ЛпМА_Бесов

в более общей форме, чем в свойстве 9 из § 19.2. Сформулируем это свойство в виде леммы.

Лемма 1. Пусть C, C — измеримые множества -мерного евклидова пространства, C1 C2 ... C, C C 0 при. Пусть функция ограничена на C и интегрируема на любом C .

Тогда интегрируема на C и

Приведём обобщения теорем 19.4.1, 1, 2 на -мерный случай. Через # ( " ) обозначим отображение

Теорема 4. Пусть выполняются условия 1Æ, 2Æ, 3Æ. Пусть множества C, C — открытые измеримые, функция непрерывна и ограничена на C , произведение " B " ограничено на C.

Следствие. Пусть выполняются условия 1Æ, 2Æ, 3Æ. Пусть множества C, C — открытые измеримые, якобиан B ограничен

Теорема 5. Пусть выполняются условия 1Æ, 2Æ, 3Æ, множества C, C — открытые измеримые, функция ограничена на C, произведение " B " ограничено на C.

Тогда

+ " B " +",

0 0

если хотя бы один из этих интегралов существует.

Д о к а з а т е л ь с т в а теорем 3–5 аналогичны приведённым выше для случая 2.

Г л а в а 20

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Будем считать, что в трёхмерном пространстве 3 фиксирована прямоугольная система координат.

§ 20.1. Криволинейные интегралы первого рода

Пусть в трёхмерном пространстве 3 задана гладкая кривая

7 " " " , " , . " " , (1)

т. е. непрерывно дифференцируемая кривая без особых точек (последнее условие означает, что " 2 2 " 2 " . 2 " 0

" , ).

Определение 1. Пусть числовая функция / определена на множестве 7. Тогда криволинейным интегралом первого рода

от функции / по кривой 7 называется число

Спомощью криволинейных интегралов первого рода можно по линейной плотности материальной кривой найти её массу, координаты центра тяжести, моменты инерции.

Свойства криволинейного интеграла первого рода.

1. Для существования интеграла / , , . +9 необходимо

и достаточно, чтобы функция / " , " , . " (как функция переменного ") была интегрируемой на отрезке , . В частности, если / непрерывна на 7 (см. определение 10.5.2), то интеграл

/ , , . +9 существует.

Д о к а з а т е л ь с т в о очевидно.

2.Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации гладкой кривой 7.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть " " 6 — допустимая замена параметра на 7 (см. § 8.2), т. е. ": , , , функция "

непрерывно дифференцируема на , , " 0 на , (" ,

" при " 0; " , " при " 0), ρ 6 " 6 .

Тогда

7 ρ 6 6

С помощью замены переменного получаем

/ " 6 , " 6 , . " 6 ρ 6 +6

Замечание 1. Последняя замена переменного ранее была обоснована лишь для непрерывной функции / (теорема 14.5.1). Для обоснования этой замены переменного в случае интегрируемой функции / " , " , . " достаточно сослаться на следующее обобщение специального случая теоремы 14.5.1.

Теорема 1. Пусть функция непрерывна на отрезке , ,

0 на , , , .

Тогда из существования интеграла в одной из частей равен-

следуют существование интеграла в другой его части и само равенство (3).

Д о к а з а т е л ь с т в о можно получить непосредственно в виде упрощённого аналога доказательства теоремы 19.5.2, в которой эта теорема формально содержится.

Следствие. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от ориентации кривой.

Всамом деле, если кривая 7 из (1) не только гладкая, но

иориентированная (её ориентация определяется возрастанием параметра "), то замена параметра " " 6 6 ( 6 ) меняет её ориентацию на противоположную. В силу свойства 2

значение криволинейного интеграла, вычисленного с помощью параметра 6, то же, что и для вычисленного с помощью исходного параметра ".

Заметим, что гладкая кривая спрямляема и что в качестве допустимого параметра можно взять переменную длину её дуги 8, отсчитываемую от . Тогда кривая 7 задаётся следующим образом:

7 9 0 9 8 9 , 9 , . 9 0 9 8 , где 8 — длина кривой, а интеграл (2) принимает вид

стоит интегральная сумма Римана интеграла из правой части (4), так что по определению определённого интеграла этот предел равен интегралу из правой части (4).

5. Криволинейный интеграл первого рода обладает свойством аддитивности относительно кривой интегрирования (см. пояснение к свойству 6 криволинейного интеграла второго рода в § 20.2).

Замечание 2. Часто криволинейный интеграл первого рода определяют формулой (4). В этом случае от кривой 7 требуется лишь быть спрямляемой.

