ЛпМА_Бесов

342 Гл. 21. Элементы теории поверхностей

назовём соседними, если пересечение их краев D81 D8281 82 представляет собой объединение конечного числа кусочно-гладких кривых и, быть может, конечного числа точек.

6

Определение 2. Объединение 8 ! 8 кусков поверхности

1

8 (1 ) называется кусочно-гладкой поверхностью при выполнении следующих условий:

1Æ для любых двух кусков поверхности 8 и 8 существует такой набор кусков поверхности 8 8 1 , 8 2 , ..., 8 8 , что любые два стоящие в нём рядом куска поверхности являются соседними;

2Æ если при @ пересечение D8 D8 содержит более чем конечное множество точек, то куски поверхности 8 и 8 являются соседними;

3Æ пересечение краёв D8 D8 D8 любых трёх различных кусков поверхности состоит из не более чем конечного числа точек.

Обозначим через D i 8 часть края D8 куска 8 кусочно-гладкой поверхности 8, состоящую из объединения всех кусочно-гладких кривых из ! D8 D8 . Назовём D i 8

состоит из конечного числа кусочно-гладких контуров (в этом случае 8 называется поверхностью с краем).

Так, например, край боковой поверхности пирамиды совпадает с краем её основания, а поверхность куба является

обобщить, если считать, что соседние куски 8 и 8 поверхности

«склейки»). При таком подходе краем D8 лежащего в плоскости

. 0 кольца с разрезом по радиусу можно считать объединение двух окружностей и этого разреза, а у последнего различать два «берега». Однако для наших дальнейших целей достаточно

приведённых выше менее сложных определений соседних кусков поверхностей и края кусочно-гладкой поверхности.

Рассмотрим пример другой поверхности, называемой листом Мёбиуса. Он получится, если, взяв полоску бумаги прямоугольной формы, повернуть один из её концов вокруг средней линии на 180Æ и склеить оба конца. На листе Мёбиуса нельзя задать непрерывное поле нормалей. Такая поверхность называется неориентируемой, или односторонней. Разрезав же лист Мёбиуса по месту склейки концов, можно представить его как

ориентируемый, т. е. двусторонний, кусок поверхности. Установим связь между ориентацией гладкого куска поверх-

ности 8 вида (1) и ориентацией его края D8.

Определение 3. Пусть контур D ориентирован положительно относительно плоской области . Тогда его ориентация индуцирует ориентацию края D8 поверхности 8 (который как образ

D является кусочно-гладким контуром в 3 ). Эта ориентация

края D8 называется согласованной с ориентацией

гладкого куска поверхности. Противоположная же ориентация

края D8 называется согласованной с ориентацией гладкого куска поверхности 8.

Выясним геометрический смысл понятия согласованности ориентаций. Пусть 8 — явно заданный кусок поверхности вида (21.2.5), причём — круг малого радиуса, D — окружность,

— непрерывно дифференцируемая на функция. При положительной ориентации контура (окружности) D относительно эта окружность проходится против часовой стрелки.

Край D8 лежит на боковой поверхности кругового цилиндра с осью, параллельной оси '., и проекцией D8 на плоскость

. 0 является D . Ориентация края D8 определяется тем, что при движении точки по D8 в направлении, задаваемом этой ориентацией, проекция этой точки движется по D против часовой

Таким образом, ориентация куска поверхности 8 согласована с ориентацией D8 по правилу штопора (штопор движется в направлении , если его ручку вращать в соответствии с ориентацией D8).

Это же согласование ориентаций можно выразить иначе: если мы движемся по контуру D8 в направлении его ориентации

так, что нормаль пронизывает нас от ног к голове, то ближайшая часть куска поверхности 8 остаётся слева. Последняя формулировка носит более общий характер, так как применима к произвольному явно заданному куску поверхности, а значит, и к произвольному параметрически заданному куску поверхности, в силу того, что каждый такой кусок поверхности можно локально представить в виде явно заданного куска поверхности — см. нижеследующую лемму.

