ЛпМА_Бесов

192 Гл. 14. Определённый интеграл

(т. е. удовлетворяет условию Коши), так как в силу (5) 0

На основании (2) отсюда следует, что

8

0

Замечание 1. Оценка (6) показывает, с какой точностью интеграл может быть приближен интегральной суммой Римана. Эта оценка может использоваться для приближённого вычисления интеграла.

называют соответственно нижней и верхней интегральными суммами Дарбу функции , отвечающими разбиению 6.

Ясно, что

8 8 8

для любой интегральной суммы Римана 8 .

194 Гл. 14. Определённый интеграл

Следовательно, при произвольном 0 для разбиения 6 отрезка , с мелкостью 6 Æ

В силу критерия интегрируемости функция интегрируема на

, .

Теорема 4. Пусть функция ограничена на отрезке ,

Очевидно, что

# 4 6

Поскольку функция непрерывна и, следовательно, по теореме 3 интегрируема на , , то в силу критерия интегрируемости существует Æ Æ 0 такое, что

# при 6 Æ

Будем считать, что Æ . Тогда при 6 Æ

F # # 8 8 1

1

Это означает, что выполняется условие (1), и в силу критерия интегрируемости функция интегрируема на , .

Определение 3. Функция : , называется кусочнонепрерывной на , , если существует разбиение 6 отрезка , такое, что при любом 1, ... , функция 0 либо является непрерывной на отрезке 1, , либо становится таковой после надлежащего её переопределения в одном или в обоих концах этого отрезка. Это равносильно тому, что при любом 1, ... , :

196 Гл. 14. Определённый интеграл

любом расположении точек , , для функции , интегрируемой на отрезке, содержащем эти точки.

3 (линейность). Если функции , # интегрируемы на , ,

До к а з а т е л ь с т в о получается предельным переходом при 6 0 из соответствующего равенства для интегральных сумм Римана.

4. Если функции , # интегрируемы на , , то их произведение # также интегрируемо на , .

До к а з а т е л ь с т в о. Запишем

# 0 # 0 # 00 # 0 0 # 0

0 # 0 0 # 00 # 0 0 # 0

Эта формула аналогична формуле Лейбница для дифференцирования произведения двух функций.

Отсюда при условии ограниченности функций , # на отрезке

,

F #; , + F ; , + F #; , + ,

если , + , , а , # на , . Следовательно,

Устремляя 6 к нулю и пользуясь критерием интегрируемости функции, получаем, что произведение # интегрируемо на , .

5. Пусть функция интегрируема на , и 0. Тогда функция 1 интегрируема на , . ,

Д о к а з а т е л ь с т в о основывается на оценке колебания F 1 через колебание F .

6. Пусть функции , # интегрируемы на , и # на, . Тогда

+ # +

До к а з а т е л ь с т в о. Достаточно воспользоваться предельным переходом при 6 0 в неравенстве для интегральных сумм Римана:

До к а з а т е л ь с т в о. Интегрируемость следует из оценки

,

откуда F F и

Оценка (2) получается предельным переходом из соответствующей оценки для интегральных сумм Римана:

8 (интеграл «не замечает» изменения функции в конечном числе точек). Пусть функция интегрируема на , , функция отличается от лишь значениями в конечном числе точек. Тогда интегрируема на , и

+ +

До к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать, что функция

Теорема 2 (теорема о среднем для интеграла). Пусть функции , # интегрируемы на отрезке , ,

на , ,

и пусть функция # не меняет знака на отрезке , . Тогда

При дополнительном предположении непрерывности функции на отрезке ,

рассмотрим в равенстве (3) три возможных случая: ,, . В первом из них по теореме о промежуточном значении непрерывной функции , : , и из (3) следует (4).

Случаи и рассматриваются одинаково. Поэтому рассмотрим лишь случай .