Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ЛпМА_Бесов

.pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
28.12.2024
Размер:
3.6 Mб
Скачать

152 Гл. 11. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

функция # от переменных

имеет

непрерывные

в

точке

0 1 0 , ... , 0 частные

производные

 

0

 

(

0

1, ... , ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда сложная функция

# 1 , ... , диффе-

ренцируема в точке 0 и для её частных производных

0 0

справедливы равенства (1).

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

Вкачестве другого следствия из теоремы 1 можно получить свойство инвариантности формы первого дифференциала.

Вусловиях теоремы на основании (1) можно записать

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

+# 1

0 , ... ,

0

 

# 1

0 , ... ,

0 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0

 

 

 

 

 

 

 

0 0 0 0

 

 

 

 

0 0 0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

0 1

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1

0

 

0

 

1

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь

 

 

+

является дифференциалом функции

 

 

 

 

1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Поэтому дифференциал функции # # 1, ... , ,

где ( 1, ... , ), в точке 0 можно записать в виде

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+# 0

 

 

+ ,

 

 

(3)

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где + — дифференциалы функций. Мы видим, что дифференциал +# имеет ту же форму, что и в случае, когда 1, ...,— независимые переменные и, следовательно, + 1, ..., +

— дифференциалы независимых переменных. В этом и состоит свойство инвариантности формы первого дифференциала.

Приведём пример его применения. Формулы

+ 0 = +0 +=, + 0= = +0 0 +=,

/

1 / / 1

+ 1

2

 

1

для независимых переменных 0, = следуют из выражения дифференциала функции через частные производные и дифференциалы независимых переменных. Эти формулы верны и в случае, когда 0, = являются функциями 0 0 , = = переменного1, ... , в силу инвариантности формы первого диффе-

ренциала.

§ 11.4. Производная по направлению и градиент

153

Свойство инвариантности формы первого дифференциала можно использовать при нахождении дифференциалов и производных сложных функций, сначала записывая дифференциал в виде (3), а затем выражая + через дифференциалы независимых переменных.

§ 11.4. Производная по направлению и градиент

Пусть функция определена на некоторой окрестности точки

0 .

Пусть 1, ... , — единичный вектор, т. е.1. Его координаты называют направляющими косинусами

 

 

 

 

 

 

 

 

вектора ; 2 1.

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

Из точки

0

проведём луч с направлением :

 

1, ... ,

 

0

 

 

 

1

" 1, ... ,

0 " , " 0,

 

 

 

или

 

0 ",

" 0

 

Определение 1. Производной функции в точке 0 по

направлению называется число

 

 

 

0

 

0

 

0 ! 0

,

 

0

 

 

0 0

!

 

если этот предел существует и конечен.

Если функция дифференцируема в точке 0 , то по правилу дифференцирования сложной функции

 

 

 

0

0

0 0

 

0

1 0

 

 

 

 

 

Если 3, то , , : , где , , : — углы между направлением вектора и положительными направления-

ми осей ' , ', '. соответственно.

 

 

 

 

Для дифференцируемой в точке

0, 0, .0

функции трёх

переменных , , .

 

 

 

 

0

0, 0, .0 0

0, 0, .0

 

 

 

0

0

0 0, 0, .0

0

 

 

 

0, 0, .0 :

 

 

0

 

0

 

154 Гл. 11. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Введём в рассмотрение вектор

" 0, 0, .0

0 0, 0

, .0 , 0 0, 0, .0 , 0 0, 0, .0 ,

0

0

0

 

который называется градиентом функции в точке 0

, 0, .0 .

Тогда, используя символ

скалярного

произведения,

можно

написать 0 " , , т. е. производная функции по на-

правлению0

вектора совпадает с проекцией "

на это на-

правление.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из свойств

скалярного произведения следует, что в точке

0, 0, .0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

2

0 2

 

0 2

 

 

 

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

0

 

0

 

Если вектор " ненулевой, то существует единственное

направление ,

производная

по

которому

0

" . Это

направление

 

.

