Добавил:

linnesse Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Математический анализ

Файл:

ЛпМА_Бесов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2024

Размер:

3.6 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 4822 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

212	Гл. 14. Определённый интеграл

Пример 1. Несобственный интеграл 1 сходится при

1 и расходится при 1.

Теорема 1 (критерий Коши сходимости несобственного интеграла). Пусть функция интегрируема на любом отрезке, , . Тогда для сходимости несобственного интеграла

(1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши

0 , , ,	+		(3)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Сходимость несобственного			интегра-
ла (1) по определению равносильна	существованию		предела

функции / " +" при	0, что	эквивалентно

выполнению условия Коши существования конечного предела функции / (см. теорему 3.5.1 и упражнение 3.6.3), совпадающему с (3).

Сходимость несобственного интеграла (1) равносильна схо-

димости несобственного интеграла + при каком-либо, . Это сразу следует из теоремы 1, поскольку условия Коши для этих двух несобственных интегралов очевидным обра-

зом равносильны.

Ряд свойств определённого интеграла переносится на несобственные интегралы с помощью предельного перехода при

1.Æ Пусть несобственный интеграл (1) сходится. Тогда

+ + + ,


	2Æ (линейность). Пусть несобственные интегралы		+ ,
	# +	сходятся. Тогда при ), сходится и несобствен-
ный интеграл

) # + ) + # +

§ 14.7. Несобственные интегралы

213

3Æ (интегрирование неравенств). Пусть интегралы + ,
# + сходятся, и пусть # на , . Тогда
+ # +

4Æ (формула Ньютона–Лейбница). Пусть функция непрерывна на , , < — первообразная для на , . Тогда

+ < 0 < ,

(4)

если конечна хотя бы одна из частей равенства (4).

5Æ (интегрирование по частям). Пусть функции 0, =: ,непрерывны и кусочно-непрерывно дифференцируемы на

каждом отрезке , , . Тогда

0= + 0= 0 = + ,

(5)

если оба слагаемых в правой части равенства (5) существуют

и конечны.
6Æ (замена переменного). Пусть функция			непрерывна
на , , функция	непрерывно дифференцируема на , ,
, причём	"		" . Тогда
		0

	+ "	" +"

При этом интегралы в обеих частях этой формулы сходятся или расходятся одновременно.

Покажем лишь, как из сходимости интеграла, стоящего в правой части равенства, вытекает сходимость интеграла, стоящего в левой части. Пусть 0. Тогда


,	" " +"	, ,

Положим . Тогда по теореме Коши о промежуточном значении

, , , , ,

214 Гл. 14. Определённый интеграл

Следовательно,

" " +"

, ,

По критерию Коши интеграл

сходится.

Рассмотрим теперь несобственные интегралы от неотрица-

тельных функций.

Теорема 2. Пусть 0 на , . Для сходимости несоб-

ственного интеграла +

необходимо и достаточно, чтобы

+ ,

Д о к а з а т е л ь с т в о. Интеграл

+ как

функция

аргумента

возрастает.

Поэтому сходимость

интеграла

(т. е. существование конечного

предела этой

функ-

ции при

0) равносильна ограниченности

интеграла

как функции аргумента .

Теорема 3 (признак сравнения). Пусть функции и # инте-

грируемы на любом отрезке

, , причём 0 # на

, . Тогда:

1Æ

сходимость интеграла #

влечёт сходимость инте-

грала

;

2Æ

расходимость интеграла

влечёт расходимость

интеграла #

+ .

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1Æ. Пусть интеграл #

схо-

дится. Тогда по теореме 2

+ # + ,

По теореме 2 интеграл + сходится.

2Æ. Расходимость интеграла # + легко доказывается от противного.

§ 14.7. Несобственные интегралы

215

Следствие. Пусть функции , # интегрируемы на любом отрезке , , , и пусть 0, # 0 на , . Пусть также

			0,
	0
Тогда интегралы +		и #	+ сходятся или расходятся
одновременно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В условиях теоремы , :
#
2 #	2# , . В силу свойства 2Æ несоб-
ственных интегралов и теоремы 3 интегралы
	# + и +

сходятся или расходятся одновременно. Теперь остаётся учесть, что сходимость последних двух интегралов не зависит от выбора

, .

Упражнение 2. Обобщить теорему 3, заменив в её условии 0 # на , условиями

0, # 0,	' #	при	0
Определение 2.	Несобственный	интеграл	+
называется абсолютно	сходящимся, если сходится интеграл

+ .

