
ЛпМА_Бесов
.pdf
152 Гл. 11. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
функция # от переменных |
имеет |
непрерывные |
в |
точке |
|||
0 1 0 , ... , 0 частные |
производные |
|
0 |
|
( |
||
0 |
|||||||
1, ... , ). |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
Тогда сложная функция |
# 1 , ... , диффе- |
||||||
ренцируема в точке 0 и для её частных производных |
0 0 |
||||||
справедливы равенства (1). |
|
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
Вкачестве другого следствия из теоремы 1 можно получить свойство инвариантности формы первого дифференциала.
Вусловиях теоремы на основании (1) можно записать
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+# 1 |
0 , ... , |
0 |
|
# 1 |
0 , ... , |
0 + |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 0 0 0 |
|
|
|
|
0 0 0 0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
0 1 |
|
+ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 1 |
0 |
|
0 |
|
1 |
0 |
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
|
|
+ |
является дифференциалом функции |
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
. Поэтому дифференциал функции # # 1, ... , , |
||||||||||||||||
где ( 1, ... , ), в точке 0 можно записать в виде |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
+# 0 |
|
|
+ , |
|
|
(3) |
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где + — дифференциалы функций. Мы видим, что дифференциал +# имеет ту же форму, что и в случае, когда 1, ...,— независимые переменные и, следовательно, + 1, ..., +
— дифференциалы независимых переменных. В этом и состоит свойство инвариантности формы первого дифференциала.
Приведём пример его применения. Формулы
+ 0 = +0 +=, + 0= = +0 0 +=,
/ |
1 / / 1 |
+ 1 |
2 |
|
1 |
для независимых переменных 0, = следуют из выражения дифференциала функции через частные производные и дифференциалы независимых переменных. Эти формулы верны и в случае, когда 0, = являются функциями 0 0 , = = переменного1, ... , в силу инвариантности формы первого диффе-
ренциала.
§ 11.4. Производная по направлению и градиент |
153 |
Свойство инвариантности формы первого дифференциала можно использовать при нахождении дифференциалов и производных сложных функций, сначала записывая дифференциал в виде (3), а затем выражая + через дифференциалы независимых переменных.
§ 11.4. Производная по направлению и градиент
Пусть функция определена на некоторой окрестности точки
0 .
Пусть 1, ... , — единичный вектор, т. е.1. Его координаты называют направляющими косинусами
|
|
|
|
|
|
|
|
вектора ; 2 1. |
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Из точки |
0 |
проведём луч с направлением : |
|
||||
1, ... , |
|
0 |
|
|
|
||
1 |
" 1, ... , |
0 " , " 0, |
|||||
|
|
|
или |
|
0 ", |
" 0 |
|
Определение 1. Производной функции в точке 0 по |
|||||||
направлению называется число |
|
|
|||||
|
0 |
|
0 |
|
0 ! 0 |
, |
|
|
0 |
|
|
0 0 |
! |
|
если этот предел существует и конечен.
Если функция дифференцируема в точке 0 , то по правилу дифференцирования сложной функции
|
|
|
0 |
0 |
0 0 |
|
|
0 |
1 0 |
|
|
|
|
|
Если 3, то , , : , где , , : — углы между направлением вектора и положительными направления-
ми осей ' , ', '. соответственно. |
|
|
|
||
|
Для дифференцируемой в точке |
0, 0, .0 |
функции трёх |
||
переменных , , . |
|
|
|
|
|
0 |
0, 0, .0 0 |
0, 0, .0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 0, 0, .0 |
0 |
|
|
|
|
0, 0, .0 : |
|||
|
|
0 |
|
0 |
|

154 Гл. 11. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Введём в рассмотрение вектор
" 0, 0, .0
0 0, 0 |
, .0 , 0 0, 0, .0 , 0 0, 0, .0 , |
||
0 |
0 |
0 |
|
который называется градиентом функции в точке 0 |
, 0, .0 . |
||
Тогда, используя символ |
скалярного |
произведения, |
можно |
написать 0 " , , т. е. производная функции по на- |
||||||||||||||||
правлению0 |
вектора совпадает с проекцией " |
на это на- |
||||||||||||||
правление. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из свойств |
скалярного произведения следует, что в точке |
|||||||||||||||
0, 0, .0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
2 |
0 2 |
|
0 2 |
|
||||||
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
||||||||||
Если вектор " ненулевой, то существует единственное |
||||||||||||||||
направление , |
производная |
по |
которому |
0 |
" . Это |
|||||||||||
направление |
|
. |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
смысл градиента: гради- |
|||||||||
|
вытекает геометрический |
ент — это вектор, по направлению которого производная имеет максимальное значение.
