ЛпМА_Бесов

172 Гл. 12. Неявные функции

Д о к а з а т е л ь с т в о аналогично случаю 1, 3, с которым мы сталкивались при изучении вектор-функций.

Определение 3. Отображение (1) называется непрерывным на множестве C, если оно непрерывно в каждой точке множества C.

Теорема 1. Отображение (1) открытого множества C непрерывно на C тогда и только тогда, когда прообраз всякого открытого множества является открытым множеством.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть отображение непрерывно

на C, и пусть открытое множество . Покажем, что множество 1 открыто. Пусть 0 1 , т. е. 0 .

Множество является окрестностью точки 0 . Следова-

тельно, по определению 2 существует окрестность 0 C:0 . Последнее означает, что 0 1 .

Мы получили, что каждая точка 0 1 принадлежит1 вместе с некоторой своей окрестностью, т. е. что множество 1 открыто.

Пусть теперь дано, что прообраз каждого открытого множества при отображении открыт. Покажем, что непрерывно на C. Пусть 0 C, и пусть 0 — произвольная окрестность точки 0 . Тогда 1 — открытое множество,

если все его координатные функции (3) непрерывно дифферен-

статочным условием взаимной однозначности отображения (см. теорему об обратной функции на интервале). Например, в одномерном случае отображение 2 интервала C 1, 1

спроизводной 0 0 не является взаимно однозначным.

Вмногомерном случае ( 2) отличие якобиана отображения от нуля не гарантирует взаимной однозначности отображения, как показывает при 2

174 Гл. 12. Неявные функции

Имеем

Следовательно,

0 C ,

так что 0 — внутренняя точка C . Поскольку в качестве 0 можно взять любую точку из C , то множество C открыто. Теорема 2 доказана.

Продолжим доказательство теоремы 3. Покажем, что якобиан

отображения # отличен от нуля на 0 .

Из (4) имеем, что # при 0 , или в координатной записи

#1 , ... , # , 1, ... , , 0 Дифференцируя эти тождества по переменному , получаем

Отсюда и из теоремы об определителе произведения двух матриц следует, что

что отображение осуществляет взаимно однозначное отобра- жение 0 0 .

Пример 2. При 1 пример отображения 2: 1, 10, 1 показывает, что в теореме 2 условие отличия якобиана

от нуля нельзя отбросить.

Теорема 4 (принцип сохранения области). Образ области

C при непрерывно дифференцируемом отображении : C с отличным от нуля якобианом является областью.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть область C и : C

— отображение, удовлетворяющее условиям теоремы. По теореме 2 множество C открыто. Покажем, что C связно и, следовательно, является областью.

Пусть 1 , 2 — две произвольные точки из C . Пусть

Г л а в а 13

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

В этой главе изучаются числовые функции многих переменных, определённые на некоторой окрестности некоторой точки пространства .

§ 13.1. Локальный экстремум

Определение 1. Пусть функция определена на некоторой

окрестности точки 0 . Точка 0 называется точкой

(локального) минимума функции , если

Аналогично определяются точки (локального) максимума

и строгого (локального) максимума функции .

Точки минимума и точки максимума функции называются её

точками (локального) экстремума.

Аналогично определяются точки строгого экстремума функции.

Если 0 является точкой экстремума (строгого экстремума, минимума и т. п.) функции , то говорят также, что в точке 0 функция достигает экстремума (строгого экстремума, минимума и т. п.)

Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Пусть функ-

в стационарной точке можно сформулировать в терминах вторых производных.

Напомним в связи с этим некоторые сведения из алгебры. Квадратичная форма

, 1

( при , @ 1, ..., ) называется:

а) положительно определённой, если 0 ,

б) отрицательно определённой, если 0 , в) определённой, если она положительно определённа или

отрицательно определённа, г) неопределённой, если она принимает как положительные,

так и отрицательные значения.

Лемма 1. Пусть квадратичная форма вида (1) положительно определённа. Тогда при некотором 0

178 Гл. 13. Экстремумы функций многих переменных

Для нас будут важны свойства второго дифференциала функ-

переменных + 1, ..., + .

Теорема 3 (достаточные условия строгого экстремума и отсутствия экстремума). Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема на некоторой окрестности стационарной точки

0 .

Пусть второй дифференциал +2 0 функции в точке 0 является положительно определённой (отрицательно определён-

делённой формой. Тогда из последнего равенства в силу леммы 1

в формуле (3) является отрицательно определённой квадратичной формой, то 0 — точка строгого максимума функции .

Пусть теперь квадратичная форма +2 0 из (3) является неопределённой квадратичной формой. Это значит, что су-

при всех ", достаточно малых по модулю.

Если же взять " , то аналогично получаем, что

Следствие (необходимые условия экстремума). Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема на некоторой

ной (т. е. +2 0 0 либо +2 0 0), но не является определённой, то для изучения вопроса об экстремуме функции в точке 0 можно использовать разложение по формуле Тейлора более высокого порядка, как это делалось в случае функции одного переменного.

Для выяснения, является или нет данная квадратичная форма положительно (отрицательно) определённой, часто используется Критерий Сильвестра (положительной определённости квадратичной формы). Квадратичная форма (1) положительно

определённа тогда и только тогда, когда

но определённа тогда и только тогда, когда квадратичная форма

180 Гл. 13. Экстремумы функций многих переменных

положительно определённа. Следовательно, критерием отрицательной определённости формы (1) является условие

1 0 1, ... ,

Сформулируем отдельно случай теоремы 3, относящийся к функции двух переменных.

Теорема 4. Пусть функция двух переменных дважды непрерывно дифференцируема на некоторой окрестности стацио-

0) и вынося + 2 (или +2) за скобки, получаем в скобках квадратный трёхчлен относительно " с положительным дискриминантом. Поэтому значение этого трёхчлена при различных " может быть как положительным, так и отрицательным. Следовательно, квадратичная форма (5) является неопределённой.

принимает различные по знаку значения при " 1 и при "1. Так что и в этом случае квадратичная форма (5) является неопределённой.

В силу теоремы 3 получаем, что в точке 0, 0 нет экстремума функции .

в) Достаточно рассмотреть в окрестности точки 0, 00, 0 две функции:

, 4 4, # , 4 4

Все частные производные первого и второго порядков этих функций в точке 0, 0 равны нулю, однако в этой точке функция имеет строгий минимум, а функция # не имеет экстремума.

Упражнение 1. Доказать утверждение а) теоремы 4 методом, применённым для доказательства утверждения б).

§ 13.2. Условный локальный экстремум

будем называть уравнениями связи (связями).

Определение 1. Точка 0 называется точкой условного минимума (строгого условного минимума) функции при связях (1), если

Замечание 1. Вместо термина «условный» употребляется также термин «относительный». Ради краткости вместо «при связях (1)» будем писать «при (1)».