Теорема 4. Абсолютно сходящийся интеграл сходится.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что из сходимости интегра-

ла	+	следует, что для него выполняется условие Коши
(3). Тогда условие (3) выполняется и для интеграла +
в силу оценки
		+ + при
Применяя	критерий Коши к интегралу + , убеждаемся,
что он сходится.
Из последнего неравенства следует, что в условиях теоремы 4
справедлива оценка +			+ .

216	Гл. 14. Определённый интеграл
Замечание 2.	Сходимость несобственного интеграла

+ не даёт права написать символ + , поскольку функция может не быть интегрируемой на некотором отрезке , , в то время как её модуль интегрируем на этом отрезке. Пример такой функции был приведён в замечании 14.3.2.

Замечание 3. Сходящийся интеграл может не быть абсо-

		+ , который
лютно сходящимся, как, например,		+ , который	будет
исследован ниже.	1
Определение 3. Пусть функция :		, ,

, интегрируема по Риману на любом отрезке , , .

Символ + называется несобственным интегралом (Римана) с особенностью в точке (или с особенностью на нижнем пределе). При этом говорят, что несобственный интеграл

	+	сходится, и пишут
			+			+	,
					0

если	этот	предел существует, и что				несобственный интеграл
	+	расходится в противном случае.
				1
Пример 2. Интеграл					сходится при 1 и расходится
при 1.				0
Определение 4. Пусть функция : ,							,

, интегрируема по Риману на любом отрезке ,

, . Символ	+	называется несобственным инте-
гралом (Римана) с особенностями в точках					и (или с осо-
бенностями на верхнем и нижнем пределах).
Говорят, что несобственный интеграл					+	сходится,
если сходится каждый из интегралов

+		,	+	,		(6)

где — какое-нибудь число из интервала				, .
При этом полагают по определению, что

+			+ +			(7)

	§ 14.7. Несобственные интегралы	217
Если же хотя бы один из интегралов (6) расходится, говорят,
что интеграл	+ расходится.	выбора точки
Сходимость	интегралов (6) не зависит от	выбора точки

, (это установлено для второго из них и может быть аналогично показано для первого). Правая часть (7) также не зависит от выбора , что при следует из равенств для определённых интегралов

+ +

+ + + + +

Замечание 4. Равенство (7) можно записать в виде

+		+ ,
	0
	0

где предел является пределом функции двух переменных. Дадим теперь определение несобственного интеграла

с несколькими особенностями.

Определение 5. Пусть функция определена на интервале

, , , с выколотыми точками 1, ... , 1,0 1 ... 1 . Пусть интегрируема по

Риману на каждом отрезке из , , не содержащем ни одной из

точек ( 1, ... , 1). Символ + называется несобственным интегралом с особенностями в точках 0, 1, ... , .

Говорят, что несобственный интеграл +		сходится,
и при этом

+	+ ,
	1 1
если каждый из стоящих справа несобственных		интегралов

с особенностями в концах интервала 1, сходится. В про-

тивном случае говорят, что интеграл + расходится. До сих пор мы изучали свойства лишь несобственного ин-

теграла (1). Эти свойства, как видно из определений 3, 4, 5, легко переносятся на несобственные интегралы с особенностью на нижнем пределе и на несобственные интегралы с несколькими особенностями.

218 Гл. 14. Определённый интеграл

Упражнение 3. Пусть			, , , и пусть сходится
несобственный интеграл			+	с несколькими особенностями.
Доказать,	что при	0 , функция			/ " +"
равномерно непрерывна на			, .		0
равномерно непрерывна на			, .
Установим два признака сходимости несобственного интегра-
ла от произведения двух функций:

			#	+	(8)

Теорема 5 (признак Дирихле). Пусть:
1Æ функция непрерывна и имеет ограниченную первообраз-
ную на , ;
2Æ функция # непрерывно дифференцируема и монотонна на
, ;
3Æ #	0 при	.
Тогда интеграл (8) сходится.
Д о к а з а т е л ь с т в о.			Пусть / — первообразная для .

Интегрируя по частям произведение # на отрезке , , имеем

# +	/ # + / #	/ # +

			(9)

Уменьшаемое в правой части стремится, очевидно, к пределу при . Вычитаемое стремится к абсолютно сходящемуся интегралу. В самом деле, положив / , имеем

			,

/ # +	# +			# +


		# #
Поэтому правая часть (9), а вместе с			ней и левая стремятся

к пределу при . Это означает, что интеграл (8) сходится.

