ЛпМА_Бесов
.pdfГ л а в а 12
НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 12.1. Неявные функции, определяемые одним уравнением
Пусть , . Под прямым (или декартовым)
произведением множеств и понимают множество пар точек
, :
|
, , |
||||||||||
Кубической -окрестностью точки |
0 называют мно- |
||||||||||
жество |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
0 |
|
0 |
, |
1, ... , |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
При 1 имеем & 0 |
0 . |
|
|
0 , 0 |
|||||||
Прямоугольной Æ, -окрестностью |
точки |
||||||||||
, где |
0 , 0 , назовём множество |
||||||||||
|
|
&Æ 0 , |
0 & 0 & 0 |
|
|||||||
|
|
, |
|
|
|
Æ |
|
|
|
|
|
В основной части |
этого |
параграфа |
мы будем |
иметь дело |
|||||||
с точками |
, плоскости, на которой зафиксирована декартова |
||||||||||
прямоугольная система координат. |
|
|
|
|
|
||||||
Рассмотрим уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
/ |
, 0, |
|
|
(1) |
|||
где / — функция двух переменных |
|
, , которые можно считать |
|||||||||
координатами точки плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Определение 1. Функция |
: |
|
, |
, называется |
|||||||
неявной (или неявно заданной) функцией, определяемой уравнением (1), если
/ , 0
Если же на некотором множестве 2 уравнения (1) иэквивалентны:
/ , 0
(т. е. их множества решений, принадлежащих , совпадают), то говорят, что уравнение (1) разрешимо на относительно переменного .
§ 12.1. Неявные функции, определяемые одним уравнением |
163 |
Пример 1. Пусть задано уравнение |
|
2 2 1 0, |
(2) |
которое определяет на отрезке 1, 1 две непрерывные функции:
1 1 2 , 2 1 2
Будем рассматривать это же уравнение (2) не на всей плоскости, а только на некоторой прямоугольной окрестности
&Æ, 0, 0 точки |
0, 0 , координаты которой удовлетворяют |
|||||||||
уравнению (2): |
2 |
2 |
1 0 (рис. 1). |
|
|
|
||||
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
y = f1(x) |
|
y0 |
|
|
|
Qδ,ε(x0,y0) |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
x0 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
y = f2(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1 |
|
|
|
||
Пусть сначала |
0 0, 0 0. Тогда существуют столь малые |
|||||||||
Æ 0, 0, что на &Æ, |
0, 0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 2 1 0 |
1 |
|||||||
Множество |
решений |
уравнения |
(2), принадлежащих |
|||||||
&Æ, 0, 0 , представляет собой часть графика функции 1, лежащую в &Æ, 0, 0 . Эта часть графика совпадает с графиком
сужения функции 1 на &Æ |
0 |
(если Æ 0 достаточно |
мал´о сравнительно с ) или с графиком сужения 1 на |
||
некоторый интервал , &Æ |
0 |
(если 0 слишком мал´о |
сравнительно с Æ). |
|
|
Если же в качестве 0, 0 взять точку 0, 0 1, 0 , то ни на какой её окрестности &Æ, 1, 0 уравнение (2) не является разрешимым относительно переменного (множество решений уравнения (2) из &Æ, 1, 0 не является графиком никакой функции ).
6*
164 |
Гл. 12. Неявные функции |
В следующей теореме приводятся достаточные условия, налагаемые на функцию /, при которых уравнение (1) разрешимо относительно переменного на некоторой прямоугольной окрестности &Æ, 0, 0 .
