Добавил:

linnesse Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Математический анализ

Файл:

ЛпМА_Бесов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2024

Размер:

3.6 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 4823 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

222		Гл. 14. Определённый интеграл
	Теперь из (1) и из (2) следует
	+

	+ + 2 ,

и теорема доказана.
	Теоремы 1 и 2 обобщаются на случай функции , интегриру-
емой в несобственном смысле.
	Определение 2. Пусть . Функция назы-

вается абсолютно интегрируемой на интервале , , если су-

ществует конечное число точек	,		0	1	... ,
таких, что:	0		0	1
таких, что:
1Æ функция интегрируема по Риману на каждом отрезке
, , , не содержащем точек 1, ..., 1;
2Æ сходится несобственный интеграл					+ , понимае-
мый как несобственный интеграл	с	особенностями в точках

0, 1, ... , .

Заметим, что в силу теоремы 14.7.4 определение 2 перейдёт в эквивалентное, если условие 1Æ заменить условием сходимости

интеграла + .	называется фи-
Определение 3. Функция : ,
нитной, если она равна нулю вне некоторого отрезка.
Определение 4. Функция : ,	называется фи-

нитной ступенчатой, если существует такой отрезок , , что— ступенчатая функция на , , и 0 вне , .

Теорема 3. Пусть функция абсолютно интегрируема на, , . Тогда для любого 0 существует финитная ступенчатая функция такая, что

	+

Д о к а з а т е л ь с т в о. Без ограничения общности будем считать, что , , . В самом деле, если это не так, то функцию можно доопределить нулём вне интервала , , после чего она станет абсолютно интегрируемой на , .

Пусть несобственный интеграл	+ имеет особен-
	, и пусть
ности в точках , 0 1 ... 1	, и пусть

§ 14.8. Приближение интегрируемых функций

223

функция интегрируема по Риману на каждом отрезке, не содержащем точек , 1, ..., 1. Из сходимости интеграла

+ следует, что для всякого 0 существуют такие

числа , , 3, где 1, 1 , 3 0, что

	(	2 1
		+		+		+
		1			)
Рассмотрим функцию
	0	для	, ! 1				, 3
					1 3
		, ,
		для остальных
		для остальных

Тогда функция интегрируема на , , равна 0 вне , и


+	(3)

В силу теоремы 1 существует ступенчатая на , функция такая, что

		)
			+	(4)
		(
		Будем считать функцию продолженной нулём на ,
и на , . Тогда из (3), (4) получаем

		+


		+ + 2

Теорема доказана.
		Следствие. Пусть функция абсолютно интегрируема		на
	, , . Тогда для любого 0 существует
финитная непрерывная на , функция такая, что
			+	(5)
			предоставляется читателю.
		Д о к а з а т е л ь с т в о	предоставляется читателю.

224 Гл. 14. Определённый интеграл

Теорема 4. Каждая абсолютно интегрируемая на ,

функция является непрерывной в среднем относительно сдвига, т. е. обладает свойством


	3	+ 0	(6)
0

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция абсолютно инте-

грируема на , . Зададим произвольное 0. Тогда

существует финитная непрерывная функция	, для которой вы-
полняется (5) при , , . Пусть	0 вне отрезка

, . По теореме Кантора функция равномерно непрерывна на отрезке 1, 1 , а значит, и на , . Следовательно, существует 3 0, 1 такое, что

	3				3 3
				3
		2
Отсюда и из (5) следует, что при 3 3

	3 +		3 3 +

3 + + 3

Этим свойство (6) установлено.

Упражнение 1. Доказать теорему 4, опираясь на возможность приближения функции финитной ступенчатой функцией и на легко проверяемую для функции непрерывность в среднем относительно сдвига.

			Г л а в а		15
		ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
		§ 15.1. Сходимость числового ряда
Определение 1. Символ

		1 2 3 ... ,			или		,			(1)
								1
где , называется числовым рядом,								— его -м членом
(или его общим членом, если				рассматривается как функция
						называется -й частич-
переменного ). Величина 8						называется -й частич-
					1
ной (или частной) суммой этого ряда.
Ряд (1) называется сходящимся (к 8), если последователь-
ность 8		его частичных сумм сходится (к 8).
В этом		1случае число 8		8		называют суммой ряда
и пишут
и пишут

		1 2 ... 8,		или		8
							1

Таким образом, в этом случае под							1		2 ...
понимают также число.									1
Если последовательность 8 расходится, то ряд (1) назы-
				1
вают расходящимся. Пишут также									, если 8
					1
при	, и		, если 8			при .
		1
Будем говорить, что			общий член ряда (1) стремится к нулю,
если		0.