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда

 

 

 

 

 

 

смысл градиента: гради-

 

вытекает геометрический

ент — это вектор, по направлению которого производная имеет максимальное значение.

На этом основании условно можно сказать, что направление градиента — это направление быстрейшего роста функции.

§ 11.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков

Если на некоторой окрестности точки 0 функция

имеет частную производную

0

, то в точке 0

у этой про-

 

 

0

 

0

 

0

 

изводной может существовать частная производная

 

 

.

 

 

 

 

 

 

0

 

0

Если , то эту производную называют смешанной част-

ной производной второго порядка функции по переменным

 

 

 

 

2

 

0

 

 

0

 

и и обозначают символом

0

 

 

 

или

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

 

 

 

 

 

а если , то эту производную называют (чистой) частной

производной второго порядка функции

по

переменному

 

и обозначают символом

0

2

 

0 или

 

 

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 11.5. Частные производные высших порядков

155

Аналогично вводятся частные производные третьего, четвёр-

того и вообще любого порядка, смешанные и чистые.

0 ,

Частная производная порядка функции в точке

вычисленная последовательным дифференцированием по

1 , ...

 

 

 

 

 

0

 

..., , обозначается символом

0

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 ... 0 1

 

Если в данной точке 0 существуют смешанные производ-

ные

2

 

 

 

 

02

 

 

 

 

 

 

 

и

 

0

 

,

 

 

0102

0201

 

 

 

 

 

 

то они не обязательно равны, в чём можно убедиться на примере

функции двух переменных

,

 

 

 

3

 

при

, 0, 0 ,

, 2 2

 

 

 

 

 

при

, 0, 0 ,

0

 

 

который мы предлагаем разобрать читателю.

Однако часто бывает, что смешанные производные, отличающиеся лишь порядком взятия частных производных, совпадают. В следующей теореме приводятся достаточные условия независимости смешанной производной от порядка дифференцирования.

Теорема 1. Пусть у функции двух переменных

, част-

 

2

 

 

2

 

 

 

 

ные производные

0

 

и

 

0

непрерывны в точке

0, 0 .

0 0

0 0

Тогда

 

 

 

 

 

 

02

 

 

 

 

 

02

 

 

 

 

 

0, 0

0, 0

(1)

 

0 0

0 0

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим символами , приращения функции в точке 0, 0 , вызванные приращением соответственно аргумента и аргумента при достаточно малых , . Легко убедиться, что

0, 0 0, 0

(каждая из частей равенства совпадает с 0, 0 0, 00 , 0 0 , 0 ). Из условий тео-

ремы следует

существование частных производных

0 ,

0

на некоторой

окрестности точки 0, 0 . Применяя

0

0

формулу

156 Гл. 11. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

конечных приращений Лагранжа к левой части равенства по

аргументу

, а к правой — по , имеем

 

 

0

0

21 , 0

0

0, 0 22

 

0

 

 

0

 

Применяя к обеим частям последнего равенства ту же формулу

Лагранжа по аргументам и

соответственно, получим

 

02

0 21 , 0 23

0 0

 

 

 

 

 

 

02

0 24 , 0 22 ,

 

 

0 0

 

 

 

 

где 0 2 1 ( 1, 2, 3, 4).

Сократим последнее равенство на . Считая в полученном равенстве , сколь угодно малыми и учитывая непрерывность смешанных производных в точке 0, 0 , приходим к (1).

С помощью теоремы 1 можно доказать её обобщение, относящееся к функциям переменных и к смешанным производным любого порядка 2.

Теорема 2. Пусть у функции переменных в точке 0непрерывны все смешанные частные производные порядка2, а в некоторой окрестности точки 0 непрерывны все производные порядков ниже .