Лемма 1. Пусть 8 — ориентированный гладкий кусок поверхности (1). Тогда ориентация края D8, согласованная с ориентацией куска поверхности 8, согласована и по правилу штопора.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для явно заданного гладкого куска поверхности утверждение леммы только что установлено. Общий случай рассмотрим лишь в предположении, что вектор-функция0, = в (1) непрерывно дифференцируема на некоторой окрестности множества . Пусть ориентация куска 8 задана нормалью

непрерывно дифференцируемого отображения, можно показать, что при достаточно малом 0:

Нормаль к куску поверхности 8 , найденная по формуле (21.2.6), совпадает по направлению с исходной единичной нормалью в силу (21.3.3) и 2Æ.

Ориентация D , порождённая ориентацией D , положи-

тельна относительно в силу 2Æ и геометрического смысла

знака якобиана отображения #: (см. окончание § 20.4).

Таким образом, утверждение о согласованности ориентаций поверхности 8 и её края D8 по правилу штопора сведено к случаю явно заданной поверхности, в котором оно уже установлено.

Задание ориентации куска поверхности 8 вида (1) равносильно заданию (согласованной с ней) ориентации его края D8 (являющегося кусочно-гладким контуром). Поэтому ориентацию края D8 также будем называть ориентацией куска поверхности 8.

Пусть теперь 81ν1 и 82ν2 — два соседних куска поверхности, каждый из которых ориентирован каким-либо способом (одним из двух). Рассматриваемые ориентации ν1, ν2 будем называть согласованными, если каждая из них на любой кусочно-гладкой кривой из D81 D82 порождает противоположные ориентации.

Определение 4. Кусочно-гладкая поверхность 8 !6

1 8

называется ориентируемой, если существуют такие ориентации ν1, ..., ν6 соответственно кусков поверхности 81, ..., 86, что ориентации ν и ν любых двух соседних кусков поверхности 8 и 8 согласованы.

Совокупность ν ν таких ориентаций кусков поверхности 8 ( 1, ... , ), если они существуют, называется ориентацией ν поверхности 8. Совокупность противоположных ориентацийν кусков 8 ( 1, ... , ) называется при этом противоположной ориентацией поверхности 8.

Ориентируемая кусочно-гладкая поверхность 8, у которой фиксирована одна из двух её ориентаций ν, называется ориентированной; обозначим её через 8ν.

Край D8 ориентированной кусочно-гладкой поверхности 8 (с краем) состоит из конечного числа контуров. Любой из этих контуров представляет собой объединение конечного числа кривых, каждая из которых является частью одного из ориентированных контуров D8 (его ориентация согласована с ориентацией 8 ) и потому сама имеет ориентацию.

Совокупность ориентаций всех таких кривых определяет ориентацию всех контуров края D8. Совокупность этих ориентаций контуров из D8 называется ориентацией края D8, порождённой заданной ориентацией поверхности 8ν.

Г л а в а 22

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 22.1. Поверхностные интегралы первого рода

Пусть в трёхмерном евклидовом пространстве задана гладкая поверхность

где — плоская измеримая область, так что на вектор-функ- ции , 2 непрерывны и 2 .

В определение допустимой замены параметров 0, = поверх-

ности (1) (0 0 01, =1 , = = 01, =1 , 01, =1 1) теперь будем включать ещё дополнительное требование измеримости

области 1.

Определение 1. Пусть на 8 определена числовая функция /: 8 . Тогда интеграл

/ , , . +8

-

называется поверхностным интегралом первого рода от функции / по поверхности 8.

Установим некоторые свойства поверхностного интеграла (2).

2.Æ Поверхностный интеграл первого рода (2) не зависит от параметризации гладкой поверхности (1) (при которой область изменения параметров измерима).

Пусть гладкая поверхность 8 вида (1) имеет и другое пред-

ставление:

8 ρ 01, =1 01, =1 1 , где 1 — измеримая область,

ρ 01, =1 0 01, =1 , = 01, =1

01, =1 , 1 01, =1 , K 01, =1 ,

-

Определение 2. Площадью гладкой поверхности 8 вида (1) называется число

4-

Всилу свойств 1Æ и 2Æ площадь гладкой поверхности 8 существует и не зависит от параметризации поверхности (при допустимой замене параметров).

