ЛпМА_Бесов

182 Гл. 13. Экстремумы функций многих переменных

является точкой строгого условного минимума функции при

ции <. Таким образом, вопрос о нахождении условного экстрему-

ма сведён к вопросу нахождения (локального) экстремума (который называют иногда абсолютным экстремумом, подчёркивая его отличие от условного экстремума). Однако такой подход малоэффективен в связи с трудностями получения в явном виде функций 1, ..., и построения суперпозиции.

Отметим эквивалентность (3) 3 систем линейных уравнений относительно дифференциалов, где

с коэффициентами, взятыми в точке 0 . В самом деле, при любых фиксированных + 1, ... , + решение системы уравнений (3) единственно, так как её определитель отличен от

нуля; решение 3 также, очевидно, единственно. В то же время решение 3 удовлетворяет (3), так как результат подстановки решения 3 в (3) совпадает с системой продифференцированных тождеств (2).

Через + 1, ... , + будем обозначать дифференциалы, удовлетворяющие системам уравнений (3), 3 .

1

При этом числа ) определяются однозначно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1Æ 2Æ.

что и требовалось доказать.

Отметим, что при доказательстве была использована инвариантность формы первого дифференциала.

2Æ 3Æ. Рассмотрим систему из 1 уравнений

184 Гл. 13. Экстремумы функций многих переменных

Эти и следующие соотношения написаны для значений произ-

Теорема 2 (необходимое условие условного экстремума).

Точка 0 условного экстремума функции при (1) является стационарной точкой функции Лагранжа E.

Введение и использование функции Лагранжа для формулировки необходимых и достаточных условий условного экстремума называется методом множителей Лагранжа.

Достаточные условия условного экстремума. Дополнительно будем считать, что функции , 1, ... , дважды непре-

рывно дифференцируемы на некоторой окрестности точки 0 , где 0 — условно стационарная точка при (1), т. е. стационарная точка функции Лагранжа из . Пусть Æ 0 достаточно

Достаточные условия условного экстремума функции при (1), являясь достаточными условиями локального экстремума функции <, формулируются в терминах свойств квадратичной формы +2<. Как видно из последней цепочки равенств, эти условия можно переформулировать в терминах квадратичной формы

дифференцируемы на некоторой окрестности стационарной точки

ке 0 нет условного экстремума функции при (1).

План исследования функции на условный экстремум методом множителей Лагранжа. Пусть функции , 1, 2, ... ,

(1 ) непрерывно дифференцируемы на открытом мно-

1

2Æ Находят стационарные точки функции Лагранжа, лежащие на (только эти точки могут являться точками условного экстремума), т. е. решают систему уравнений

186 Гл. 13. Экстремумы функций многих переменных

относительно неизвестных 1, 2, ..., , )1, )2, ..., ) . В каждой стационарной точке множители Лагранжа находятся

непрерывно дифференцируемы, составляют +2E и, если потребу-

ется, +2E. Применяют теорему 2 для выяснения типа условного экстремума.

4Æ Находят значения функции в точках условного экстремума.

Пример 2. Найдём точки условного экстремума функции

Для функции Лагранжа

E , , . . )1 2 2 .2 1 )2 .

найдём стационарные точки, удовлетворяющие уравнениям связи, решив систему уравнений

22 .2 1 0,

. 0 %

Сложив первые три уравнения, в силу последнего получим

Но 2 . . . 2 2 2 .2 0 1, и из

(6) получаем )2 16 .

Разность первых двух уравнений (5) представляется в виде. 2)1 0. Аналогично получаем ещё два уравнения:

. 2)1 0, . 2)1 0

Из этих трёх уравнений следует (в силу последних двух уравнений из (5)), что

является неопределённой квадратичной формой, т. е. принимает

Г л а в а 14

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 14.1. Понятие определённого интеграла

Определение 1. Разбиением 6 отрезка , называется

мелкостью разбиения 6.

Будем говорить, что разбиение 6 следует за разбиением 6, или является измельчением разбиения 6, и писать 6 " 6, если каждая точка разбиения 6 является точкой разбиения 6 .

Разбиения данного отрезка обладают следующими свойствами:

1Æ если 61 " 62, 62 " 63, то 61 " 63; 2Æ для любых 61, 62 существует 6: 6 " 61, 6 " 62.

Первое свойство очевидно. Для доказательства второго достаточно в качестве 6 взять разбиение, содержащее все точки разбиения 61 и все точки разбие-

ния 62.

Пусть теперь на отрезке , определена (числовая) функ-

называемую интегральной суммой Римана функции .

Если функция неотрицательна, то слагаемое суммы Римана равно площади прямоугольника с основанием1, и высотой , а вся сумма — площади ступенчатой фигуры, образованной объединением всех таких прямоугольников (рис. 1).

Определение 2. Определённым интегралом Римана функции на отрезке , называется число , обладающее свойством: для любого 0 существует Æ Æ 0 такое, что

для любых 6 с мелкостью 6 Æ и для любого набора отмечен-

в , Æ -терминах в определении 2 (это понятие отличается от изученных понятий предела последовательности и предела функции).

Поскольку ниже мы будем иметь дело лишь с определённым интегралом Римана, то будем называть его просто определённым интегралом, а функцию, интегрируемую по Риману, — интегрируемой функцией.

В следующей теореме показывается, что определённый интеграл может существовать только для ограниченных функций.

Теорема 1. Если функция интегрируема на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция неограничена на отрезке , . Покажем, что она не интегрируема на , . Для произвольного разбиения 6 отрезка представим сумму Римана функции в виде

8 8 ; 1, ... , , (1)

1

где 1, — такой отрезок разбиения 6, на котором неограничена. Сначала каким-либо образом выберем все отмеченные точки , кроме одной из них с номером . Тогда правую часть (1) можно сделать сколь угодно большой по модулю за счёт выбора . Следовательно, при любом разбиении 6 интегральная сумма Римана 8 может быть сколь угодно большой по модулю

(например, 8 1 6 ) при соответствующем выборе отмеченных точек. Это противоречит существованию (конечного)

предела 8 . Значит, функция не интегрируема на , .

0

Условие ограниченности функции, являясь необходимым, не является достаточным для интегрируемости функции, в чём можно убедиться на примере функции Дирихле:

Для этой функции при произвольном разбиении 6 сумма Римана 8 1, если все отмеченные точки рациональны, и 8 0, если все отмеченные точки иррациональны.

Следовательно, функция Дирихле не является интегрируемой на 0, 1 .

§ 14.2. Критерий интегрируемости функции

вкладывая в понятие предела тот смысл, который выражен

в, Æ -терминах в (1).

До к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть функция

интегрируема на , , и пусть + . Тогда