ЛпМА_Бесов

Теорема 6 (признак Коши). Пусть

0 . Тогда:

1Æ

если существует число ? 1 такое, что при некотором

0

? 1 0,

то ряд

сходится;

2Æ

1

если

0 0

1,

то ряд

расходится, а его общий член не стремится к нулю.

1

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1Æ. В силу сходимости ряда ?

1

и оценки

?

( 0) ряд

сходится по признаку

сравнения (теорема 2).

1

2Æ. Ряд

расходится, так как его общий член не стре-

1

мится к нулю.

Предельная форма признака Коши имеет следующий вид.

Теорема 7 (признак Коши). Пусть

0 и

?

Тогда:

1Æ

если ? 1, то ряд

сходится;

1

2Æ

если

? 1, то

ряд

расходится, и

при этом его

1

общий член не стремится к нулю;

3Æ

если ? 1, то ряд

может быть как сходящимся, так

и расходящимся.

1

Следствие. Утверждение теоремы 7 сохранится, если в ней

условие

? заменить на условие

?

Д о к а з а т е л ь с т в о

теоремы

7. 1Æ. Пусть ? ?0 1.

Тогда

0 :

?0 1 0. Ряд

сходится по

теореме 6.

1

§ 15.3. Абсолютно сходящиеся ряды

233

дует, что 0

0:

1. По теореме 6 ряд

расходится.

1

1

3Æ. Ряд

сходится, ряд

1 расходится, хотя для каж-

1 #2

1

дого из них

1.

2

1

Пример 5. Ряд , 1

, сходится по признаку

2

#

1

Коши, так как

1

1 1 при .

с геометрической прогрессией ?

. Этим, в частности, мож-

0

но объяснить их непригодность для выяснения сходимости рядов

1

при 0. Как признаки

расходимости эти признаки

1 #

называется абсолютно сходя-

Определение 1. Ряд

1

щимся, если сходится ряд

.

1

Теорема 1. Абсолютно сходящийся ряд сходится.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу сходимости ряда

для

него выполняется условие Коши. Поскольку

1

234

Гл. 15. Числовые ряды

то условие Коши выполняется и для ряда

. В силу критерия

1

Коши (теорема 15.1.2) ряд

сходится.

1

Замечание 1. Из сходимости ряда

не следует сходи-

1

мость ряда

. Это видно из примера ряда (15.1.2).

1

Следующие две теоремы показывают, что абсолютно сходя-

щиеся ряды обладают некоторыми свойствами сумм конечного

числа слагаемых.

Определение 2. Пусть заданы ряд

и отображение

1

, являющееся взаимно однозначным соответствием .

называют рядом с переставленными членами

Тогда ряд

1

(по отношению к ряду

).

1

Теорема 2. Если ряд

сходится абсолютно, то и ряд

1

, сходится

, полученный перестановкой членов ряда

1

1

абсолютно. При этом их суммы равны:

(1)

1

1

Д о к а з а т е л ь с т в о. Абсолютная сходимость ряда ,

т. е. сходимость ряда

1

, следует из ограниченности после-

1

довательности частичных сумм последнего:

1

1

Установим равенство (1).

, 8

Пусть 8

, 8

.

1

1

1

Для каждого найдётся, очевидно, такое A A ,

что все слагаемые суммы 8

содержатся в сумме 8* . Тогда при

A

... , ,

8 8 1 2

где , — остаток после -го члена ряда

.

1

236

Гл. 15. Числовые ряды

Теорема 1 (признак Лейбница). Пусть

1 0

,

0 при . Тогда знакочередующийся ряд

1 1 1 2

3 4 ...

(1)

1

сходится.

1 1 по абсолютной

При этом остаток ряда

1

величине не превосходит абсолютной величины первого из его

членов:

1

(2)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим

подпоследовательность

частичных сумм чётных порядков 8

последовательности

частичных сумм ряда (1):

2 1

82 1 2 3 4 ... 2 1 2

1 2 3 4 5 ...

2 2 2 1 2

Ясно, что последовательность 8

возрастает и что 0 8

2

2 1

82 1 сходится:

1. Следовательно, последовательность

82 8 0,

1

(3)

порядков последовательности 8 также сходится и притом

1

к тому же пределу 8, поскольку 82 1 82 2

8 0

8 при . Из сходимости последовательностей

82 1

§ 15.4. Сходящиеся знакопеременные ряды

237

1

Пример 1. Ряд

1

, 0, сходится

по признаку

Лейбница.

1

#

Установим

некоторые

признаки

сходимости

рядов

вида

. Рассмотрим сначала преобразование конечной суммы

1

8

1

Пусть

0 ,

0

1, ... ,

(4)

1

Тогда 1 ( 1, ..., ),

8

1

1

1

1

1

Заменив в последней сумме индекс суммирования на 1,

получаем формулу

1

1 0

1 ,

(5)

1

1

называемую преобразованием

Абеля

суммы

. Форму-

1

да

. Изучим поведение правой

части

равенства (5)

при 1

.

Прежде всего,

0 при

в силу ограниченности

последовательности

и условия

0 (

).

238

Гл. 15. Числовые ряды

1 1

1

1

1

1

1

Теорема 3 (признак Абеля). Пусть числовая последователь-

ность монотонна и

ограничена, а

сходится.

ряд

1

1

Тогда ряд

сходится.

1

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть

0

при

. Тогда

0

0 при

,

0

1

1

1

#

, 0,

(6)

1 #

Последовательность чисел

1

монотонно стремится к нулю.

#

ограничена.

Покажем, что последовательность сумм

1

§ 15.4. Сходящиеся знакопеременные ряды

239

Имеем при

2 -, :

1

2

2

1

1

2

2

1

1

1

,

2

2

2

2

1

так что

1

1

2

#

,

0,

(7)

1

#

1

При 2 -, , имеем

, и

ряд (7)

сходится по признаку Дирихле. 1

2

1

При 2 -, , ряд (7) превращается в ряд

, схо-

#

1

димость которого зависит от и исследована в примере 15.2.1.

Пример 3. Пусть

— монотонная ограниченная последо-

вательность.

Тогда ряд

#

,

0,

,

1

#

§ 15.5. Последовательности и ряды с комплексными членами

241

ния через 1

, 1

, для номеров третьего шага — через

1 , 2 , четвёртого шага — через 2 , 2 и т. д.

Поскольку

0,

0 при , то 8 при .

а) 8

при

;

б) 8

при

;

Определение

1.

Последовательность комплексных чисел

.

называется сходящейся, если существует ком-

плексное число .0

0 0 такое, что