Тогда смешанные производные порядка в этой точке, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, совпадают.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция удовлетворяет условиям теоремы. Достаточно показать совпадение в точке

 

0

двух

смешанных частных

производных:

 

 

производной

 

 

0

и производной, отличающейся от неё лишь порядком

 

0 ... 0 1

дифференцирования на 1 -м и -м шагах при некотором

и единственном (2 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если , то указанные две производные совпадают в точ-

 

 

0 в силу теоремы 1, применённой к функции

 

 

2

ке

 

 

0

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 2

... 0 1

 

Если , то достаточно убедиться в совпадении смешан-

ных производных второго порядка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

02

 

2

 

 

0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

и

0

,

где #

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

0 1 0

0 2

... 0

1

 

 

 

 

0 0 1

 

 

 

 

 

§ 11.5. Частные производные высших порядков

157

в окрестности точки 0 , что следует из теоремы 1, применённой

кфункции #.

Вкачестве пояснения напишем цепочку равенств для случая

 

 

 

3

 

3, 3. Пусть мы хотим сравнить

0

и

 

 

03

 

0 0 0

 

 

. Тогда

 

0 0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что в дальнейшем мы почти всегда будем рассматривать ситуации, в которых смешанные производные непрерывны и, следовательно, не зависят от порядка дифференцирования.

Определение 1. Функция называется раз непрерывно дифференцируемой в точке (на множестве), если все её частные производные порядка непрерывны в точке (на множестве). Заметим, что эта точка (каждая точка этого множества) считается внутренней точкой области определения функции .

C помощью теорем 11.1.3 и 11.1.2 получаем, что раз непрерывно дифференцируемая в точке (на открытом множестве) функция имеет непрерывные в этой точке (на этом открытом множестве) все частные производные порядков не выше .

Введём теперь понятие дифференциалов высших порядков. Пусть функция дифференцируема на открытом множестве C . Её дифференциал, называемый также первым дифференциалом, или дифференциалом первого порядка, имеет вид

 

+

0 + ,

C

 

 

 

1 0

 

 

 

 

 

Будем изучать его как функцию точки

. Если все частные про-

изводные первого порядка функции дифференцируемы на C, то

существует дифференциал Æ +

от первого дифференциала.

При вычислении Æ + дифференциалы +

считаются посто-

янными. Имеем тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

Æ 0 +

 

 

 

 

 

Æ +

 

 

 

 

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

02

 

 

 

02

 

1 1

 

Æ

+ , 1

 

+ Æ

0 0

0 0

Значение дифференциала от первого дифференциала функ-

ции в точке

при Æ + (@ 1, ... , ) называется вторым

158 Гл. 11. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

дифференциалом, или дифференциалом второго порядка функ-

ции в точке

и обозначается +2 . Итак,

 

 

 

 

 

 

 

+2 Æ +

Æ

 

 

 

 

02

+

+

 

 

 

, 1 0 0

 

 

 

 

 

1,...,

 

 

 

 

 

 

Если

все

частные

производные

порядка

1 функ-

ции

 

дифференцируемы

в

 

точке

,

то

дифференци-

ал

порядка

функции

 

 

в

точке

определяется как

+ Æ + 1

Æ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

 

1,...,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

0

 

 

... +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0 1

... 0 + 1

 

 

 

 

1,...,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если функция от переменных раз непрерывно дифференцируема в точке и 1 раз непрерывно дифференцируема на некоторой окрестности точки , то в последней формуле слагаемые, в которых частные производные отличаются лишь порядком дифференцирования, совпадают, и саму формулу можно записать в более компактном виде.

Упорядоченный набор целых неотрицательных чисел

 

1, ... , ,

0

 

1, ... , ,

 

 

 

мультииндексом,

 

 

 

 

 

дли-

называется

а

 

— его

ной. Полагают ещё

1 ... ,

1

+ 1 ...

+ ,

+

 

 

0

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 1

... 0 .