На этом основании условно можно сказать, что направление градиента — это направление быстрейшего роста функции.
§ 11.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков
Если на некоторой окрестности точки 0 функция |
||||||||
имеет частную производную |
0 |
, то в точке 0 |
у этой про- |
|||||
|
||||||||
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
||
изводной может существовать частная производная |
|
|
. |
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
||
Если , то эту производную называют смешанной част- |
ной производной второго порядка функции по переменным
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
0 |
|
||
и и обозначают символом |
0 |
|
|
|
или |
, |
||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
||
а если , то эту производную называют (чистой) частной |
||||||||||||
производной второго порядка функции |
по |
переменному |
|
|||||||||
и обозначают символом |
0 |
2 |
|
0 или |
|
|
0 . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 11.5. Частные производные высших порядков |
155 |
Аналогично вводятся частные производные третьего, четвёр-
того и вообще любого порядка, смешанные и чистые. |
0 , |
|||||||
Частная производная порядка функции в точке |
||||||||
вычисленная последовательным дифференцированием по |
1 , ... |
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
||
..., , обозначается символом |
0 |
|
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 ... 0 1 |
|
||||
Если в данной точке 0 существуют смешанные производ- |
||||||||
ные |
2 |
|
|
|
|
|||
02 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
и |
|
0 |
|
, |
|
|
0102 |
0201 |
|
|
|||||
|
|
|
|
то они не обязательно равны, в чём можно убедиться на примере
функции двух переменных |
, |
|
|
|||
|
3 |
|
при |
, 0, 0 , |
||
, 2 2 |
||||||
|
|
|||||
|
|
|
при |
, 0, 0 , |
||
0 |
|
|
который мы предлагаем разобрать читателю.
Однако часто бывает, что смешанные производные, отличающиеся лишь порядком взятия частных производных, совпадают. В следующей теореме приводятся достаточные условия независимости смешанной производной от порядка дифференцирования.
Теорема 1. Пусть у функции двух переменных |
, част- |
|||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||
ные производные |
0 |
|
и |
|
0 |
непрерывны в точке |
0, 0 . |
|||
0 0 |
0 0 |
|||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
||||
02 |
|
|
|
|
|
02 |
|
|
||
|
|
|
0, 0 |
0, 0 |
(1) |
|||||
|
0 0 |
0 0 |
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим символами , приращения функции в точке 0, 0 , вызванные приращением соответственно аргумента и аргумента при достаточно малых , . Легко убедиться, что
0, 0 0, 0
(каждая из частей равенства совпадает с 0, 0 0, 00 , 0 0 , 0 ). Из условий тео-
ремы следует |
существование частных производных |
0 , |
0 |
на некоторой |
окрестности точки 0, 0 . Применяя |
0 |
0 |
формулу |

156 Гл. 11. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
конечных приращений Лагранжа к левой части равенства по
аргументу |
, а к правой — по , имеем |
|
|||
|
0 |
0 |
21 , 0 |
0 |
0, 0 22 |
|
0 |
|
|
0 |
|
Применяя к обеим частям последнего равенства ту же формулу
Лагранжа по аргументам и |
соответственно, получим |
||||
|
02 |
0 21 , 0 23 |
|||
0 0 |
|||||
|
|
|
|||
|
|
|
02 |
0 24 , 0 22 , |
|
|
|
0 0 |
|||
|
|
|
|
где 0 2 1 ( 1, 2, 3, 4).
Сократим последнее равенство на . Считая в полученном равенстве , сколь угодно малыми и учитывая непрерывность смешанных производных в точке 0, 0 , приходим к (1).
С помощью теоремы 1 можно доказать её обобщение, относящееся к функциям переменных и к смешанным производным любого порядка 2.
Теорема 2. Пусть у функции переменных в точке 0непрерывны все смешанные частные производные порядка2, а в некоторой окрестности точки 0 непрерывны все производные порядков ниже .
