Добавил:

linnesse Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Математический анализ

Файл:

ЛпМА_Бесов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2024

Размер:

3.6 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 4825 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

242 Гл. 15. Числовые ряды

При этом число	.0 0 0 называют пределом последова-
тельности . , и пишут		. .0 или . .0 при .
Поскольку

. .0 0 2 0 2 ,

то сходимость . .0 равносильна сходимости каждой из двух последовательностей действительных чисел 0 и 0 при . Это свойство (называемое также повторением выводов) даёт возможность перенести на последовательности комплексных чисел все теоремы о последовательностях действительных чисел, не связанные с отношением порядка (во множестве комплексных чисел этого понятия нет).

Определение 2. Символ


.1 .2 .3 ... , или . , . ,	(1)
1

называется числовым рядом с комплексными членами.

На ряд (1) переносятся все понятия ряда действительных чисел (член ряда, общий член ряда, частичная, или частная сумма ряда, остаток ряда, сходимость и сумма ряда, абсолютная сходимость ряда).


Очевидно, ряд . , где .				, сходится (абсолютно
1
сходится) тогда и только тогда, когда сходится (абсолютно схо-

дится) каждый из рядов			, .
		1		1
На ряды с комплексными членами переносятся все теоремы
из § 15.1 и из § 15.3, а		также признаки сходимости Дирихле

и Абеля для рядов	, если			.
1

Г л а в а 16

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

ИРЯДЫ

§16.1. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов

Вэтой главе мы будем изучать последовательности и ряды комплекснозначных функций, определённых на подмножестве метрического пространства , + .

Рассмотрим последовательность функций

	1 ,	,			(1)
Определение 1. Говорят, что последовательность (1) схо-
дится на множестве , если		числовая		последовательность
	1 сходится при каждом фиксированном				.
При этом говорят также, что последовательность (1) сходится
на поточечно.
Определение 2. Говорят, что последовательность (1) сходит-
ся на равномерно к функции :			, и пишут при
	, если
		0	при

Здесь допускается, что конечное число членов последовательности верхних граней может быть равно . Для такой последовательности определение предела то же, что и для числовой последовательности.

Говорят, что последовательность (1) сходится на множестве равномерно, если

при

Если последовательность (1) сходится на множестве равномерно, то, очевидно, она сходится на и поточечно, и притом к той же самой функции. Обратное неверно.

Пример 1. Пусть , 0 1. Последовательность

сходится поточечно к нулю на 0, 1 . Однако она не

сходится на 0, 1 равномерно. В самом деле, предельной функцией может быть только 0 0, 1 . Но

244 Гл. 16. Функциональные последовательности и ряды

							0 1 0						при
				0,1
Тем не менее та же						последовательность сходится на отрезке
0, ? , 0 ? 1, равномерно, так как																	0 ?				0 при
.													0,
	Пример 2. Пусть непрерывная функция : 0, 1																			, ,
имеет вид (рис. 1)
					0		при		0 и при								1	, 1 ,
					0		при		0 и при									, 1 ,
					1		при					1	,
												1
											2
			линейна					1			2			1		1
						на 0,		1				и на		1	,	1
						на 0,		2				и на		2	,
								2						2
							Ясно, что										0		при
										0, 1 , но
										0, 1 , но
																0 1				0
													0,1
							при						,	так что					на	0, 1 по-
							следовательность												не сходится
							равномерно.
							равномерно.
										Следующее						определение					экви-
		Рис. 1					валентно определению 2.
	Определение 2 . Говорят, что последовательность (1) схо-
дится на равномерно к функции :															, если

0 ,

Подчеркнём, что в определении 2 число не зависит от . Если же в этом определении заменить на , , т. е. считать зависящим ещё и от , то определение 2 превращается в определение (поточечной) сходимости на множестве .

Замечание 1. Понятие «равномерная сходимость» может быть пояснено как «в равной степени быстрая сходимость» для разных точек множества . В случае равномерной сходимости существует стремящаяся к нулю мажоранта отклонений от

— это	0 ( ).
	равномерная сходимость
Заметим ещё, что при	равномерная сходимость

равносильна, очевидно, равномерной сходимости 0.

