ЛпМА_Бесов

Г л а в а 21

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

§ 21.1. Гладкие поверхности

Для описания и изучения поверхностей будем пользоваться вектор-функциями двух переменных. В соответствии с общим определением функции (отображения) будем говорить, что на множестве 2 задана вектор-функция : 3 , если каждой точке 0, = поставлен в соответствие трёхмерный

ного переменного и числовой функции двух переменных вводятся понятия предела, непрерывности, дифференцируемости и др. для вектор-функции двух переменных.

Вектор называется пределом вектор-функции вида (1) при 0, = 00, =0 по множеству , если 00, =0 — предельная точка множества и

0 Æ Æ 0 0, =

а если при этом Æ 00, =0 при некотором Æ 0, то пишут

можно сформулировать эквивалентным образом в терминах координатных функций (ср. § 8.1).

Часто в качестве области определения 2 вектор-функ- ции (1) будем брать замкнутую область (т. е. замыкание обла-

будем называть (параметрически заданной) гладкой поверхностью 1).

Переменные 0, = называются параметрами поверхности (2), или её координатами.

Ту же поверхность можно задать в виде

8 0, = 0, = или 8 0, = 0, = ,

где 0, = 0, = , 0, = , . 0, = . Пару 0, = , 0, = называют точкой поверхности 8, а 0, = — координатами этой

точки. Часто ради краткости точку 0, = 3 также называют

точкой поверхности 8.

В определении 1 не исключается, что через некоторую точку3 поверхность «проходит» не один раз, т. е. что при некоторых 01, =1 , 02, =2

01, =1 02, =2

1) С общей точки зрения естественнее было бы (2) называть (параметрически заданным) куском поверхности, оставив термин «(параметрически заданная) поверхность» за множеством, формально отличающимся от (2) лишь заменой замкнутой области на область . Мы будем придерживаться предложенной терминологии ради простоты записи.

— гладкая поверхность, 00, =0 . Заметим, что пересечениес прямой = =0 содержит, во всяком случае при 00, =0 , некоторый интервал, которому принадлежит точка 00, =0 .

Множество

0, =0 0, =0

называется координатной линией = =0. Вектор 0

0/

, , . является её касательным вектором. Аналогично определяется координатная линия 0 00:

00, = 00, =

с касательным вектором

2 010 2, 2, .2

Замечание 1. Поскольку

то условие (3) можно записать в виде 2 2 $2 0 или

(сферический пояс) является гладкой параметрически заданной поверхностью.

Далее мы будем рассматривать гладкие параметрически заданные поверхности или поверхности, составленные из конечного числа таких поверхностей.

§ 21.2. Касательная плоскость и нормальная прямая

— гладкая кривая, лежащая на поверхности и проходящая через данную точку 00, =0 , 00, =0 поверхности. Касательный вектор этой кривой в точке "0, 00, =0 имеет вид

"0 00, =0 0 "0 2 00, =0 = "0 ,

тельной плоскости к поверхности в векторной форме, используя смешанное произведение векторов:

плоскости. В координатной форме уравнение (2) принимает вид

Определение 2. Прямая, проходящая через точку касания поверхности с касательной плоскостью и перпендикулярная касательной плоскости, называется нормальной прямой к поверхности в указанной точке.

Определение 3. Всякий ненулевой вектор, коллинеарный нормальной прямой, проходящей через данную точку поверхности, называется нормалью к поверхности в этой точке.

Нормалью к гладкой поверхности (21.1.4) в данной точке является, например, вектор 2 (см. (21.1.5)).

Поэтому уравнения нормальной прямой имеют вид

0 0 0 ,

или в подробной записи

где функция непрерывно дифференцируема на замкнутой области , называется явно заданной гладкой поверхностью. Это важный частный случай параметрически заданной гладкой поверхности (21.1.2).

Гладкая явно заданная поверхность является, очевидно, про-

Определение явно заданной гладкой поверхности очевидным образом распространяется на случай, когда параметрами поверхности служат и . или . и .

§21.3. Преобразование параметров гладкой поверхности

Изучим вопрос о преобразовании (замене) параметров на гладкой поверхности. Пусть — плоская область,

— параметрически заданная гладкая поверхность, так что вектор-

параметризованной, если замена параметров (2) является допу-

на 1. Ясно, что отображение, обратное допустимому, также является допустимым. Из (3) следует, что при допустимом преобразовании параметров:

а) параметрически заданная гладкая поверхность переходит в параметрически заданную гладкую поверхность,

б) нормальная прямая и касательная плоскость к поверхности сохраняются.

Заметим, что не всякую гладкую параметрически заданную поверхность (1) можно представить в виде явно заданной гладкой поверхности с помощью замены параметров 0, = на , , или на , ., или на ., . Это невозможно сделать, в частности, для поверхности 8 из примера 21.1.1, которая не проектируется взаимно однозначно ни на одну из координатных плоскостей.