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

В этих обозначениях для функции от переменных, раз

непрерывно дифференцируемой в точке

и 1 раз непре-

рывно дифференцируемой на некоторой окрестности точки

,

 

 

+ +

 

 

В частности, для функции двух переменных

,

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

+ $

 

+

+

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

 

 

 

 

 

§ 11.6. Формула Тейлора

159

Если же при этом 2, то для функции , дважды непре-

рывно дифференцируемой в точке

, ,

 

 

+2

02

 

2 2

02

+ +

02 2

 

 

 

 

 

 

02 +

02 +

0 0

 

в этой точке.

§ 11.6. Формула Тейлора

Пусть 0 , и пусть все частные производные порядка функции непрерывны на Æ 0 .

При этом предположении (согласно сделанным ранее замечаниям) все её частные производные до порядка включительно

непрерывны на Æ 0 .

 

Рассмотрим функцию : 0, 1

,

" 0 " ,

где 0

Функция имеет на отрезке 0, 1 непрерывные производные порядка , что вытекает из теоремы о дифференцируемости сложной функции. Поэтому для справедлива формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

1

 

1

1

 

 

0

1

 

2 , 0 2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 #

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выражая производные функции

 

через частные производные

функции , получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ...

#

1

 

 

 

1

0 1 ... 0

0

 

 

,...,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 , (1)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

0 0 %

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 1 ...

0

1 ...

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,...,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полученная формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

При сделанных предположениях о функции частные производные, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, совпадают. Поэтому формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа можно переписать в следующем виде:

160 Гл. 11. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

0 1 0

1

1 0 2 (2)

Из этой формулы при предположениях, что функция непрерывно дифференцируема раз на Æ 0 и что Æ, следует формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:

 

0 1

 

 

 

0

,

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 2 0

 

 

 

 

 

 

,

0 при

 

Из приведённых рассуждений следует

Теорема 1. Пусть функция непрерывно дифференцируемараз на Æ-окрестности точки 0 . Тогда для функции при Æ справедлива формула Тейлора в каждой из форм

(2), (3).

Для получения разложения конкретных функций по формуле Тейлора без вычисления коэффициентов формулы с помощью дифференцирования используется

Теорема 2 (единственности). Пусть 0 ,

* при ,

* при

Тогда : .

Д о к а з а т е л ь с т в о. После почленного вычитания приходим к требованию доказать, что из равенства

0 * при

следует, что 0 : .

Покажем это. Зафиксируем 1, ... , и при" получаем

§ 11.6. Формула Тейлора

161

 

 

 

 

0

 

" * " при "

0

0

 

 

 

В силу ранее установленной теоремы единственности для случая 1 отсюда следует, что

0 0, ... , ,

Но тогда, обозначив через 1, ... , произвольный мультииндекс длины , имеем

0

 

0

 

 

 

 

 

 

... 0

 

 

0 1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Отсюда следует

 

 

 

 

 

 

0 ,

0, ... , ,

что и требовалось доказать.

Теорема 3. Пусть функция непрерывно дифференцируемараз на некоторой окрестности точки 0 и

0 * при

Тогда это равенство является формулой Тейлора (3) функции с остаточным членом в форме Пеано.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Утверждение теоремы

является

непосредственным следствием теорем 1, 2.

 

 

 

Пример 1. Разложить по формуле Тейлора функцию 2 2

двух переменных

в окрестности точки 0, 0

с точностью

до

* 2 2 2 при

,

0, 0 .

 

 

 

Воспользуемся известным разложением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2 при 0

 

 

 

 

 

1 0 /

0

 

 

 

 

 

 

 

 

2

* 0

 

 

 

Подставив в него 0

2 2, получаем, что 2 2

1

2

2

1

4 2 2

1

 

4 * 2 2 2 . В силу теоремы 3 это

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

разложение и является искомым разложением функции по формуле Тейлора.

6 О.В. Бесов

Соседние файлы в предмете Математический анализ