Теорема 1. Пусть функция / двух переменных |
и удо- |
|||||||||
влетворяет следующим условиям: |
|
|
|
|
|
|||||
1Æ / непрерывна на некоторой окрестности |
|
|
0, 0 точки |
|||||||
0, 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Æ / 0, 0 0; |
|
|
|
, |
. |
|||||
3Æ |
/ |
0 |
, |
0, / непрерывна в точке |
0 |
|||||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
||
Тогда |
существует прямоугольная |
окрестность |
&Æ, 0, 0 |
|||||||
&Æ |
0 & 0 точки |
0, 0 такая, что на ней |
|
|
||||||
|
|
|
|
/ , 0 |
, |
|
|
|
||
где функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
&Æ 0 |
& 0 |
|
|
|
|
|
непрерывна на &Æ 0 , 0 0. Если дополнительно считать, что
4Æ / дифференцируема в точке 0, 0 , то дифференцируема в точке 0 и
2 0, 0
0 2 0, 0
Если же при этом частные производные / , / |
|
непрерывны на |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
0, 0 , то производная |
|
2 |
|
|
|
непрерывна на |
||||||||
2 , |
|
|||||||||||||
&Æ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о. На самом деле утверждения теоремы |
||||||||||||||
верны, если её условие 3Æ заменить более общим: |
|
|
|
|||||||||||
3ÆÆ / существует и сохраняет знак на |
0 |
, |
0 |
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Мы будем проводить доказательство при условии 3ÆÆ вме- |
||||||||||||||
сто 3Æ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть G, 0 настолько малы, что в замыкании прямо- |
||||||||||||||
угольной окрестности &$, |
0 |
, |
|
0 |
функция / непрерывна, а / |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
сохраняет знак. Ради определённости будем считать, что / 0 |
||||||||||||||
на &$, 0, 0 |
. Поэтому при каждом фиксированном |
|
||||||||||||
&$ 0 |
||||||||||||||
функция / |
, , рассматриваемая как функция переменного , |
|||||||||||||
строго возрастает на отрезке 0 , 0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Отсюда следует (поскольку / 0, 0 0), что |
|
|
|
|||||||||||
/ 0, 0 0, |
|
|
/ 0, 0 0 |
|
|
|||||||||
|
§ 12.1. Неявные функции, определяемые одним уравнением |
165 |
|
|
Функции / , 0 , / , 0 как функции переменно- |
||
го |
непрерывны на &$ |
0 (и, следовательно, обладают свой- |
|
ством сохранения знака), так что найдётся Æ 0, G такое, что |
|||
|
/ , 0 0, |
/ , 0 0 &Æ 0 |
|
|
Зафиксируем произвольное значение &Æ 0 . Поскольку |
||
/ |
, 0 0, / , 0 0, то по теореме Коши о про- |
||
межуточном значении непрерывной функции / , найдётся
0 , 0 , при котором / , 0. Такое значениеединственно в силу строгой монотонности функции / , .
Рис. 2 |
Обозначим . Таким образом, построена (рис. 2) функ- ция : &Æ 0 & 0 такая, что 0 0,
/ , 0 на &Æ, 0, 0
Из последнего соотношения получаем, что
/ , 0 при &Æ 0
Установим непрерывность функции на &Æ 0 . Непрерывность в точке 0 следует из того, что в приведённых построениях число 0 можно считать сколь угодно малым, причём для каждого достаточно малого 0 было указано Æ Æ 0
такое, что &Æ 0 & 0 & 0 .
Пусть теперь — произвольная точка из &Æ 0 , . Очевидно, что если условия теоремы 1 с заменой 3Æ на 3ÆÆ выполняются, то они выполняются и после замены в них 0, 0 на , . Следовательно, по уже доказанному, непрерывна в точке .
