ЛпМА_Бесов

Рис. 1

Определение 1. Плоскую область назовём простой относительно оси ', если

ством, либо точкой, либо промежутком (т. е. отрезком, интервалом или полуинтервалом).

В этом параграфе будут рассматриваться лишь такие плоские области, которые можно разрезать на конечное число простых.

Теорема 1 (формула Грина). Пусть — ограниченная плоская область, граница D которой состоит из конечного числа попарно непересекающихся простых кусочно-гладких контуров

7 (D ! ), положительно ориентированных относитель-

1 7

но области (D ! ).

1 7

314 Гл. 20. Криволинейные интегралы

1, . При этом замкнутая область представляется в виде

, где

! 1

, 1 , 1

— трапеции, каждая из которых является простой областью относительно оси ' (рис. 3).

По доказанному на шаге 1

Для доказательства (7) при 1 выберем в качестве параметра на 71 и на 71 . Тогда, используя модуль непрерывности функции % на , имеем

% + % + % , % , +

Аналогично устанавливается (7) при 2. Утверждение шага 3 доказано.

Ш а г 4. Установим (4) для области , простой относительно оси ' , т. е. имеющей вид (2) с кусочно-гладкими кривыми (5). Здесь не исключаются случаи, когда 1 и (или) +1 + . Пусть 0,

, 1 , +

Формула (4) верна для области в силу результата шага 3. Остаётся в (4) перейти к пределу при 0.

Ш а г 5. Установим (4) в условиях теоремы 1 при дополнительном предположении, что область может быть разрезана

на конечное число простых областей 6 .

1

Напишем формулу (4) для каждой простой области :

и сложим почленно эти равенства. Из аддитивности двойного интеграла относительно областей интегрирования и из равенства нулю интеграла по множеству нулевой меры получаем

более одной точки. Тогда оно представляет собой промежуток, наделённый противоположными ориентациями (положительной

318 Гл. 20. Криволинейные интегралы

относительно и положительной относительно ). Поэтому при сложении правых частей (8) «части» криволинейных инте-

Из (9) и из (10) следует (4).

Итак, теорема 1 (формула (3)) установлена при дополнительном предположении, что область можно разрезать на конечное число простых областей.

Примерами таких областей являются, очевидно, круг и кольцо. Ш а г 6. Для доказательства теоремы 1 в приведённой фор-

мулировке достаточно воспользоваться следующей леммой.

Лемма 1. Ограниченная плоская область с границей D , состоящей из конечного числа попарно не пересекающихся про-

Д о к а з а т е л ь с т в о. Идея состоит в том, чтобы покрыть область некоторым семейством замкнутых прямоугольников с попарно не пересекающимися внутренностями и получить требуемые простые области в качестве пересечения внутренности каждого из этих прямоугольников с либо в качестве такого пересечения с одним дополнительным разрезом.

До конца доказательства под прямоугольниками будем понимать замкнутые прямоугольники со сторонами, параллельными координатным осям.

статочно малого числа Æ 0. Тогда покрытия различных кривых 7 , 7 ( @) не пересекаются.

Точку границы D назовём угловой, если единичный вектор касательной к контуру 7 , проходящему через эту точку, не является в ней непрерывным. Граница D может либо не содержать угловых точек, либо иметь конечное число их. При наличии угловых точек покроем каждую из них прямоугольником (квадратом по форме) с центром в ней. Мы получим покрытие

центра прямоугольника & граница D представляет собой кривую, составленную из двух простых дуг, имеющих в центре & односторонние касательные и отклоняющихся от этих касательных на величину, бесконечно малую по сравнению с расстоянием до центра. Будем считать & столь малыми по диаметру, что каждая из этих дуг пересекает под ненулевым углом ту же сторону & , что и односторонняя касательная к ней в центре & ,

и что

& 1 4 ,

либо является простой областью, либо может быть разрезана (удалением интервала с концом в центре & ) на две простые области.

Ш а г 2. Часть границы D D !# представ-

1 &

ляет собой конечное множество простых гладких кривых или простых гладких контуров. Для построения покрытия множества D построим покрытие каждой кривой или контура в отдельности и объединим эти покрытия. Пусть, например, сначала

— простой гладкий контур и τ , — единичный вектор его касательной, где " — угол между τ и положительным направлением оси ' . Координаты τ, т. е. и , непрерывно зависят от ".

2 на " 1, "

(такую дугу будем называть дугой горизонтального типа), ли-

равномерную непрерывность и .

Заметим, что в качестве параметра на дуге горизонтального типа можно взять координату , а на дуге вертикального типа — координату точки.

Дополнительно будем считать, что дуги горизонтального и вертикального типов чередуются (если изначально это не так, то придём к этому, объединяя соседние дуги совпадающих

типов). За счёт сдвига параметра можем считать, что первая и последняя дуги в (12) имеют разные типы.

Так, например, окружность 2, 2 : 0 2 2- разбивается на пять дуг. При другой её параметризации

будет выполняться и последнее требование.

Точки " , (0 @ @ 1), каждая из которых принадлежит двум дугам разных типов, будем называть переходными точками. Так, например, для рассмотренной окружности в качестве

Точки " 1 , " дуги 7 из (12) будем называть концевыми, а прямоугольник, граница которого содержит концевую точку, — концевым.

Построим для каждой дуги 7 из (12) покрытие семейством

замкнутых прямоугольников % со свойствами:

1

стой областью;

4Æ каждая из концевых точек дуги 7 находится в вершине (единственного) концевого прямоугольника этого семейства.

Покажем, как осуществить это построение, например, в случае, когда 7 из (12) — дуга горизонтального типа. Переходя

горизонтальной. При этом мелкость 6 разбиения 6 , а значит, и " % мы можем взять сколь угодно малыми.

Выполнение свойств 1Æ, 2Æ, 3Æ очевидно. Если для построенного покрытия свойство 4Æ в точке " 1 ( " ) не выполняется, то прямоугольник % 1 (% ) можно сдвинуть параллельно оси ' , чтобы добиться выполнения этого свойства.

Такая возможность основана на том, что в переходных точках

1 2 2, так что на 0, 1 и на 1, выполняется оценка 1 4 1 4.

Пусть теперь кривая (11) не является контуром. Это означает, что её начало и конец лежат на сторонах угловых прямоугольников (различных или одного и того же). Рассуждая так же, как в случае, когда кривая является контуром, построим для каждой

её дуги из (12) покрытие семейством прямоугольников %

1

со свойствами 1Æ, 2Æ, 3Æ и 4ÆÆ, 5Æ, где последние два свойства формулируются следующим образом:

4ÆÆ каждая из концевых точек " 1 , " совпадает с вершиной одного из концевых прямоугольников, если касательная 7 в ней не параллельна ни одной из осей координат, либо с серединой стороны одного из концевых прямоугольников, если касательная в ней параллельна одной из координатных осей;

5Æ % не пересекается ни с одним из угловых прямоугольников & .

Перенумеровав заново все построенные прямоугольники %

них точек и таких, что

Проведём прямые, содержащие все стороны всех прямоугольников & и % . Из образовавшихся таким образом (замкнутых) прямоугольников занумеруем и обозначим через ; (1 ) те, которые пересекаются с , но не имеют общих внутрен-

внутреннюю точку с тем прямоугольником & или % , который содержит точку , , а это противоречит построению ; . Следовательно, ; ; есть простая область.

Итак, показано, что

где 4 прямоугольников попарно не имеют общих внутренних точек, пересечения % и ; являются

11 О.В. Бесов