Приведём соображения в пользу естественности определения площади поверхности формулой (3). Рассмотрим разбиение плоскости '0= на квадраты ранга :

Перенумеруем непустые пересечения & и обозначим

,

их через , 1, ..., . Получим разбиение 6

1

области . Пусть достаточно велико, и пусть . Тогдапредставляет собой квадрат (рис. 1):

0, = 0 0 0 , = = =

При переходе от вершины 0 , = к соседним вершинам квадрата радиус-вектор 0, = получит приращения

0 , = 0 , = 0 , = ,0 , = 0 , = 2 0 , =

Заменим образ квадрата «близким» ему параллелограммом, лежащим в касательной плоскости к поверхности 8 в точке

348 Гл. 22. Поверхностные интегралы

Выражение 2 +0 += часто называют элементом площади и обозначают символом +8. Учитывая формулы (21.15), (21.5.3), получаем различные виды записи +8:

C /2 +0 +=,

где , /, C — коэффициенты первой квадратичной формы. Поверхностный интеграл первого рода по кусочно-гладкой

§ 22.2. Поверхностные интегралы второго рода

Пусть в 3 задана гладкая поверхность

Сориентируем поверхность 8 с помощью выбора непрерыв-

ного векторного поля единичных нормалей ν и обозначим получившуюся ориентированную поверхность через 8ν.

В случае ν поверхность 8 будем называть ориентированной положительно и обозначать также через 8 , в случае же ν поверхность 8 будем называть ориентированной отрицательно и обозначать также через 8 .

Пусть на поверхности 8 задано векторное поле

, , . % , , . & , , . ; , , .

Определение 1. Потоком вектор-функции через гладкую ориентированную поверхность 8ν (иначе: через поверхность 8 в направлении нормали ν) называется поверхностный интеграл первого рода

4

В силу свойств поверхностных интегралов первого рода этот интеграл существует, если функции % 0, = , 0, = , . 0, = , & 0, = , 0, = , . 0, = , ; 0, = , 0, = , . 0, = как функции переменных 0, = интегрируемы на , в частности, если %, &, ; непрерывны на 8.

Интеграл (3) меняет знак при замене ориентации ν на ν, т. е. на противоположную.

Интеграл (3), вычисляемый через двойной интеграл по области изменения параметров, не зависит от допустимой замены параметров, сохраняющей ориентацию поверхности.

Определение 2. Интеграл (3) называют поверхностным интегралом второго рода от вектор-функции по ориентированной поверхности 8ν.

В случае положительно ориентированной поверхности 8 (ν ) поверхностный интеграл второго рода по 8 обозначается символом

% , , . + +. & , , . +. + ; , , . + +

4

, +8 (4)

4

Из определения 22.1.1 поверхностного интеграла первого рода и из (2) имеем

% + +. & +. + ; + +

4

% , , . & , , . ; , , . : +8

4

Поверхностный интеграл второго рода по ориентированной кусочно-гладкой поверхности определяется как сумма поверхностных интегралов по соответственно ориентированным гладким кускам этой поверхности.

Г л а в а 23

СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ

§ 23.1. Основные скалярные и векторные поля

Будем рассматривать числовые или векторные функции, определённые на двумерных или трёхмерных областях. При этом будем говорить, что на данной области задано скалярное или векторное поле соответственно. Если рассматриваемые функции непрерывны, дифференцируемы и т. п., будем говорить, что скалярное или векторное поле соответственно непрерывно, дифференцируемо и т. п.

Введём в рассмотрение символический вектор, называемый

оператором Гамильтона, или оператором набла:

$ 00 00 00

Тогда градиент числовой функции (скалярного поля) 0 мож-

но записать в виде

" 0 $0,

если правую часть равенства (имеющую вид «произведения» вектора набла на числовую функцию 0) понимать как применение

где скалярное произведение

, $ 00 00 : 00

Если , , — произвольный фиксированный вектор, то вектор