§ 16.1. Равномерная сходимость функц. послед-стей и рядов

245

Теорема 1 (критерий Коши равномерной сходимости последовательности). Последовательность , : , сходится на равномерно тогда и только тогда, когда выполняется условие Коши:

0				,

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть при
. Тогда
. Тогда
0				при
			2
Отсюда следует, что для всех ,

					2 2
Достаточность. Пусть выполняется условие Коши. Тогда
при каждом фиксированном	выполняется условие
0		, ,				(2)
Последовательность	сходится в силу критерия

Коши сходимости числовой последовательности. Обозначим предел числовой последовательности через . Покажем, что при . Для этого в оценке (2) перейдём к пре-


делу при . Получим, что
0 ,
Переходя в предпоследнем неравенстве к верхней грани по
, получаем, что по определению 2 при .
Рассмотрим функциональный ряд
Рассмотрим функциональный ряд
0 , 0	,	(3)
1
Определение 3. Говорят, что ряд (3) сходится на множе-
стве , если числовой ряд
0 ,	,	(4)
1

сходится при каждом фиксированном .

При этом говорят также, что ряд (3) сходится на поточечно.

246 Гл. 16. Функциональные последовательности и ряды

Таким образом, поточечная сходимость ряда (3) на равносильна поточечной сходимости на последовательности 8

0 его частичных сумм.

Если ряд (3) сходится на множестве , то его суммой назы-

вается функция 8:

такая, что 8

Определение 4. Говорят, что ряд (3) сходится на рав-

номерно, если

последовательность

его

частичных

сумм

сходится на равномерно.

Следующее определение эквивалентно, очевидно, определе-

нию 4.

Определение 4 . Говорят, что ряд (3) сходится на равно-

мерно, если он сходится на и если

при

Пример 3. Доказать, что ряд

равномерно сходит-

1 # 2

ся на множестве , .

Для любого

ряд сходится по признаку Лейбница. По

тому же признаку для остатка ряда справедлива оценка

1 1

1 # 2 1 2

Следовательно, по определению 4 ряд равномерно сходится на

, .

Обратим внимание читателя на то, что этот ряд ни при каком значении , не сходится абсолютно.

Теорема 2 (необходимое условие равномерной сходимости ряда). Пусть ряд (3) равномерно сходится на . Тогда его общий

член	0 0	при


Д о к а з а т е л ь с т в о следует из того, что 0 8 8 1,
8 8, 8 1 8 при		.

Понятия сходимости ряда, сходимости ряда на множестве,

равномерной сходимости ряда на множестве определяются в терминах соответствующих понятий для последовательностей частичных сумм ряда. Поэтому многие свойства функциональных

§ 16.2. Признаки равномерной сходимости рядов

247

рядов являются перефразировкой соответствующих свойств функциональных последовательностей и наоборот. Так, например, простым следствием теоремы 1 является

Теорема 3 (критерий Коши равномерной сходимости ряда).

Ряд (3) сходится на равномерно тогда и только тогда, когда выполняется условие Коши:


0	0	,		>
	1

Упражнение 1. Доказать, что если ряды 0 ,				= рав-
		1		1
номерно сходятся на , то при ),		ряд	)0 =

равномерно сходится на . Обобщить утверждение на случай, когда ), — ограниченные на функции.

Упражнение 2. Вывести теорему 2 из теоремы 3. Упражнение 3. Определение 2 эквивалентно определению 2,

но формулируется без привлечения понятия верхней грани. Сформулировать аналогичные равносильные утверждения для условия Коши в теоремах 1, 3 и для определения 4 .

§ 16.2. Признаки равномерной сходимости рядов

Теорема 1 (признак сравнения). Пусть заданы функции 0 :

, = : 0, , , причём

	0 = ,

Пусть ряд	=	сходится на равномерно. Тогда ряд				0
	1					1
сходится на абсолютно и равномерно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим,				что при ,		,
>
	0		0		=
1			1		1

В силу критерия Коши (теорема 16.1.3) из равномерной сходимости ряда = следует, что


0 =	, >
1

248 Гл. 16. Функциональные последовательности и ряды

Значит, для этих же и


	0			0			, >
1			1
Следовательно,		в	силу того	же критерия			Коши ряды 0
и 0 равномерно сходятся на .
Частным случаем доказанной теоремы является
Теорема 2 (признак Вейерштрасса). Пусть 0 : ,
,	, причём
		0 ,

Пусть	ряд		сходится. Тогда		ряд	0 сходится на
	1					1
абсолютно и равномерно.
Определение 1. Последовательность							функций :

