ЛпМА_Бесов

202 Гл. 14. Определённый интеграл

А это означает, что

называемая интегралом с переменным нижним пределом. Поскольку

C " +" / ,

Как и раньше, через , будем обозначать промежуток (т. е. отрезок, интервал или какой-либо из полуинтервалов) с концами в точках , .

Теорема 3. Пусть функция непрерывна на промежут-

Эта формула называется формулой Ньютона–Лейбница.

б) (монотонность меры) если множества 1, 2 измеримы, и 1 2, то 1 2;

в) (аддитивность меры) если множества 1, 2 измеримы, и 1 2 , то 1 2 1 2.

Из a) и б) следует, что 0 для всякого измеримого множества (неотрицательность меры).

Из б) и в) следует г) (полуаддитивность меры) если множества 1, 2 измери-

мы, то 1 2 1 2.

(I) Площадь криволинейной трапеции. Криволинейной

Рис. 1

'1

Очевидно, C 6 C C 6 , откуда следует

C 6 C C 6

Поскольку

C 6 8 ,

1

C 6 8 ,

1

где 8 , 8 — соответственно наименьшая и наибольшая интегральные суммы Римана функции для разбиения 6, то

8 C 8

Отсюда, устремляя мелкость 6 разбиения 6 к нулю, получаем, что площадь криволинейной трапеции C равна

7 , 2 2 , 2 ,

где функция 2 непрерывна и неотрицательна на ,0, 2- , C , 2 : 2 , 0 2 — криволинейный сектор.

208 Гл. 14. Определённый интеграл

Построим две фигуры C 6 , C 6 (рис. 2):

Тогда площадь криволинейного сектора C удовлетворяет двойному неравенству (см. упражнение 2)

(III) Объём тела вращения. Множество 3 , определяемое соотношением

, , . 3 , 2 .2 ;2, , . 3 , 2 .2 ;2 ,

называется прямым круговым цилиндром.

Упражнение 3. Вывести формулу -;2 .

Пусть функция непрерывна и неотрицательна на отрез-

'1

Тогда

Отсюда при 6 0 получаем, что объём тела вращения равен

- 2 +

(IV) Вычисление длины кривой. Пусть кривая 7 " :

" непрерывно дифференцируема.

Ранее было установлено, что непрерывно дифференцируемая кривая спрямляема (имеет длину) и что производная переменной длины дуги 9 " этой кривой

9 " "

Пусть 8 — длина кривой 7. Тогда

89 9 9 " +" " +"

2 " 2 " . 2 " +"

Если 7 , : — плоская кривая, то её длина равна

8 1 2 +

(V) Площадь поверхности вращения. Пусть функция

непрерывно дифференцируема и неотрицательна на отрезке , . Пусть 8 — поверхность, образованная вращением вокруг оси ' кривой 7 , : , т. е. графика функции . Площадь поверхности 8 (определение которой будет дано ниже) обозначим символом 8.

резками. Поверхность, образованную вращением ломаной 7 6 вокруг оси ' , обозначим через 8 6 . Эта поверхность представляет собой объединение боковых поверхностей усечённых конусов или цилиндров, площади которых известны из курса

§ 14.7. Несобственные интегралы

называется несобственным интегралом (Римана) по полуинтервалу , . Говорят, что несобственный интеграл (1) сходится, и пишут

если указанный предел существует, и что несобственный интеграл (1) расходится в противном случае (здесь и далее символ0 равнозначен символу ).

Таким образом, в случае сходимости несобственным интегралом называют не только символ (1), но и его значение — число (2).

Сравним понятия интеграла Римана и несобственного интеграла Римана. Если , то функция задана на бесконечном промежутке, для которого интеграл Римана не определён, в то время как несобственный интеграл (2) может существовать. Если же , а функция неограничена на , , то интеграл Римана по , не существует, в то время как несобственный интеграл (2) может существовать.

Если функция интегрируема по Риману на отрезке , , то сходится и несобственный интеграл (2) по , причём эти

интегралы равны. Это следует из непрерывности + как функции аргумента в силу теоремы 14.4.1.

Упражнение 1. Доказать, что если функция ограничена на отрезке , и интегрируема по Риману на любом отрезке, , , то она интегрируема по Риману на , , и, следовательно, её интеграл Римана по , и несобственный интеграл по , совпадают.

У к а з а н и е. Воспользоваться критерием интегрируемости функции.

Таким образом, понятие несобственного интеграла шире понятия интеграла Римана.

Замечание 1. Если верхний предел несобственного интеграла равен , то вместо символа часто пишут .