166 Гл. 12. Неявные функции
Предположим теперь, что выполняется условие 4Æ. В силу дифференцируемости функции / и замечания 11.1.1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 0 |
|
|
||||
/ 0 , 0 / 0, 0 / 0 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 , , |
(3) |
||||||
|
/ 0, 0 1 , |
|||||||||||||||||||||
где , 0 при , |
|
|
0, 0 , 1, 2. Здесь будем |
|||||||||||||||||||
считать |
|
достаточно малым, 0 0 |
||||||||||||||||||||
0 |
, так что |
0 0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Тогда из (3) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 / 0, 0 / 0, 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , 2 , |
||||||||||||||
Так как , а значит, и достаточно малы, имеем |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 0, 0 1 |
|
|
|
|
2 0, 0 |
* |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 0, 0 2 |
, 2 0, 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
при |
0. |
Следовательно, функция |
дифференцируема |
в |
||||||||||||||||||
точке 0 и |
|
|
|
|
|
, 0 |
|
|
|
|
|
, 0 |
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
2 0 |
|
|
2 0 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
, 0 |
|
|
|
|
, 0 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 0 |
|
|
2 0 |
|
|
|
|||||||||
Если функция / дифференцируема не только в точке 0 |
, 0 |
, |
||||||||||||||||||||
но и на окрестности &Æ, 0, 0 , то последняя формула верна |
||||||||||||||||||||||
для любого |
&Æ 0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
&Æ 0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 , |
|
|
|
||||||||||||||
Из этой формулы вытекает последнее утверждение теоремы. Замечание 1. В формулировке утверждения теоремы 1 мож-
но отказаться от требования
&Æ 0 & 0
Тогда, уменьшив при необходимости или Æ, можно взять Æ. При этом сохранятся свойство эквивалентности
/ , 0
на &Æ 0, 0 &Æ 0 &Æ 0 2 , тождество / , 0 |
|
при |
&Æ 0 и дополнительное утверждение теоремы 1. |
Изменённая таким образом теорема 1 равносильна, очевидно, исходной теореме 1.
Обобщим теорему 1 на случай неявной функции, заданной уравнением / 1, ... , , 0. Это понятие вводится так же, как в случае 1.
§ 12.2. Система неявных функций |
167 |
Далее будем пользоваться обозначениями:
|
|
|
|
1, ... , , |
|
0 0 |
, ... , |
0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
, |
|
|
|
||||||||
|
, 1, ... , , , |
0 , 0 10 , ... , 0 , 0 , |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
/ , / 1, ... , , |
|
|
|
|
|||||||||
|
Теорема 2. Пусть функция / переменных |
и , где |
, |
||||||||||||||||
1, ... , |
, , удовлетворяет следующим условиям: |
|
|
||||||||||||||||
|
1Æ |
/ непрерывна на некоторой окрестности 0 , 0 точки |
|||||||||||||||||
0 , 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2Æ / 0 , 0 0; |
|
непрерывна в точке |
0 , |
|
|
|
||||||||||||
|
3Æ |
/ |
0 , |
0 |
0, / |
0 |
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда |
существует кубическая |
окрестность &Æ 0 , 0 |
точки |
||||||||||||||||
|
0 , 0 такая, что на ней |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
/ , 0 |
|
, |
|
|
|
|
||||||||
где функция |
|
|
&Æ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
непрерывна на &Æ 0 , |
0 0, / , |
0 при |
|||||||||||||||||
|
& |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЕслиÆ |
дополнительно считать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
4Æ |
/ дифференцируема в точке |
0 , 0 , |
|
|
|
|
||||||||||||
то дифференцируема в точке |
0 и при 1, ... , |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 , 0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 0 , 0 |
|
|
|
|
|||||||
Если же при этом все частные производные первого порядка
функции / непрерывны на |
0 , 0 , то при 1, ... , произ- |
||||||
водные |
0 |
|
|
2 |
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
2 , |
||||
непрерывны на &Æ |
0 . |
|
|
|
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о аналогично доказательству теоремы 1.
§ 12.2. Система неявных функций
Теоремы из § 12.1 дают достаточные условия разрешимости уравнения / , 0 относительно переменного . Рассмотрим более общую задачу — о возможности разрешить систему уравнений относительно переменных.
