ЛпМА_Бесов

'% '& ,

% % при , & &# при @ 4,

где % и & — блоки. Так как пересечение двух блоков является блоком, то в силу аддитивности меры для блоков

% % & &

1

как блочного множества совпадёт с (2).

Упражнение 1. Пусть — блочное множество. Доказать, что множества и являются блочными множествами и что

Лемма 2. Пусть , — блочные множества. Тогда: 1Æ (неотрицательность и монотонность меры)

причём % & , @.

274 Гл. 18. Мера множеств в метрическом пространстве

Тогда по определению меры блочного множества имеем:

откуда следует (5). Из (5) и (3) следует (4):

Из (5) следует (6).

Определение 3. Пусть множество ограничено. Числа

где верхняя и нижняя грани берутся по всем блочным множествам , ( , ), называются соответственно нижней

(или внутренней) и верхней (или внешней) мерами Жордана

множества .

Определение 4. Ограниченное множество называется измеримым по Жордану, если , т. е. если его нижняя и верхняя меры совпадают. Их общее значение называется мерой Жордана множества и обозначается .

Таким образом, для измеримого по Жордану множества

Замечание 1. Множество, измеримое по Жордану, в случае2 называют также квадрируемым, а в случае 3 — кубируемым.

Очевидно, что любое блочное множество измеримо по Жордану и его мера Жордана совпадает с мерой этого множества как блочного.

Замечание 2. В дальнейшем вместо «измеримость по Жордану», «мера Жордана» будем говорить соответственно «измеримость», «мера», поскольку другие подходы к понятиям измеримости и меры в данном курсе не изучаются.

Упражнение 2. Пусть — измеримое множество. Показать, что 0 тогда и только тогда, когда имеет внутренние точки.

Пример 1. Всякое подмножество множества меры 0 измеримо и имеет меру, равную 0.

Пример 2. Множество в , состоящее из конечного числа точек, измеримо, и его мера равна 0.

Пример 3. Множество рациональных точек отрезка0, 1 неизмеримо, так как 0, 1.

C 0, 1 0, 1 1, 0 2

Очевидно, что C является областью. Покажем, что C не измерима по Жордану. Достаточно установить неизмеримость множества C 0, 1 . Она следует из того, что

При оценке сверху C заметим, что (где

( (

верхняя грань берётся по всем замкнутым блочным множествам), и воспользуемся леммой 10.2.4 Гейне–Бореля.

Упражнение 3. Доказать, что для измеримости множестванеобходимо и достаточно, чтобы для любого 0 существовали два таких измеримых множества / , C , что

/ C , C / .

§ 18.2. Свойства множеств, измеримых по Жордану

Упражнение 1. Доказать, что если множества , / измеримы, то:

1Æ измеримы множества /, / и/ / /;

2Æ измеримо множество / и если / , то

/ /

У к а з а н и е. Сначала получить эти равенства для блочных множеств. Затем оценить снизу нижние и сверху верхние меры

При этом множество можно считать открытым, а множество— замкнутым (см. упражнение 18.1.1).

Тогда D . В силу определения верхней меры и равенства (18.1.6)

D

Поэтому D 0. Следовательно, множество D измеримо и D 0.

Достаточность. Пусть множество ограничено и D 0. Пусть 0. Тогда существует блочное множество такое, что D , . Построим множества

,

Эти множества блочные в силу лемм 2 и 18.1.1. Кроме того,

,

Отсюда

0

Следовательно, в силу произвольности имеем , т. е. множество измеримо.

Теорема 2. Совокупность измеримых множеств замкнута относительно операций объединения, пересечения и разности, т. е. если множества , / измеримы, то измеримы и /, /,

/.

До к а з а т е л ь с т в о. Легко проверить, что

D / D D/, D / D D/,

D / D D/

Сделаем это лишь в первом случае. Пусть 0 D / . Тогда в каждой окрестности 0 находятся как точки из /, так и не из /. Следовательно, в каждой окрестности 0

В силу критерия измеримости (теорема 1) D 0, D/ 0. Пусть 0, и пусть 1, 2 — такие блочные множества, что

D 1, 1 , D/ 2, 2 . Тогда D / DD/ 1 2. В силу леммы 18.1.2

D / 1 2 1 2 2

278 Гл. 18. Мера множеств в метрическом пространстве

Следовательно, D / 0, и в силу критерия измеримости объединение / измеримо.

Аналогично устанавливается измеримость множеств / и /.

Теорема 3. Пусть множества , / измеримы. Тогда:

1 2 1 2 / /

Переходя к верхним граням по 1 , 2 /, получаем

отсюда

/ / /, откуда и следует (3).

Теорема 4. Пусть множество измеримо. Тогда измеримы его замыкание и внутренность , причём

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из измеримости в силу критерия измеримости следует, что D 0. Поскольку

D, D,

то остаётся воспользоваться теоремами 2 и 3.

Для ряда важных применений критерия измеримости установим, что некоторые множества простого вида имеют меру 0.

— график функции . Покажем, что 1 -мерная мера 1 множества равна нулю. Функция как непрерывная на компакте равномерно непрерывна на нём. Следовательно,

0 Æ Æ 0 при , , Æ

Зафиксируем 0, и пусть Æ Æ 0 взято из последнего

условия. Пусть блок % , % /. Разобьём его на попарно непересекающиеся блоки, диаметры которых меньше Æ, и обозначим через %1, ..., % те из них, которые пересекаются с /.

Теорема 6. Пусть / , / 0. Тогда прямой цилиндр/ , 1 измерим и его мера 1 0.

Г л а в а 19

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§19.1. Определение кратного интеграла

икритерий интегрируемости функции

измельчением разбиения 6, и писать 6 " 6, если для любого6 существует 6: .

Разбиения данного множества обладают следующими свойствами:

1Æ если 61 " 62, 62 " 63, то 61 " 63; 2Æ для любых 61, 62 существует такое 6, что 6 " 61, 6 " 62.

Первое свойство очевидно. Для доказательства второго достаточно в качестве разбиения 6 взять множество всевозможных

1

ение . Отметим в каждом множестве какую-либо точку. Тогда сумма