Тогда смешанные производные порядка в этой точке, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, совпадают.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция удовлетворяет условиям теоремы. Достаточно показать совпадение в точке
|
0 |
двух |
смешанных частных |
производных: |
|
|
производной |
||||||||
|
|
0 |
и производной, отличающейся от неё лишь порядком |
||||||||||||
|
0 ... 0 1 |
||||||||||||||
дифференцирования на 1 -м и -м шагах при некотором |
|||||||||||||||
и единственном (2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Если , то указанные две производные совпадают в точ- |
||||||||||||||
|
|
0 в силу теоремы 1, применённой к функции |
|
|
2 |
||||||||||
ке |
|
|
0 |
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 2 |
... 0 1 |
|||
|
Если , то достаточно убедиться в совпадении смешан- |
||||||||||||||
ных производных второго порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
02 |
|
2 |
|
|
0 |
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
и |
0 |
, |
где # |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
0 1 0 |
0 2 |
... 0 |
1 |
|
||||||
|
|
|
0 0 1 |
|
|
|
|
|
§ 11.5. Частные производные высших порядков |
157 |
в окрестности точки 0 , что следует из теоремы 1, применённой
кфункции #.
Вкачестве пояснения напишем цепочку равенств для случая
|
|
|
3 |
|
3, 3. Пусть мы хотим сравнить |
0 |
и |
||
|
||||
|
03 |
|
0 0 0 |
|
|
. Тогда |
|
||
0 0 0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Заметим, что в дальнейшем мы почти всегда будем рассматривать ситуации, в которых смешанные производные непрерывны и, следовательно, не зависят от порядка дифференцирования.
Определение 1. Функция называется раз непрерывно дифференцируемой в точке (на множестве), если все её частные производные порядка непрерывны в точке (на множестве). Заметим, что эта точка (каждая точка этого множества) считается внутренней точкой области определения функции .
C помощью теорем 11.1.3 и 11.1.2 получаем, что раз непрерывно дифференцируемая в точке (на открытом множестве) функция имеет непрерывные в этой точке (на этом открытом множестве) все частные производные порядков не выше .
Введём теперь понятие дифференциалов высших порядков. Пусть функция дифференцируема на открытом множестве C . Её дифференциал, называемый также первым дифференциалом, или дифференциалом первого порядка, имеет вид
|
+ |
0 + , |
C |
||||||
|
|
|
1 0 |
|
|
|
|
|
|
Будем изучать его как функцию точки |
. Если все частные про- |
||||||||
изводные первого порядка функции дифференцируемы на C, то |
|||||||||
существует дифференциал Æ + |
от первого дифференциала. |
||||||||
При вычислении Æ + дифференциалы + |
считаются посто- |
||||||||
янными. Имеем тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Æ 0 + |
|
|
|
|
|
|||
Æ + |
|
|
|
|
|
||||
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
02 |
|
|
|
02 |
|
|||
1 1 |
|
Æ |
+ , 1 |
|
+ Æ |
||||
0 0 |
0 0 |
||||||||
Значение дифференциала от первого дифференциала функ- |
|||||||||
ции в точке |
при Æ + (@ 1, ... , ) называется вторым |

158 Гл. 11. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
дифференциалом, или дифференциалом второго порядка функ-
ции в точке |
и обозначается +2 . Итак, |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
+2 Æ + |
Æ |
|
|
|
|
02 |
+ |
+ |
|
|||||||
|
|
, 1 0 0 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1,..., |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Если |
все |
частные |
производные |
порядка |
1 функ- |
|||||||||||||
ции |
|
дифференцируемы |
в |
|
точке |
, |
то |
дифференци- |
||||||||||
ал |
порядка |
функции |
|
|
в |
точке |
определяется как |
|||||||||||
+ Æ + 1 |
Æ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Следовательно, |
|
1,..., |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
+ |
|
|
|
|
0 |
|
|
... + |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
0 1 |
... 0 + 1 |
|
||||||||||||
|
|
|
1,..., |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если функция от переменных раз непрерывно дифференцируема в точке и 1 раз непрерывно дифференцируема на некоторой окрестности точки , то в последней формуле слагаемые, в которых частные производные отличаются лишь порядком дифференцирования, совпадают, и саму формулу можно записать в более компактном виде.