Теорема 6 (признак Абеля). Пусть:
1Æ функция непрерывна на , и интеграл +
сходится;

2Æ функция	# непрерывно дифференцируема, ограничена
и монотонна на	, .

Тогда интеграл (8) сходится.

§ 14.7. Несобственные интегралы

219

Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что признак Абеля вытекает из признака Дирихле.

Сначала заметим, что функция имеет на , пер-

вообразную / " +", ограниченность которой следу-

ет из её непрерывности и существования конечного предела

/ " +".

В силу монотонности и ограниченности функции # существу-
ет #	. Тогда функция # # непрерывно диф-
		0 при	.
ференцируема и монотонна на , и #		0 при	.
Поэтому интеграл

# + # + +

сходится как сумма двух сходящихся интегралов (первый из них сходится по признаку Дирихле, а второй — по условию теоремы).

Пример 3. Покажем, что интеграл

сходится, но не

абсолютно. Для доказательства его сходимости прим´еним при-

знак Дирихле, положив

, #

. Тогда имеет

ограниченную первообразную /

, а # непрерывно

дифференцируема и монотонна на 1, , #

0 при

Следовательно, интеграл

сходится.

имеем

Установим, что он не сходится абсолютно. При

1 1 1 '

# '

0 '

Следовательно, по критерию Коши интеграл

расхо-

дится.

Замечание 5. При доказательстве признаков Дирихле и Абе-

ля было применено интегрирование по частям, с помощью которого доказательство сходимости одного интеграла было сведено к доказательству абсолютной сходимости другого интеграла.

220	Гл. 14. Определённый интеграл

Этот приём полезен и при изучении сходимости конкретных интегралов. Например,


	+ 1
		2	+
1	1

Интеграл в левой части равенства сходится, но не абсолютно, в то время как интеграл в правой части сходится абсолютно. Принято говорить, что в подобных случаях интегрирование по частям «улучшает сходимость интеграла».

§14.8. Приближение интегрируемых функций ступенчатыми и непрерывными

Определение 1. Функция :			,	называется ступенча-
той (кусочно постоянной) на			, , если существует разбиение
0 ,	0	1 ... , такое, что постоянна			на
каждом интервале 1, , 1, ..., .
Ступенчатые функции кусочно-непрерывны и, следовательно,
интегрируемы на		, .
Теорема 1. Пусть функция интегрируема на отрезке					, .
Тогда для всякого 0 существует такая ступенчатая на					,
функция , что
			+		(1)


Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 6							— разбиение отрез-
							0

ка	, , и пусть				— интегральная			сумма Римана.
		1
Рассмотрим ступенчатую функцию
				при		1,	, 1, ... , ,
				при		, 0, 1, ... , ,
где . Тогда
								I ,
	+			+				I ,
			1 1					1
где I — колебание функции на отрезке								1, .

§ 14.8. Приближение интегрируемых функций

221

В силу критерия интегрируемости правая часть последнего неравенства меньше наперёд заданного числа 0, если мелкость 6 разбиения 6 достаточно мала. Теорема доказана.

Левую часть неравенства (1) называют приближением в среднем функции ступенчатой функцией . Саму теорему 1 можно переформулировать так:

интегрируемую на отрезке функцию можно с любой точностью на этом отрезке приблизить в среднем ступенчатой функцией.

Теорема 2. Пусть функция интегрируема на , . Тогда для всякого 0 существует такая непрерывная на , функция , что

До к а з а т е л ь с т в о. Зададим произвольное 0. Пусть

— ступенчатая на , функция, для которой выполняется (1).

Построим непрерывную на ,	кусочно линейную функцию	,
для которой
	+	(2)

Это построение можно осуществить так. Ступенчатая функция принимает постоянное значение на каждом из интервалов

1, разбиения 6: 0 1 ... . Построим функции , непрерывные и кусочно линейные на , , следую-

щим образом. Взяв 3 0, 12 6 , положим

					на 1 3, 3 ,
			0		вне	1,	,
			линейна		на	1,	1 3 и на 3,
Пусть				. Тогда если , то
			1

					+
		+			+
				1 1
		1
		+ + 23 ,
		+ + 23 ,
	1 1

если 3 0 достаточно мал´о.

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 4822 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
28.12.20243.6 Mб4ЛпМА_Бесов.pdf
#
28.12.2024102.1 Кб0обозначения.pdf