ЛпМА_Бесов

простыми областями, а пересечение & либо является простой областью, либо может быть разрезано на две простые области.

Лемма доказана.

Заметим, что формула Грина имеет определённую аналогию с формулой Ньютона–Лейбница: интеграл от производных по области интегрирования выражается через значения функции на границе этой области.

Формулу Грина можно использовать для вычисления площади области с помощью криволинейного интеграла по её границе. Для этого в качестве % , , & , возьмём 0, , либо

, , либо , 0 .

2 2

Тогда 0 0 1 и по формуле Грина

0 0

§ 20.4. Геометрический смысл знака якобиана плоского отображения

Изложим два подхода к выяснению геометрического смысла знака якобиана плоского отображения.

Первый подход. Для двух векторов

кратчайший поворот от к производится в плоскости ' против (по) часовой стрелки (рис. 1).

324 Гл. 20. Криволинейные интегралы

от первого касательного вектора ко второму после отображения

сохраняется (меняется на противоположное).

Пусть теперь гладкая кривая :1 является частью границы некоторой области , замыкание которой содержится в C. Пусть :1 ориентирована положительно относительно . Сравним ориентацию кривой :1 относительно и ориентацию кривой 71 # :1 относительно # . Возьмём пересекающуюся с :1 кривую :2 с касательным вектором в точке пересечения, направленным по нормали к :1 внутрь области . Из предыдущего видно, что возможны различные случаи, показанные на рис. 3 (72 # :2 ).

Рис. 3

Таким образом, приходим к окончательной формулировке геометрического смысла знака якобиана плоского отображения.

Отображение с положительным якобианом сохраняет направление кратчайшего поворота от одной из пересекающихся кривых до другой, а также ориентацию кривой, являющейся частью границы области , относительно .

При отрицательном якобиане указанные направления кратчайшего поворота и ориентация относительно области меняются на противоположные.

Второй подход основан на использовании формулы Грина.

— взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение некоторой области C плоскости '0=.

Пусть ограниченная область C, и пусть якобиан

§ 20.4. Геометрический смысл знака якобиана плоского отображения 325

Тогда B 0, = сохраняет знак на C, т. е. является на C либо положительным, либо отрицательным (см. теорему 10.5.4). Следовательно, # также является ограниченной областью плоскости ' (теорема 12.3.4).

Пусть 7 D является простым кусочно-гладким контуром.

Тогда

7 # 7 # D D

(доказательство последнего равенства совпадает с доказательством утверждения 1Æ леммы 19.4.2) также является простым кусочно-гладким контуром. В самом деле, пусть

является непрерывно дифференцируемой кривой. Кроме того,

мая возрастанием параметра ", положительна относительно области , обозначим ориентированный таким образом контур 7 через 7 . При этом ориентация контура 7 , порождаемая ориентацией контура 7 , может оказаться как положительной, так

326 Гл. 20. Криволинейные интегралы

В силу положительности левой части этой цепочки равенств положительна и правая часть, так что в области C

Рассматривая отдельно случаи различной ориентации контура 7 (т. е. 7 и 7 ) и соответственно этому беря знаки в (1), приходим к следующему выводу.

Ориентация граничного контура относительно области в случае положительного якобиана отображения сохраняется, а в случае отрицательного якобиана меняется на противоположную.

Отметим ещё, что равенство (1) можно переписать в виде

-

0 , . Таким образом, при иных (сделанных

0 /, 1 +0 +=

здесь) предположениях получено новое доказательство формулы (19.5.11), из которой с помощью теоремы о среднем вытека-

ет и формула (19.4.3) (геометрический смысл модуля якобиана отображения).

§ 20.5. Потенциальные векторные поля

Определение 1. Векторное поле % , , . , & , , . , ; , , . , заданное на области C 3 , называется потенциальным на области C, если существует непрерывно дифференцируемая функция : C такая, что

328 Гл. 20. Криволинейные интегралы

Заменив во втором интеграле ориентацию кривой 72 на противоположную, получаем

, + , + 0,

т. е. утверждение II .

Пусть выполняется II , и пусть произвольный кусочно-глад-

где 0 — кусочно-гладкая кривая, лежащая в C. Такое определение функции корректно, так как в силу II правая часть (3) зависит лишь от , , . , т. е. от переменных , , .. Поэтому правую часть (3) нередко записывают в виде

При получении последнего равенства использовано определение криволинейного интеграла через определённый интеграл по параметру, в качестве которого выбран (так что 1, 0,

. 0). Тогда

зана.

Замечание 1. При доказательстве потенциальности поля в условиях II мы не только доказали существование потенциала, но и выразили его через координаты вектора в виде формулы (3).

Представляет интерес найти простые (в отличие от II или II ) условия потенциальности поля . Введём в рассмотрение

ротор, или вихрь поля :

так что . Однако поле не является потенциальным, так как отлична от нуля его циркуляция по окружности

$! ; 2, ; 2 0 2 2-

+2 2-

0

Определение 3. Плоская область C называется односвязной, если для всякой ограниченной плоской области , границей D которой является простой кусочно-гладкий контур, из условия D C следует C.

Односвязность C означает, грубо говоря, что область C не имеет «дыр».

Теорема 3. Пусть на плоской односвязной области C задано непрерывно дифференцируемое векторное поле %, &

и 0 0 0 на C.

0 0

Тогда на C поле потенциально.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно (в силу теоремы 1 и леммы 20.2.1) показать, что , + 0 для любого простого

контура 7 C. Пусть такой контур 7 является границей ограниченной области (D 7). По формуле Грина

Теорема доказана.

Замечание 2. Везде в этом параграфе вместо кусочногладких кривых можно было бы брать ломаные. В силу леммы 20.2.1 об аппроксимации криволинейного интеграла все определения и полученные при этом утверждения оказались бы эквивалентными приведённым.