ЛпМА_Бесов

" +" , " +" при (3)

До к а з а т е л ь с т в о. По теореме 1 функция непрерывна на , и, следовательно, интегрируема на , . Пусть 0. Тогда в силу равномерной сходимости последовательности

кфункции

, ,

Следовательно, для всех

откуда и следует утверждение теоремы.

Следствие. В условиях теоремы

Всвязи с этим равенством теорему 2 называют теоремой

опереходе к пределу под знаком интеграла.

Упражнение 1. Доказать следующее обобщение теоремы 2. Пусть функции интегрируемы на отрезке , при всех, и пусть при . Тогда функция интегри-

,

руема на , и выполняются соотношения (3), (4).

Теорема (о почленном интегрировании ряда). Пусть функции 0 непрерывны на отрезке , при каждом , и пусть

Числовую сходящуюся последовательность можно считать, очевидно, функциональной последовательностью, равномерно сходящейся на , . Тогда последовательность равномерно сходится на , (см. упражнение 16.1.1) к некоторой функции .

Переходя в левой части последней формулы к пределу при, получаем, что

" +" ,

Правая часть этого равенства (как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции) является дифференцируемой на отрезке , функцией. Следовательно, таковой является и левая часть, а значит, и функция . Дифференцируя равенство почленно, получаем, что , .

Теорема доказана.

Теорема (о почленном дифференцировании ряда). Пусть ряд 0 непрерывно дифференцируемых на , функций сходится в точке , , а ряд 0 равномерно сходится на , .

Тогда ряд 0 равномерно сходится на , , его сумма непрерывно дифференцируема на , и

256 Гл. 17. Степенные ряды

где ; — радиус сходимости ряда (4). Сравнивая ? . ; с единицей, получаем следующую теорему.

Теорема 1. Пусть ; — радиус сходимости ряда (4). Тогда: 1Æ при . ; ряд (4) сходится, причём абсолютно;

2Æ при . ; ряд (4) расходится, причём его общий член. не стремится к нулю при .

Замечание 1. При . ;, т. е. на границе круга сходимости, ряд (4) может как сходиться, так и расходиться.

Замечание 2. Теорема 1 даёт возможность находить радиус сходимости степенного ряда, не прибегая к формуле (2).

Упражнение 1. Доказать, что радиус сходимости (2) ряда

(1) можно определить формулой

; 0, 0

дится в точке . 1 и сходится во всех остальных точках окруж-

ности . 1. Его сходимость вытекает из сходимости рядов (15.4.6), (15.4.7), а в точке . 1 устанавливается с помощью признака Лейбница (15.4.1).

Пример 3. Ряд . , ; 1, расходится в каждой точке

1

границы круга сходимости.

Теорема 2 (о равномерной сходимости степенного ряда).

Пусть ; — радиус сходимости степенного ряда (4), 0 ;. Тогда на замкнутом круге . . ряд (4) сходится равномерно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем . при . .

но, по признаку Вейерштрасса ряд (4) сходится равномерно на круге . : . .

Замечание 3. Степенной ряд на круге сходимости может как сходиться равномерно (пример 2), так и не сходиться равномерно (примеры 1, 3).

Теорема 3. Сумма степенного ряда непрерывна на круге сходимости.

Д о к а з а т е л ь с т в о следует из теоремы о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда с непрерывными членами, применённой к ряду (4) на множестве . : . , где 0;, причём может быть взято сколь угодно близким к ;.

Теорема 4 (Абеля). Пусть .1, .2 , .1 .2 . Тогда:

1Æ если ряд (4) сходится в точке .2 (или если его общий член в точке .2 стремится к нулю), то он сходится абсолютно

в точке .1; 2Æ если ряд (4) расходится в точке .1, то он расходится

вточке .2 и его общий член в точке .2 не стремится к нулю; 3Æ если ряд (4) сходится в точке .2 (или его общий член

вточке .2 стремится к нулю), то он равномерно сходится на замкнутом круге . . при любом , 0 .2 .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ; — радиус сходимости ряда (4).

1.Æ .2 ; в силу теоремы 1. Тогда .1 ;, и утверждение следует из теоремы 1.

2.Æ .1 ; в силу теоремы 1. Тогда .2 ;, и утверждение следует из теоремы 1.

3.Æ 0 .2 ; в силу теоремы 1, и утверждение следует из теоремы 2.

Изучим некоторые свойства вещественных степенных рядов, т. е. рядов вида

Определение 3. Радиус сходимости ряда (5) определяется формулой (2).

Интервалом сходимости этого ряда называется интервал

0 ;, 0 ; .

9 О.В. Бесов

В качестве следствия из теорем 1, 2 получаем, что ряд (5) сходится абсолютно на интервале сходимости и расходится (и даже его общий член не стремится к нулю) вне замыкания интервала сходимости. Этот ряд сходится равномерно на любом отрезке из интервала сходимости.

Лемма 1 (о сохранении радиуса сходимости при почленном дифференцировании степенного ряда). Радиусы сходимости ря-

так что по любому отрезку из интервала сходимости степенной ряд можно почленно интегрировать;

3Æ степенные ряды, полученные почленным дифференцированием или почленным интегрированием ряда (6), имеют тот же радиус сходимости ;.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение 3Æ содержится в лемме 1. Утверждения 1Æ и 2Æ в силу утверждения 3Æ и равномерной сходимости ряда (6) на любом отрезке из интервала сходимости (следствие из теоремы 2) вытекают из соответствующих свойств общих функциональных рядов.

водную 0 можно найти с помощью почленного дифференцирования ряда (2), что даёт равенство

0

Ряд (2) с коэффициентами вида (3) называется рядом Тейлора функции . Теорема 1 устанавливает, что если функция; 0 представима степенным рядом, т. е. разложена в степенной ряд (2), то этот ряд с необходимостью является её рядом Тейлора.

Теорема 2 (единственности для .0 ). Пусть .0 . Тогда представление функции в виде (1) единственно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Теорема 2 является следствием теоремы 1. Покажем, что коэффициенты разложения (1) однозначно определяются функцией .

Пусть для имеется представление (1), в котором .0 00, . . Рассмотрим (1) при 0. Тогда

При этом учтено, что радиусы сходимости рядов (5) не меньше радиуса сходимости ряда (4), как это видно из формулы Коши–Адамара. В силу теоремы 1 коэффициенты , однозначно определяются функциями #, соответственно. Следовательно, коэффициенты однозначно определяются функцией .

§ 17.3. Разложение функций в ряд Тейлора

называется рядом Тейлора функции в точке 0.

Тейлора (1) на некоторой окрестности точки 0.

Бесконечная дифференцируемость функции в точке 0 необходима для того, чтобы написать ряд Тейлора (1), но не достаточна для представимости функции этим рядом ни на ка-

Нетрудно убедиться, что каждая из этих производных имеет вид

Покажем это сначала для 1. С помощью формулы конечных приращений Лагранжа получаем, что

0. Все коэффициенты её ряда Тейлора в точке 0, а значит, и его