ЛпМА_Бесов

292 Гл. 19. Кратные интегралы

что совпадает с (5).

Следствие. Пусть функция непрерывна на элементарном относительно оси ' множестве вида (4). Тогда справедливо равенство (5).

Замечание 2. Пусть множество вида (4) является элементарным не только относительно оси ', но и относительно оси ' , т. е. наряду с описанием (4) имеет место описание

, 2 +,

Тогда для непрерывной на функции справедливо равенство

выражающее собой правило перемены порядка интегрирования в повторных интегралах.

Теорема 2 и следствие из неё могут быть распространены на-кратные интегралы.

Определение 2. Множество

1 непрерывны на , называется элементарным относительно оси ' .

Теорема 3. Пусть функция непрерывна на элементарном относительно оси ' множестве . Тогда

Тогда:

1Æ D# # D , # — замкнутое множество; 2Æ # & — замкнутое измеримое множество; 3Æ если 0, то # 0; 4Æ если измеримо, то # измеримо.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу теоремы о локальном взаимно однозначном соответствии для точек 0, = C и ,# 0, = существуют их окрестности, взаимно однозначно соответствующие друг другу, причём эти окрестности можно брать сколь угодно малыми по диаметру. Следовательно, для и для

# точки 0, = и , соответственно могут являться внутренними, либо граничными, либо предельными точками лишь одновременно. Отсюда следуют утверждение 1Æ леммы и утверждение о замкнутости множества # & . Ограниченность множества # & следует из теоремы Вейерштрасса (об ограниченности непрерывной на компакте функции), применённой к 0, = ,0, = . Заметим, что D# & # D& состоит из четырёх гладких кривых. Поэтому D# & 0. В силу критерия измеримости множество # & измеримо, и свойство 2Æ установлено.

Установим 1) свойство 3Æ. Покажем, что # 0.

Пусть число , 0 таково, что C. В качестве ,

1 %

% регулярны и " % , (если это не так с самого начала, то

1) Свойства 3Æ и 4Æ будут использованы лишь при доказательстве теоремы 19.5.2.

каждый из % можно разбить на регулярные блоки с диаметром, не превосходящим ,, и отбросить те из них, которые не пересекаются с ). Тогда

В силу (2) образ каждого из блоков % с длиной меньшей

стороны содержится в некотором замкнутом квадрате (блоке) ; с длиной стороны 2 5 , так что

# % ; , ; 20 2%

Отсюда и из полуаддитивности меры следует, что

1

20 2 20 2

Так как 0 произвольно, то получаем

# # 0

Свойство 4Æ следует из ограниченности множества ## , вытекающей из теоремы Вейерштрасса, свойств 1Æ, 3Æ и критерия измеримости.

Теорема 1 (геометрический смысл модуля якобиана отображения). Пусть 00, =0 C, 0 0,

Доказательство будет дано ниже в виде следствия из теоремы 19.5.1 о замене переменных в интеграле. В конце § 19.5 будет приведено обобщение теоремы 1 на -мерный случай. Частично геометрический смысл модуля якобиана отображения поясняет

Лемма 3. В условиях теоремы 1 при 0

Сравним отображение # с линейным отображением

Поэтому

# & 3 # & # & * 2

B 00, =0 2 * 2 ,

и (4) установлено.

Замечание 1. Оценка (4) и её доказательство сохраняются и при B 00, =0 0, если в левой части (4) вместо # & написать # & .

§ 19.5. Замена переменных в кратном интеграле

Теорема 1. Пусть

До к а з а т е л ь с т в о. Обе части равенства (1) существуют

всилу непрерывности и ограниченности подынтегральных выражений на открытых измеримых множествах интегрирования (см. теорему 19.1.5).

Ш а г 1. До конца доказательства будем считать, что 0 на C . Это ограничение не снижает общности. В самом деле,

если

, 1 2 ,

0

где

1 0, 2 0,

298 Гл. 19. Кратные интегралы

дая от противного, предположим, что равенство (2) нарушено, т. е. при некотором 0 0

Разобьём & на четыре равных замкнутых квадрата. Обозначим через & 1 тот из них, для которого (при 1)

3

Такой квадрат & 1 существует: предположив противное и сложив четыре неравенства, противоположных неравенству (4) и аналогичным ему при 1, входим в противоречие с (3). Разобьём & 1 на четыре равных замкнутых квадрата и обозначим через & 2 тот из них, для которого выполняется (с 2) неравенство (4). Продолжая деление, получим систему вложен-

ных квадратов & со свойством (4). В силу теоремы 1.3.1

1

о вложенных отрезках (таковыми являются проекции & на координатные оси) существует точка 00, =0 & при всех. Из (4), в силу теоремы о среднем для интеграла, имеем

1 0 0 , = , 0 , = B 0 , = &

, # &

при некоторых , # & , 0 , = & .

Оценивая # & с помощью леммы 19.4.3, при имеем

1 0 0, 0 * 1 B 00, =0 * 1

0, 0 * 1 B 00, =0 * 1 ,

что неверно при 0, B 0. Таким образом, неравенство (2) установлено.

Ш а г 3. Пусть — блочное множество, составленное из попарно не пересекающихся квадратных блоков (см. определение 18.1.2), C. В силу аддитивности интеграла по множествам интегрирования, почленным сложением нескольких неравенств вида (2) получаем, что

0, = , 0, = B 0, = +0 +=

В силу (5) достаточно установить, что найдётся такое составленное из квадратных блоков блочное множество C, что

Покажем это. Множество # 1 замкнуто по лемме 19.4.2. Следовательно,

Построим множество следующим образом. Разобьём плоскость 2 ,2 с помощью координатной сетки на квадраты (блоки)

с диагональю, не превосходящей 5, и в качестве возьмём

2

объединение всех таких блоков, имеющих непустое пересечение

с# 1 . Соотношение (7), очевидно, выполняется.

Ша г 5. Установим неравенство

0, = , 0, = B 0, = +0 += , + + (8)

300 Гл. 19. Кратные интегралы

Поскольку 0 на C , то

неравенство (8) к обратному отображению # 1 (якобиан ко-

Отсюда следует утверждение теоремы 19.4.1.

Теорема 2. Пусть выполняются условия 1Æ, 2Æ, 3Æ теоремы 1 и, кроме того, функция ограничена на C , а произведение0, = , 0, = B 0, = ограничено на C.

Тогда если в (1) существует один из интегралов, то существует и другой, и справедливо равенство (1).

равенства (1).

Будем считать, что 0 на C , так как общий случай функции произвольного знака немедленно сводится к этому

с помощью представления , где 12 0