) абсолютно интегрируемой на отрезке -, - функции стремятся к нулю при

Пусть 2--периодическая функция абсолютно интегрируема на -, - . Частичная сумма ряда Фурье

8 ; 0
8 ; 0
2
	1
называется суммой Фурье порядка		функции . Приведём

её к компактному виду, удобному для дальнейших исследований. Назовём ядром Дирихле функцию

1				1
				2	(5)
				2
2
2		2
	1		2
Последнее равенство	(при 2 -,	, правая			часть
понимается как предел частного при		2 -) устанавливается
следующим образом. При	2 -

	§ 24.1. Определение ряда Фурье и принцип локализации										369
	1						2
	1

2				2
2				2				2
			2			1
	1								1	1
	1								1	1

	2			2					2	2
		2			1

Ядро Дирихле (5) является, очевидно, 2--периодической чётной непрерывной функцией. Кроме того,

					0													1	,
					0														,
																	2
					'								'
			2						+			1		+				1		(6)
									+					+				1		(6)
					0								'
					0								'
	Преобразуем сумму Фурье 8													; , подставив в неё вместо
коэффициентов Фурье их выражения (2). Получим
8 ;
1		'						1	'
1								1
		" +"								" "							" +"
	2	" +"								" "							" +"
		'					1		'
						'
				1			" )			1
				1						1	"						+"
										2	"						+"
					'								1				*
					'											'
																'
															1	" " +"				(7)
																" " +"				(7)
																'
																'

Произведя в последнем интеграле (называемом интегралом Дирихле) замену переменного " на " и сдвиг отрезка интегрирования, получим

	'
8 ;	1	" " +"
8 ;		" " +"
	'				0	'
			1	+	. " " +"
				+	. " " +"
	-				'		'
					'	00
						1		" " " +" (8)
							0	" " " +" (8)

370 Гл. 24. Тригонометрические ряды Фурье

При произвольном Æ 0, - представим последний интеграл в виде суммы двух интегралов:

;

! !

2 " +"

-0

Æ0

Во

втором

из

этих

интегралов

знаменатель

дроби

2 Æ

0, поэтому сама дробь абсолютно интегрируе-

ма как функция переменного ".

Следовательно, по теореме Римана об осцилляции второй

интеграл стремится к нулю при

. Мы приходим, таким

образом, к следующему утверждению.

Теорема 2. Пусть 2--периодическая функция абсолютно

интегрируема на отрезке -, - ,

0 , 0 Æ -. Тогда пре-

делы

8 0; ,

(9)

0 ! 0 !

(10)

2 " +"

существуют или не существуют одновременно и совпадают в случае их существования.

Следствие (принцип локализации). Сходимость ряда Фурье

функции	в точке		0	и	значение	его суммы в случае схо-
димости	определяются			поведением		функции	на интервале
0 Æ,	0 Æ , т. е. в сколь угодно малой окрестности точки								0.
	§ 24.2. Сходимость ряда Фурье
Пусть	0 — точка разрыва первого рода функции . Введём
следующие обобщения односторонних производных:
		0			0 0 0		,

			0 0
		0			0 0 0

			0 0
Определение 1. Точку					0 назовём почти регулярной точ-
кой функции , если существуют						0 0 ,	0 0 ,		0 ,
					0 0 0 0			, то 0 назо-
0 . Если при этом					0	2
вём регулярной точкой функции .

представляет собой

§ 24.2. Сходимость ряда Фурье

371

Если в почти регулярной точке функция непрерывна справа (слева), то она имеет в этой точке правую (левую) производную.

Если функция непрерывна в точке				0 и имеет в ней правую
и левую производные, то		0 — регулярная точка функции .
Теорема 1.	Пусть 2--периодическая функция абсолютно
интегрируема на отрезке -, - , и пусть				0 — её почти регуляр-
ная точка.
Тогда ряд	Фурье	функции	сходится в		точке 0
к 0 0 0 0 . Если же при этом				0 — регулярная точка
функции ,2то ряд Фурье в точке			0 сходится к		0 .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть			0 — почти регулярная точка

функции . Из формулы (24.1.8) с помощью (24.1.6) получаем

8 0; 0 0 0 0

" 0 " 0 " +"

0 0 0 0 2

" +"

0 ! 0

0 ! 0 0

(1)

2 " +"

Дробь

, доопределённая

единицей

при

" 0,

является

функцией на

отрезке

0, - .

Дробь

непрерывной

0 ! 0 0 является абсолютно интегрируемой на 0, -
	!	поскольку		таковой является её числитель, а при
функцией,
"	0 0	она	имеет	конечный предел. То же утверждение
справедливо и			для	второй дроби в квадратных скобках.

Следовательно, в подынтегральном выражении последнего интеграла множитель при 12 "

абсолютно интегрируемую на 0, - функцию. По теореме Римана

об	осцилляции	последний интеграл стремится		к нулю при
	, т. е.
	8 0;	0 0 0 0	при
		2

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 4837 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
28.12.20243.6 Mб5ЛпМА_Бесов.pdf
#
28.12.2024102.1 Кб1обозначения.pdf