168 Гл. 12. Неявные функции
Для системы функций 0 " |
|
переменного " " |
, ... |
||||
... , " определитель |
1 |
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
%1 ... |
%1 |
|
|||
0 /1, ... , / |
%1 |
|
|
% |
|
|
|
0 !1, ... , ! " |
... ... ... |
|
|
||||
% |
|
|
% |
|
|||
|
|
... |
|
||||
называется её якобианом. |
%1 |
|
|
% |
|
|
|
Будем использовать обозначения: |
|
1, ... , |
, 1, ... |
||||
... , , , |
1, ... , 1 , |
, |
1, ... , , 1, ... |
||||
... , , |
, 1, ... , , , / |
, / 1, ... |
|||||
... , , 1, ... , . |
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 1. Пусть: |
|
|
|
|
|
|
|
1Æ функции / , / |
1, ... , |
, 1, ... , (@ 1, ... |
|||||
... , ) непрерывно дифференцируемы на некоторой окрестности
0 , 0 точки 0 , 0 ; |
|
|
2Æ |
/ 0 , 0 0 (@ 1, ... , ); |
|
3Æ |
B 0 21, ... , 2 |
0. |
|
0 1, ... , 0 , 0 |
|
Тогда существует кубическая окрестность & 0 , 0 , на кото-
рой |
|
|
|
|
|
|
|
/ |
, 0 |
|
|
, |
|
||
|
|
1 |
1 |
|
|
||
где 1, ... , : & |
0 , функции непрерывно диффе- |
||||||
ренцируемы на & |
0 , |
0 0 (@ 1, ... , ). При этом |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
/ , 1 , ... , |
0 |
& |
0 @ 1, ... , |
(1) |
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о |
|
проведём индукцией по |
числу |
|
|||
уравнений системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
, 0 |
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
При 1 теорема верна |
в силу |
теоремы 12.1.2 |
и замеча- |
||||
ния 12.1.1. Предположим, что теорема справедлива для 1 уравнений, и покажем, что она верна и для случая уравнений.
Разложив определитель B по элементам последнего столбца, видим, что по крайней мере для одного элемента этого столбца алгебраическое дополнение отлично от нуля. Ради определённости будем считать, что
B 1 0 21, ... , 2 1 0 0 1, ... , 1 0 , 0
§ 12.2. Система неявных функций |
169 |
В силу предположения индукции систему первых 1 уравнений системы (2) можно разрешить относительно 1, ..., 1. Говоря точнее (см. теорему 12.1.2 и замечание 12.1.1), существуют число 3 0 и непрерывно дифференцируемые функции
|
|
0 |
, |
0 |
|
|
, |
0 |
, |
0 0 |
|
||||||||
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
@ 1, ... , 1 |
|
|
|
|
|
|||||||
такие, что (2) (3) (т. е. системы уравнений (2) и |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, 1 |
, |
|
|
(3) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
/ , 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
эквивалентны) на & |
|
0 , 0 |
|
0 , 0 . При этом |
|
||||||||||||||
|
/ , |
1 , , ... , 1 |
|
, , 0 |
(4) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
@ 1, ... , 1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
при , |
& 0 |
|
|
|
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Очевидно, что (3) (5) на & |
|
0 , 0 , где |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, 1 |
, |
|
|
(5) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
< |
, 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
при |
< , / |
, |
1 |
|
, , ... , |
1 |
, , , |
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
< |
0 |
, |
0 / 0 |
, |
0 |
0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Убедимся, что последнее уравнение системы (5) можно разрешить относительно .