Однако локально такое преобразование параметров можно осуществить. В самом деле, поскольку на

необходимости указанные окрестности, можем каждую из них считать областью (см. теорему 12.3.4). Тогда часть

8 0 0, = , 0, = , . 0, = 0, = 00, =0

поверхности (1) после замены параметров 0, = на , имеет представление

8 0 , , , , 0, 0 , где , . 0 , , = , .

§ 21.4. Ориентация гладкой поверхности

Вектор-функцию (и ) называют непрерывным полем единичных нормалей поверхности 8.

Определение 1. Всякое непрерывное поле единичных нормалей гладкой поверхности 8 называется ориентацией (или

стороной) поверхности 8.

Поверхность 8 (21.3.1), как имеющая две различные ориентации (стороны) и , называется двусторонней поверхностью.

Одна из этих двух ориентаций называется положительной, а другая — отрицательной. Для определённости за положительную ориентацию гладкой поверхности (21.3.1) (если не оговорено противное) примем поле нормалей (1).

Поверхность 8 (21.3.1), у которой фиксирована одна из её ориентаций, называется ориентированной поверхностью. Ориентированную поверхность 8 (21.3.1) с положительной ориентацией будем обозначать через 8 , а с отрицательной ориентацией — через 8 .

При замене параметров гладкой ориентированной поверхности в понятие допустимой замены параметров наряду с требованиями 1Æ, 2Æ, 3Æ (см. § 21.3) включим ещё требование

4Æ 0 /,, 1 0 на 1.

0 /1 11

Тогда, как видно из (21.3.3), при замене параметров гладкой поверхности выполняются не только свойства a), б), но ещё

и свойство в) сохраняется ориентация поверхности (т. е. положительно

(отрицательно) ориентированная поверхность при её новом представлении остаётся положительно (отрицательно) ориентированной).

§ 21.5. Первая квадратичная форма гладкой поверхности

Пусть

8 0, = 0, =

— гладкая параметрически заданная поверхность. Это означает по определению, что , 2 непрерывны на замкнутой области

и 2 на .

Рассмотрим дифференциал вектор-функции :

+ +0 2 +=

340 Гл. 21. Элементы теории поверхностей

Тогда

C+=2 называется первой квадратичной формой поверхности, а , /, C — её коэффициентами.

Первая квадратичная форма поверхности положительно определённа, так как + 2 0 только при +0 0, += 0. Следова-

C помощью коэффициентов квадратичной формы поверхности можно вычислять площадь поверхности, длины кривых на поверхности и углы между такими кривыми.

§ 21.6. Неявно заданные гладкие поверхности

Пусть область C 3 , и пусть на C функция /: C непрерывно дифференцируема, причём / 2 / 2 / 2 0. Тогда множество точек

8 , , . , , . C, / , , . 0

будем называть неявно заданной гладкой поверхностью.

Пример 1. Неявно заданной гладкой поверхностью является сфера, определяемая уравнением 2 2 .2 ;2, ; 0.

Поверхность 8 можно представить локально как явно заданную гладкую поверхность. В самом деле, пусть, например,

/ 0, 0, .0 0 и / 0, 0, .0 0. Тогда по теореме о неявной функции на некоторой окрестности 0, 0 .0 уравне-

ние / , , . 0 эквивалентно уравнению

где — непрерывно дифференцируемая на 0, 0 функция,

В качестве нормали (см. (21.2.6)) удобно взять вектор

" / / / /

Уравнение касательной плоскости в точке 0, 0, .0 имеет вид

а уравнения нормальной прямой записываются в виде

Если рассмотреть поверхность уровня функции /, т. е. поверхность, определяемую уравнением / , , . , то из предшествующего следует, что " / ортогонален поверхности уровня. Последнее свойство согласуется, конечно, с тем, что

" / указывает направление быстрейшего роста функции /.

§21.7. Кусочно-гладкие поверхности

Вдальнейшем будет использовано понятие кусочно-гладкой поверхности, приводимое здесь для простейшего случая.

Определение 1. Гладкую параметрически заданную поверх-

назовём элементарным гладким куском поверхности (сокращённо — гладким куском, или куском поверхности), если граница D представляет собой простой кусочно-гладкий контур.

Краем D8 куска поверхности 8 вида (1) назовём множество

Можно показать, что край D8 куска поверхности представляет собой кусочно-гладкий контур в 3 , если параметризация края порождена параметризацией контура D . Это очевидно, если вектор-функция 0, = непрерывно дифференцируема на некоторой окрестности .

Два куска поверхности

8 0, = 0, = , 1, 2,