ЛпМА_Бесов

262 Гл. 17. Степенные ряды

частичной суммой ряда Тейлора функции . Поэтому для фик-

Таким образом, для доказательства возможности разложения функции в степенной ряд (т. е. в ряд Тейлора) в данной точке достаточно показать, что 0 при . Для этого нам понадобятся различные формы остаточного члена формулы

Тейлора.

Теорема 1. Пусть производная 1 функции непрерывна на отрезке 0, (или , 0 ). Тогда остаточный член формулы

Тейлора (3) можно представить:

в интегральной форме

Прим´еним метод математической индукции. При 0 формула

(7) верна, так как совпадает с формулой Ньютона–Лейбница:

0 " +"

0

Предположим, что формула (7) верна при 1 вместо , т. е.

Подставляя это выражение в (8), приходим к (7).

Для доказательства (5) применим к интегралу (4) интегральную теорему о среднем (теорема 14.3.2), заметив, что множитель" подынтегрального выражения не меняет знака. Тогда

Для доказательства (6) применим к интегралу (4) ту же интегральную теорему о среднем иначе, вынося за знак интеграла «среднее значение» всей подынтегральной функции. Тогда

что совпадает с (6).

Замечание 1. Формула (5) уже была доказана раньше другим способом (теорема 6.2.2), причём при более общих предположениях относительно функции . Достаточно было считать, что

показывается так же, как это сделано для разложения (10). Из (11) следует, что радиус сходимости степенного ряда (11)

; .

Пусть сначала 0 1. Тогда остаточный член в форме Лагранжа имеет вид

1 не определена, а ряд (12) расходится. Из сходимости

1 Æ, 1 Æ , Æ 0 (см. теорему 17.1.2), получаем, что ряд (12) сходится равномерно на любом отрезке , 1 1, 1 .

266 Гл. 17. Степенные ряды

Заметим, что радиус сходимости ряда (13) ; 1, что легко установить, применяя признак Д’Аламбера для выяснения абсолютной сходимости этого ряда. Так что равенство (13) окажется справедливым на интервале сходимости ряда. При 0 разложение (13) очевидно.

Пусть 0 1. Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме имеет вид

не медленнее, чем член убывающей геометрической прогрессии. Таким образом, разложение (13) установлено.

Отметим важные частные случаи ( 1) формулы (13):

Пример 6. Разложения

а почленным сложением двух сходящихся степенных рядов. Ряды в правых частях равенств являются рядами Тейлора соответственно для $ и для $ в силу теоремы единственности 17.2.1.

Подобные приёмы получения разложений функций в степенные ряды, основанные на использовании известных разложений

(9)–(14), широко распространены. Среди таких приёмов отметим, в частности, почленные интегрирование и дифференцирование ряда. Так, например, из формулы суммы геометрической прогрес-

с помощью почленного интегрирования при 1 получаем формулу (12):

§17.4. Функции , ,

комплексного переменного

Функции , ., . определены равенствами (1), (2), (3) на всей комплексной плоскости , поскольку ряды абсолютно сходятся для любого . , в чём можно убедиться с помощью признака Д’Аламбера. Следовательно, для каждого из рядов (1), (2), (3) радиус сходимости ; (это вытекает также из

Поскольку абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать почленно (теорема 15.3.3), а сумма полученного абсолютно сходящегося ряда не зависит от перестановки его членов (теорема 15.3.2), получаем, что

Формулы (5), (6) называются формулами Эйлера.

Из (6) при . 0 видно, что в комплексной плоскости функции ., . не являются ограниченными.

Из (6) и (4) легко получаются следующие обобщения известных тригонометрических формул:

против часовой стрелки угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором точки . комплексной плоскости. При этом для 0, 2- вводится обозначение

.. В силу 2--периодичности функций , в равенстве (9) в качестве можно взять % ., где

% . . 2 -

при произвольном фиксированном . При этом % . называется аргументом числа ., а . — главным значением аргумента числа ..

Формула (9) верна и при . 0 с произвольным значением . Формулу (9) называют тригонометрической формой комплексного числа .. C помощью (8) из неё можно получить

показательную форму комплексного числа .:

Показательная и тригонометрическая формы комплексного числа удобны для нахождения произведения и частного двух комплексных чисел, возведения в степень комплексного числа и извлечения корня из комплексного числа.

Пусть . , @ 1, 2. Тогда из (4), (8) следует, что

Получим формулу для извлечения корня степени 2 из комплексного числа .. Под . понимают такое комплексное число I, что I .. Если

различны при различных 0, 1, ... , 1. Поэтому для . 0 существуют различных значений . . В комплексной плоскости все эти значения располагаются на окружности радиуса. с центром в точке 0, деля эту окружность на равные дуги.

Г л а в а 18

МЕРА МНОЖЕСТВ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Как и в § 10.1, будем рассматривать метрическое пространство ( ), т. е. множество всевозможных упорядоченных

§ 18.1. Определение меры по Жордану

Введём и изучим понятие меры в , обобщающее понятия длины ( 1), площади ( 2), объёма ( 3). Изложим теорию меры множеств, предложенную Жорданом.

Изо всех подмножеств в будет выделена совокупность измеримых множеств, каждому из которых будет приписана мера. При этом будут выполняться свойства, сформулированные в теоремах 18.2.2, 18.2.3.

произвольное множество своих граничных точек.

Меру пустого множества положим равной нулю ( 0). Меру каждого из непустых блоков (1) определим равенством