Из определения видно, что изучение сходимости и других свойств рядов сводится к изучению или переформулировке соответствующих свойств последовательностей.

Пример 1. Ряд
1 1 1 1 1 1 1 1 ...	(2)

сходится.

2 2 3 3 4 4

Пример 2. Ряд

1 1 1 1 1 1 ...

расходится.

8 О.В. Бесов

226	Гл. 15. Числовые ряды

Теорема 1. Необходимым условием сходимости ряда является стремление к нулю его общего члена.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ряд (1) сходится, и пусть его сумма равна 8. Тогда

8 8, 8 1 8 при

Следовательно,

8 8 1 0 при

Стремление к нулю общего члена ряда, будучи необходимым, не является достаточным условием сходимости ряда, что можно увидеть на следующем примере.

	1				гармоническим рядом)
Пример 3. Ряд		(называемый
Пример 3. Ряд	#	(называемый
1	#
расходится. В самом деле,
2	1		1	1	0 при ,
82 8	1		1	1
82 8	#		2 2
1	#		2 2

что противоречит сходимости ряда, в случае которой последовательности 8 и 82 сходились бы к одному и тому же числу (сумме ряда), а их разность — к нулю.

Теорема 2 (критерий Коши). Для сходимости ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши:

0 , , >

1
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как

8		8 ,
1

то теорема 2 следует из критерия Коши сходимости последовательностей.

Упражнение 1. Доказать теорему 1 с помощью критерия Коши.

Упражнение 2. Доказать расходимость гармонического ряда с помощью критерия Коши.

Определение 2. Числовой ряд

1 2 ... 1

называется остатком ряда (1) после -го члена.

§ 15.2. Числовые ряды с неотрицательными членами

227

Сходимость ряда (1) равносильна сходимости какого-либо из его остатков, что следует из критерия Коши.


Теорема 3. Пусть сходятся ряды				и . Тогда при
			1	1
любых ), сходится ряд )			и его сумма равна
		1

	) )
	1	1		1
Д о к а з а т е л ь с т в о		следует из равенства для частичных
сумм
	) )
	1	1		1
и предельного перехода в нём при			.

§ 15.2. Числовые ряды с неотрицательными членами

Будем изучать числовые ряды вида


, 0	(1)

Теорема 1. Для сходимости ряда (1) необходима и достаточна ограниченность последовательности его частичных сумм.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что последовательность частичных сумм ряда (1) возрастает, так что её ограниченность эквивалентна её сходимости.

Теорема 2 (признак сравнения). Пусть при некотором

выполняется 0 0. Тогда:

1Æ	сходимость ряда влечёт сходимость ряда
	1		1

2Æ	расходимость ряда	влечёт расходимость ряда
	1

Д о к а з а т е л ь с т в о.

;


1.Æ Пусть ряд сходится. Тогда последовательность его
1
частичных сумм (как сходящаяся или по теореме 1) ограничена.

Следовательно, последовательность частичных сумм ряда
		1
ограничена. По теореме 1 ряд	сходится.
1

228

Гл. 15. Числовые ряды

2.Æ Если бы ряд

сходился, то по доказанному в п. 1Æ

сходился бы и ряд

Следствие. Пусть

0, 0 , и пусть

E 0, . Тогда ряды

сходятся или расходятся

одновременно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем

2E 0

2 E

Тогда из теоремы 15.1.3 при ) 0 и из теоремы 2 следует,

что ряды

, сходятся или расходятся одновременно.

Остаётся учесть, что сходимость ряда равносильна сходимости

какого-либо из его остатков.

