ЛпМА_Бесов

352 Гл. 23. Скалярные и векторные поля

называется дивергенцией, или расходимостью векторного поляв этой точке.

Символически можно записать

" & $,

Ротором, или вихрем векторного поля , , в данной точке называется вектор

туру 7.

Ни градиент скалярного поля, ни дивергенция, ни ротор векторного поля не зависят от сдвига и от поворота прямоугольной системы координат. Это утверждение можно доказать как непосредственными вычислениями, так и на основе геометрических соображений. Например, градиент функции, как известно, направлен в сторону быстрейшего роста функции и по модулю равен производной по этому направлению. Обсуждаемая независимость дивергенции и ротора векторного поля от сдвига или поворота системы координат будет получена в качестве следствий из теоремы Гаусса–Остроградского и из теоремы Стокса соответственно.

Оператор $, применяемый к скалярному или к векторному полю, действует, с одной стороны, как оператор дифференцирования, а с другой — как обычный вектор. Выработаны

354 Гл. 23. Скалярные и векторные поля

Почти гладкий кусок поверхности является гладким куском поверхности (определение 21.7.1), если непрерывно дифференцируема не только на , но и на .

Примером почти гладкого куска поверхности является полу-

сфера

, , . 2 2 .2 1, . 0

Определение 2. Потоком непрерывного векторного поля

, , . 0 0 ; , , . через почти гладкий кусок поверхности (1) в направлении нормали называется интеграл

-

Это определение обобщает определение потока данного векторного поля, введённое в случае явно заданного гладкого куска поверхности (см. (22.2.5) при % & 0, 0, = , ).

Довод в пользу естественности обобщения (2) состоит в следующем. Пусть 8 — часть поверхности (1):

8 , , , , ,

где 0, , " , , D — область в 2 . Тогда 8 — гладкий кусок поверхности, и поток вектора ; через 8 в направлении той же нормали (согласно определе-

нию 22.2.1) равен

; , , , + +

-

При 0 этот интеграл стремится к (2) вследствие непрерывности поля ; , , , на и в силу 0.

Наряду с определениями 1, 2 будем использовать аналогичные определения почти гладкого куска поверхности, заданного в явном виде формулой # , . или ., , и потока непрерывных векторных полей % , , . или & , , . соответственно.

Определение 3. Расширим понятие кусочно-гладкой поверхности, понимая под куском поверхности в определении 21.7.2 либо гладкий кусок, либо явно заданный почти гладкий кусок.

Определение 4. Область C 3 вида

C , , . 3 , . 1 , , , (3)

назовём простой относительно оси '. (короче: '.-простой), если — ограниченная плоская область, D — простой кусочно-

а вместе с ним и для общего случая векторного поля , установлено.

Следствие. Пусть на некоторой окрестности точки

3 векторное поле % & ; непрерывно вместе с производными % , & , ; . Пусть — шар радиуса 0 с центром в точке , D — поверхность шара (сфера), — единичный вектор внешней нормали к D . Тогда при всех достаточно малых 0

Интеграл в правой части (5) не зависит от выбора прямоугольной системы координат в 3 , так что и дивергенция векторного поля не зависит от выбора декартовой прямоугольной системы координат. Формула (5) может служить определением дивергенции. Такое определение дивергенции называют геометрическим.

Упражнение 1. Выразить меру области C 3 через поверхностные интегралы, применив формулу Гаусса–Остроградского

Определение 5. Ограниченную область 3 , удовлетво-

ряющую условиям теоремы Гаусса–Остроградского, будем называть допустимой.

Определение 6. Кусочно-гладкую поверхность 8 будем называть допустимой, если она является границей некоторой допустимой области 3 . При этом под внешней нормалью к 8 будем понимать нормаль к 8, внешнюю относительно области .

Определение 7. Непрерывно дифференцируемое в области C 3 векторное поле , , . называется соленоидальным, если равен нулю его поток через любую допустимую поверхность 8 C в направлении внешней нормали к 8.

т. е. поток вихря векторного поля через поверхность 8 равен циркуляции векторного поля по контуру, ограничивающему эту поверхность.

Формула (3) называется формулой Стокса. В координатной форме формула (3) имеет вид

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим лишь случай векторного поля % 0 0 , так как случаи полей & и ; рассматриваются аналогично и все вместе приводят к формуле (4) общего вида. Итак,

% , , . + % 0 " , = " , 0 " , = " , . 0 " , = "

%-

Применив формулу Грина к последнему интегралу, получаем,

Замечание 1. Справедливость теоремы (формулы) Стокса сохранится, если в её условиях требования к поверхности 8 ослабить, сняв условие непрерывности вторых производных (которое является лишь «техническим», т. е. нужным только для приведённого доказательства).

Таким образом, теорема Стокса остаётся верной, если под 8 понимать произвольный параметрически заданный элементарный гладкий кусок поверхности (терминологию см. в § 21.5). План доказательства такого обобщения теоремы Стокса может быть основан на: аппроксимации гладкого куска поверхности гладким дважды непрерывно дифференцируемым куском; применении к последнему доказанной теоремы Стокса; предельном переходе по последовательности аппроксимирующих гладких дважды непрерывно дифференцируемых кусков.

Не приводя самого доказательства, будем считать, что теорема (формула) Стокса верна в указанной более общей формулировке.

Формула Стокса (3) остаётся справедливой и при одновременной замене ориентаций куска поверхности 8 и его края D8 7 на противоположные, так как при этом обе части равенства (3) поменяют знаки на противоположные. Ориентации поверхности 8 и её контура D8 7 после смены на противоположные также окажутся взаимно согласованными (по правилу штопора).

Теорему Стокса можно обобщить на случай ориентированной кусочно-гладкой поверхности 8.

1

ность, лежащая в области C 3 , D8 — её край с ориентацией,

порождённой заданной ориентацией поверхности 8. Тогда для непрерывно дифференцируемого в области C векторного поля справедлива формула Стокса

Д о к а з а т е л ь с т в о состоит в применении формулы Стокса (3) к каждому куску 8 поверхности и в сложении полученных равенств. При этом части контурных интегралов по общей части D8 D8 ( @) соседних кусков 8 и 8 взаимно уничтожаются, поскольку отличаются лишь ориентацией кривых, входящих в D8 D8 .