§ 20.2. Криволинейные интегралы второго рода

Пусть

7 " " " , " , . " " (1)

— гладкая ориентированная кривая в трёхмерном пространстве,— её начало, — её конец. Часто такую кривую

обозначают символом . Единичный вектор её касательной

(направленный в сторону возрастания параметра на кривой) непрерывно зависит от параметра ".

Определение 1. Пусть в 3 фиксирована декартова прямоугольная система координат и на множестве 7 задано векторное поле (т. е. вектор-функция) %, &, ; . Тогда

% + & + ; +.

% " , " , . " " & " , " , . " "

; " , " , . " . " +" , +" (3)

называется криволинейным интегралом второго рода от векторного поля %, &, ; по кривой 7. Интеграл (3) часто обозначают также символом , + .

В частности, когда лишь одна компонента векторного поля отлична от нуля, получаем следующие криволинейные интегралы второго рода от функций %, &, ; соответственно:

Спомощью криволинейных интегралов второго рода можно вычислить работу силы при движении точки по кривой в силовом поле.

Свойства криволинейного интеграла второго рода.

1. Для существования интеграла (3) достаточно, чтобы функции % " , " , . " , & " , " , . " , ; " , " , . "

(как функции переменного ") были интегрируемы на отрезке , .

если интеграл в левой части или оба интеграла в правой части существуют.

Свойство 6 следует из выражения (3) криволинейного интеграла второго рода через определённый интеграл и из аддитивности определённого интеграла относительно отрезков интегрирования.

Обобщим понятие криволинейных интегралов первого и второго рода на случай интегрирования по кусочно-гладким кривым.

, + , + ,

1

если каждый из интегралов в правых частях равенств существует.

0

" 1 — мелкость разбиения. Пусть J — ломаная с вершинами

в точках " , последовательно соединённых её звеньями. Такая ломаная называется вписанной в кривую 7. Ломаную J также будем считать ориентированной (при движении по ней вершины ломаной проходятся в порядке возрастания чисел 1, ..., ;— начало ломаной, — её конец).

Лемма 1 (об аппроксимации криволинейного интеграла).

До к а з а т е л ь с т в о проведём лишь для случая & ;

0. Положим " , 1 " : " 1 " " , через1 обозначим звено вписанной ломаной с началом в 1

и с концом в . Пусть 0. В силу равномерной непрерывности " на , , существует Æ Æ 0 такое, что при

произвольном разбиении 6, 6 Æ, J ,

так что кривые 1 и хорды 1 лежат в 1 . Зададим произвольное 3 0. В силу непрерывности, а зна-

чит, и равномерной непрерывности % на , существует3 0 такое, что

% % 3, если 1 , 1, ... , (9)

Будем считать, что 6 Æ, где Æ Æ выбрано по 3 , так что выполняются оценки (8), (9). Оценим разность интегралов

Последний интеграл равен 0 в силу свойства 5 криволинейных интегралов второго рода.

Из (9), (7) и из свойства 3 ( § 20.1) следует, что

3 2 9 " 9 " 1 ,

где 9 " — переменная длина дуги 7, отсчитываемая от её начала. Следовательно,

где 8 — длина дуги 7.

В силу произвольности 3 0 приходим к утверждению леммы.

§ 20.3. Формула Грина

При изучении криволинейных интегралов рассматривались интегралы по кривой, лежащей в трёхмерном пространстве 3 . В частности, кривая может лежать в плоскости (такая кривая называется плоской кривой). В этом случае удобно считать эту плоскость координатной, имеющей уравнение . 0. Тогда кривая 7 имеет в этой плоскости описание

7 " , " " ,

а криволинейный интеграл первого рода записывается в виде

/ , +9.

Если на ориентированной кривой 7 задано векторное поле

, % , & , , то криволинейный интеграл второго рода имеет вид

% + & + , +

Все рассмотренные свойства криволинейных интегралов верны, разумеется, и в плоском случае.

Пусть — область в плоскости ' , и пусть 7 — простой кусочно-гладкий ориентированный контур, 7 D . Контур 7

будем называть положительно ориентированным относительно области и обозначать символом 7 , если при движении по нему в направлении заданной ориентации примыкающая к нему часть области остаётся слева. В противном случае контур 7

будем называть отрицательно ориентированным относительно области и обозначать символом 7 .

Если граница D области состоит из конечного числа попарно непересекающихся простых кусочно-гладких контуров 7

1 7