Упражнение 1. Доказать, что если

0, 0 ,

' при

следует

, то из сходимости ряда

сходимость ряда

Теорема 3 (интегральный признак сходимости ряда). Пусть

функция убывает к нулю на 1, . Тогда ряд и ин-

теграл

сходятся или расходятся одновременно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из неравенства

+ 1

получаем, что

1 1

(2)

Поэтому

(эквивалентная

сходимости

ограни-

ряда )

ченность

последовательности

частичных сумм

ряда

§ 15.2. Числовые ряды с неотрицательными членами

229

эквивалентна	ограниченности последовательности			интегралов
1	которая в	свою очередь эквивалентна (в силу
1 + ,
неотрицательности ) ограниченности интеграла 1				+	как
функции аргумента , что по теореме 14.7.2 эквивалентно схо-
димости интеграла		+	.
	1

Неравенства (2) имеют простой геометрический смысл. Ин-

теграл в (2) равен площади криволинейной трапеции с боковыми сторонами 1, 1 0 и , 1 1, (рис. 1).

Рис. 1

Сумма в левой части (2) равна сумме площадей прямоугольников, покрывающих криволинейную трапецию, а сумма в правой части (2) — сумме площадей прямоугольников, содержащихся в этой криволинейной трапеции.

	1
Пример 1. Ряд		расходится при 0, так как его
Пример 1. Ряд	#	расходится при 0, так как его
1	#

общий член не стремится к нулю. Ряд сходится при 1

и расходится при 0 1, что в силу интегрального признака

следует из сходимости интеграла

при 1 и его рас-

ходимости при 0 1.

Пример 2. Ряд

расходится при 0, так

как его общий член не стремится к нулю. Этот ряд сходится

при 1

и расходится

при

0 1.

В самом деле,

при

0 его

сходимость эквивалентна сходимости ряда

1 #

в силу следствия из теоремы 2, так как для 0 имеет место

при

. Остаётся сослаться на пример 1.

230	Гл. 15. Числовые ряды

Упражнение 2. Пусть ряд						сходится, и пусть его об-
					1
щий член	убывает: 1. Доказать, что
	*	1			при					(3)
	*		#		при					(3)
			#
У к а з а н и е. Воспользоваться оценкой снизу для разности
частичных сумм ряда:
					2
	82 8					2
				1
Является ли условие (3) достаточным для сходимости ряда?
Пример 3. Ряд		?
		?								(4)
				0
сходится при 0 ? 1 и расходится при ? 1.
В самом деле, при 0 ? 1 имеем ?							1	для всех доста-
В самом деле, при 0 ? 1 имеем ?								для всех доста-
						#2			1
точно больших . Тогда в силу сходимости ряда										и теоре-
точно больших . Тогда в силу сходимости ряда										и теоре-
								1 #2
мы 2 ряд ? сходится.
	1

Если же ? 1, то ряд (4) расходится, так как его общий член

не стремится к нулю.

Заметим, что вопрос о сходимости ряда (4) можно решить, записав его частичную сумму по формуле суммы первых членов геометрической прогрессии:

					1 - 1	1		- 1
	8 ?								, ? 1
	8 ?				1 - 1 - 1 -				, ? 1
		0			1 - 1 - 1 -
		0
Теорема 4 (признак Д’Аламбера).							Пусть 0 .
Тогда:
1Æ	если существует число ? 1 такое, что при некотором 0
			1 ? 1 0,


то ряд		сходится;
	1
2Æ	если при некотором 0
				1 1 0,


то ряд		расходится.
	1

§ 15.2. Числовые ряды с неотрицательными членами

231

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1Æ. При 0 из 1 ?

следует

? 0

0 0?

Тогда сходимость ряда

следует из сходимости ряда (4)

в силу признака сравнения (теорема 2).

2Æ. Из

1 0 следует, что общий член ряда

не

стремится к нулю. Следовательно, ряд

расходится.

Теорема 5 (признак Д’Аламбера). Пусть

и пусть

1 ?

Тогда:

1Æ

если ? 1, то ряд

сходится;

2Æ

если ? 1, то ряд

расходится;

3Æ

если ? 1, то ряд

может быть как сходящимся, так

и расходящимся.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1Æ. Пусть

? ? 1.

1 ?

Тогда 0 :

0. По теореме 4 ряд

сходится.

2Æ. Пусть ? 1. Тогда 0 :

1 0. По теореме 4

ряд

расходится.

3Æ. Для ряда

, 0, выполняется условие

Однако при 0 1 ряд

расходится, а при 1 —

сходится.

Пример

Для

ряда

имеем

1 1 при

. Следовательно,

# 1

ряд сходится.

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 4823 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
28.12.20243.6 Mб4ЛпМА_Бесов.pdf
#
28.12.2024102.1 Кб0обозначения.pdf