Упорядоченный набор целых неотрицательных чисел
|
1, ... , , |
0 |
|
1, ... , , |
|
|||||
|
|
мультииндексом, |
|
|
|
|
|
дли- |
||
называется |
а |
|
— его |
|||||||
ной. Полагают ещё |
1 ... , |
1 |
+ 1 ... |
+ , |
||||||
+ |
||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 1 |
... 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В этих обозначениях для функции от переменных, раз |
||||||||||
непрерывно дифференцируемой в точке |
и 1 раз непре- |
|||||||||
рывно дифференцируемой на некоторой окрестности точки |
, |
|||||||||
|
|
+ + |
|
|
||||||
В частности, для функции двух переменных |
, |
|
||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
+ $ |
|
+ |
+ |
|
||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
§ 11.6. Формула Тейлора |
159 |
Если же при этом 2, то для функции , дважды непре-
рывно дифференцируемой в точке |
, , |
|
|
||||
+2 |
02 |
|
2 2 |
02 |
+ + |
02 2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
02 + |
|||||
02 + |
0 0 |
|
в этой точке.
§ 11.6. Формула Тейлора
Пусть 0 , и пусть все частные производные порядка функции непрерывны на Æ 0 .
При этом предположении (согласно сделанным ранее замечаниям) все её частные производные до порядка включительно
непрерывны на Æ 0 . |
|
Рассмотрим функцию : 0, 1 |
, |
" 0 " , |
где 0 |
Функция имеет на отрезке 0, 1 непрерывные производные порядка , что вытекает из теоремы о дифференцируемости сложной функции. Поэтому для справедлива формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
1 |
|
1 |
1 |
|
|
0 |
1 |
|
2 , 0 2 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 # |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Выражая производные функции |
|
через частные производные |
|||||||||||||||||||
функции , получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ... |
|||||||||
# |
1 |
|
|
|
1 |
0 1 ... 0 |
|||||||||||||||
0 |
|
|
,..., |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , (1) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 0 % |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 ... |
0 |
1 ... |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1,..., |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученная формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
При сделанных предположениях о функции частные производные, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, совпадают. Поэтому формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа можно переписать в следующем виде:

160 Гл. 11. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
0 1 0
1
1 0 2 (2)
Из этой формулы при предположениях, что функция непрерывно дифференцируема раз на Æ 0 и что Æ, следует формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:
|
0 1 |
|
|
|
0 |
, |
(3) |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 2 0 |
|
||||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
, |
0 при |
|
Из приведённых рассуждений следует
Теорема 1. Пусть функция непрерывно дифференцируемараз на Æ-окрестности точки 0 . Тогда для функции при Æ справедлива формула Тейлора в каждой из форм
(2), (3).
Для получения разложения конкретных функций по формуле Тейлора без вычисления коэффициентов формулы с помощью дифференцирования используется
Теорема 2 (единственности). Пусть 0 ,
* при ,
* при
Тогда : .
Д о к а з а т е л ь с т в о. После почленного вычитания приходим к требованию доказать, что из равенства
0 * при
следует, что 0 : .
Покажем это. Зафиксируем 1, ... , и при" получаем
§ 11.6. Формула Тейлора |
161 |
||
|
|
|
|
0 |
|
" * " при " |
0 |
0 |
|
|
|
В силу ранее установленной теоремы единственности для случая 1 отсюда следует, что
0 0, ... , ,
Но тогда, обозначив через 1, ... , произвольный мультииндекс длины , имеем
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
... 0 |
|
|||||
|
0 1 |
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
||
Отсюда следует |
|
|
|
|
|
|
|
0 , |
0, ... , , |
что и требовалось доказать.
Теорема 3. Пусть функция непрерывно дифференцируемараз на некоторой окрестности точки 0 и
0 * при
Тогда это равенство является формулой Тейлора (3) функции с остаточным членом в форме Пеано.
Д о к а з а т е л ь с т в о. |
Утверждение теоремы |
является |
||||||||
непосредственным следствием теорем 1, 2. |
|
|
|
|||||||
Пример 1. Разложить по формуле Тейлора функцию 2 2 |
||||||||||
двух переменных |
в окрестности точки 0, 0 |
с точностью |
до |
|||||||
* 2 2 2 при |
, |
0, 0 . |
|
|
|
|||||
Воспользуемся известным разложением |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 при 0 |
|
|
|
|
|
1 0 / |
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
* 0 |
|
|
|
Подставив в него 0 |
2 2, получаем, что 2 2 |
1 |
2 |
|||||||
2 |
1 |
4 2 2 |
1 |
|
4 * 2 2 2 . В силу теоремы 3 это |
|||||
|
|
|||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
разложение и является искомым разложением функции по формуле Тейлора.
6 О.В. Бесов