, , называется равномерно ограниченной на , если

		,
Следующие два признака относятся к рядам вида

				0 ,			(1)
				1
где	:	, 0 :		, .
Теорема 3 (признак Дирихле). Пусть последовательность
значений		действительнозначных функций				при каждом
монотонна, и				пусть	0 при	. Пусть	также

частичные суммы ряда 0					комплекснозначных функций 0
				1
равномерно ограничены на .
Тогда ряд (1) равномерно сходится на .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Применяя преобразование Абе-
ля (15.4.5), получаем

		0
1
				1
			0		1 0		(2)
		1		1		1

	§ 16.2. Признаки равномерной сходимости рядов					249
В силу равномерной		ограниченности			частичных сумм	ряда
0	при некотором
	0 ,
	1
Тогда,	используя монотонность			последовательности
(по ), имеем
				1
	0 2 2				1
1				1
			1
	2 2			1
			1
				4 2 1
Из этого неравенства в силу			0 при получаем, что


	0 0
			1
	,		> ,

Применяя критерий Коши (теорема 16.1.3), получаем, что ряд

(1) сходится на равномерно.

	Теорема	4	(признак	Абеля).	Пусть	последовательность
	действительнозначных функций равномерно ограничена
на	множестве		, и	пусть при каждом			последо-
вательность			монотонна.		Пусть	также	ряд 0

с комплекснозначными членами 0 равномерно сходится на . Тогда ряд (1) сходится на равномерно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению равномерной ограниченности функциональной последовательности при некотором

,
Из равномерной сходимости ряда		0	и критерия Коши
(теорема 16.1.3) имеем

0 0
1
	,		> ,

250 Гл. 16. Функциональные последовательности и ряды

Отсюда и из (2), используя монотонность последовательности

, получаем, что для любого 0 существует

такое, что

1 2 3

В силу критерия Коши (теорема 16.1.3) отсюда следует равно-

мерная сходимость ряда (1) на множестве .

Пример 1. Ряд

1Æ

при 1 равномерно сходится на отрезке 0, 2- ;

2Æ

при 0 1 на любом отрезке

, 0, 2- сходится

равномерно;

3Æ

при 0 1 на любом отрезке 0, Æ , Æ 0 сходится, но

не равномерно.

Покажем

это.

1.Æ При

ряд

сходится. По признаку Вейерштрасса ряд

равномерно

сходится на , .

2.Æ При 0 1 воспользуемся оценкой из примера 15.4.2:

равномерно

показывающей, что частичные суммы ряда

ограничены на каждом отрезке

, 0, 2- . Последователь-

ность

монотонно стремится к нулю. По признаку Дирихле

на каждом отрезке

, 0, 2- сходится равно-

ряд

мерно.

3.Æ При 0 1 и при любом

1 #

§ 16.3. Свойства равномерно сходящихся послед-стей

251

Следовательно, на отрезке 0, Æ , Æ 0, не выполняется условие

Коши	равномерной		#	. По		критерию
		сходимости ряда
		1 #

Коши	(теорема 16.1.3) на отрезке 0, Æ		этот ряд		не	сходится
равномерно.
	§ 16.3. Свойства равномерно сходящихся
	последовательностей и рядов
Определение 1.		Комплекснозначная	функция		:		,

определённая на множестве , называется непрерывной в точке 0 по множеству , если

0 Æ Æ 0 0

(1)

Æ 0 ,

и называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке множества по множеству .

Комплекснозначную функцию можно представить в виде# , где #, — действительнозначные функции. Очевидно, что непрерывность функции в точке 0 по множеству(на ) равносильна непрерывности каждой из функций #, в точке 0 по множеству (на ).

	Теорема 1. Пусть последовательность					комплекснознач-
ных функций :			,		равномерно сходится на
к функции , т. е				при	. Если все функции

непрерывны в точке			0 по множеству , то и предельная
функция непрерывна в точке 0					по множеству .
	Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 0. Тогда
							(2)
Тогда при
		0 0
		0 0 2 0

В силу непрерывности функции в точке						0	по множе-
ству

Æ Æ 0 0 Æ 0

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 4825 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
28.12.20243.6 Mб4ЛпМА_Бесов.pdf
#
28.12.2024102.1 Кб0обозначения.pdf