В самом деле, функция < непрерывно дифференцируема на
& |
0 , 0 как суперпозиция непрерывно дифференцируемых |
||||||||||||||||||
|
0 , 0 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
функций, < |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
03 |
0 |
|
|
|
|
||||||
Остаётся |
проверить, что |
|
, |
|
0, |
и сослаться |
на |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||
теорему 12.1.2. Осуществим эту проверку. |
|
|
|||||||||||||||||
Заметим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
03 |
02 |
0 1 |
... |
|
02 |
|
0 |
1 02 |
(6) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
0 0 1 0 |
|
|
0 1 |
0 |
0 |
|
|||||||||||
В то же время результатом дифференцирования тождеств (4) |
|||||||||||||||||||
по являются тождества |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
02 |
0 1 |
... |
02 |
0 |
|
1 |
02 |
0 |
(7) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
0 1 0 |
0 1 |
|
0 |
|
0 |
|
|||||||||||
@ 1, ... , 1
170 Гл. 12. Неявные функции
Но тогда
B |
0 21, ... , 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1, ... , 0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%"1 |
... |
|
%"1 |
|
%"1 |
|
%"1 |
... |
|
%"1 |
|
0 |
|
|
|
|
%1 |
% 1 |
|
% |
|
%1 |
% 1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
||||||||
|
... ... ... |
|
... |
|
... ... ... |
|
|
|
||||||||
|
%" 1 |
... |
%" 1 %" 1 |
|
%" 1 |
... |
%" 1 |
0 |
|
0 |
||||||
|
%1 |
% 1 |
|
% |
|
%1 |
% 1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
%" |
... |
%" |
|
%" |
|
%" |
... |
%" |
|
%& |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
%1 |
|
% 1 |
|
% |
|
%1 |
|
% 1 |
|
% |
|
||||
При этом последнее равенство получено прибавлением к по-
следнему столбцу всех предшествующих столбцов, умноженных
на 0 (@ 1, ... , 1) соответственно, и использованием
0
равенств (6), (7).
Из последнего неравенства следует, что
03 0 , 0 0
0
Разрешив последнее уравнение системы (5) относительно в соответствии с теоремой 12.1.2, получаем, что на некоторой
кубической окрестности & |
|
0 , 0 |
|
0 , 0 |
|
||||
< , 0 |
|
|
& |
|
|
||||
|
, |
|
|||||||
где функция : & 0 |
|
|
непрерывно дифференцируема, |
||||||
0 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< , |
0 |
при |
& |
0 |
(8) |
||||
Тогда (5) (9) (10) на & |
0 , 0 , где |
|
|||||||
|
|
|
|
|
, 1, |
|
(9) |
||
|
|
|
|
1 |
|
||||
|
; |
|
|
|
|||||
|
|
|
1, |
|
(10) |
||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
1, ... , |
1 |
(11) |
||
Следовательно, (2) (10) на & |
0 , 0 . При этом функ- |
||||||||
ции : & 0 |
непрерывно дифференцируемы и |
0 |
|||||||
0 (@ 1, ... , ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тождества (1) следуют из (4), (11) и (8). |
|
|
|||||||
Теорема доказана.
§ 12.3. Дифференцируемые отображения |
171 |
Замечание 1. Дифференцируя тождества (1) по |
, получаем |
||||||||||
систему линейных алгебраических уравнений |
|
||||||||||
02 02 |
|
0 |
0, |
@ 1, ... , , |
|||||||
|
|
||||||||||
0 |
1 0 0 |
|
|
|
|
||||||
относительно |
0 |
с отличным от нуля определителем, из кото- |
|||||||||
0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
рой можно найти |
0 1 |
, ..., 0 . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
||||
§ 12.3. Дифференцируемые отображения |
|||||||||||
Определение 1. Функция |
|
|
|
|
|||||||
|
|
C |
|
, |
C |
(1) |
|||||
называется отображением множества C в . Представляя |
|||||||||||
через координаты: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
, ... , , |
C, |
(2) |
||||||
видим, что задание отображения равносильно заданию на C |
|||||||||||
числовых функций |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 , ... , |
C |
, |
(3) |
||||||
называемых координатными функциями. |
|
|
|||||||||
Множество |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
, |
, C, |
||||||||||
называется образом множества , множество |
C — обла- |
||||||||||
стью значений , а множество |
|
|
|
|
|||||||
1 , |
, |
||||||||||
— прообразом множества .
Определение 2. Отображение (1) называется непрерывным в точке 0 C, если
0 |
0 C 0 |
0 |
||
Замечание 1. Если 0 — внутренняя точка C, то в этом |
||||
определении вместо C |
0 можно писать 0 . |
|
||
Лемма 1. Отображение |
(1) непрерывно |
в точке |
0 C |
|
|
||||
тогда и только тогда, когда в точке 0 непрерывны все координатные функции (3).