ЛпМА_Бесов

152 Гл. 11. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Вкачестве другого следствия из теоремы 1 можно получить свойство инвариантности формы первого дифференциала.

Вусловиях теоремы на основании (1) можно записать

где + — дифференциалы функций. Мы видим, что дифференциал +# имеет ту же форму, что и в случае, когда 1, ...,— независимые переменные и, следовательно, + 1, ..., +

— дифференциалы независимых переменных. В этом и состоит свойство инвариантности формы первого дифференциала.

Приведём пример его применения. Формулы

+ 0 = +0 +=, + 0= = +0 0 +=,

для независимых переменных 0, = следуют из выражения дифференциала функции через частные производные и дифференциалы независимых переменных. Эти формулы верны и в случае, когда 0, = являются функциями 0 0 , = = переменного1, ... , в силу инвариантности формы первого диффе-

ренциала.

Свойство инвариантности формы первого дифференциала можно использовать при нахождении дифференциалов и производных сложных функций, сначала записывая дифференциал в виде (3), а затем выражая + через дифференциалы независимых переменных.

§ 11.4. Производная по направлению и градиент

Пусть функция определена на некоторой окрестности точки

0 .

Пусть 1, ... , — единичный вектор, т. е.1. Его координаты называют направляющими косинусами

если этот предел существует и конечен.

Если функция дифференцируема в точке 0 , то по правилу дифференцирования сложной функции

Если 3, то , , : , где , , : — углы между направлением вектора и положительными направления-

Аналогично вводятся частные производные третьего, четвёр-

то они не обязательно равны, в чём можно убедиться на примере

который мы предлагаем разобрать читателю.

Однако часто бывает, что смешанные производные, отличающиеся лишь порядком взятия частных производных, совпадают. В следующей теореме приводятся достаточные условия независимости смешанной производной от порядка дифференцирования.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим символами , приращения функции в точке 0, 0 , вызванные приращением соответственно аргумента и аргумента при достаточно малых , . Легко убедиться, что

0, 0 0, 0

(каждая из частей равенства совпадает с 0, 0 0, 00 , 0 0 , 0 ). Из условий тео-

156 Гл. 11. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

конечных приращений Лагранжа к левой части равенства по

Применяя к обеим частям последнего равенства ту же формулу

где 0 2 1 ( 1, 2, 3, 4).

Сократим последнее равенство на . Считая в полученном равенстве , сколь угодно малыми и учитывая непрерывность смешанных производных в точке 0, 0 , приходим к (1).

С помощью теоремы 1 можно доказать её обобщение, относящееся к функциям переменных и к смешанным производным любого порядка 2.

Теорема 2. Пусть у функции переменных в точке 0непрерывны все смешанные частные производные порядка2, а в некоторой окрестности точки 0 непрерывны все производные порядков ниже .

Тогда смешанные производные порядка в этой точке, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, совпадают.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция удовлетворяет условиям теоремы. Достаточно показать совпадение в точке

в окрестности точки 0 , что следует из теоремы 1, применённой

кфункции #.

Вкачестве пояснения напишем цепочку равенств для случая

Заметим, что в дальнейшем мы почти всегда будем рассматривать ситуации, в которых смешанные производные непрерывны и, следовательно, не зависят от порядка дифференцирования.

Определение 1. Функция называется раз непрерывно дифференцируемой в точке (на множестве), если все её частные производные порядка непрерывны в точке (на множестве). Заметим, что эта точка (каждая точка этого множества) считается внутренней точкой области определения функции .

C помощью теорем 11.1.3 и 11.1.2 получаем, что раз непрерывно дифференцируемая в точке (на открытом множестве) функция имеет непрерывные в этой точке (на этом открытом множестве) все частные производные порядков не выше .

Введём теперь понятие дифференциалов высших порядков. Пусть функция дифференцируема на открытом множестве C . Её дифференциал, называемый также первым дифференциалом, или дифференциалом первого порядка, имеет вид

158 Гл. 11. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

дифференциалом, или дифференциалом второго порядка функ-

Если функция от переменных раз непрерывно дифференцируема в точке и 1 раз непрерывно дифференцируема на некоторой окрестности точки , то в последней формуле слагаемые, в которых частные производные отличаются лишь порядком дифференцирования, совпадают, и саму формулу можно записать в более компактном виде.

Упорядоченный набор целых неотрицательных чисел

Если же при этом 2, то для функции , дважды непре-

в этой точке.

§ 11.6. Формула Тейлора

Пусть 0 , и пусть все частные производные порядка функции непрерывны на Æ 0 .

При этом предположении (согласно сделанным ранее замечаниям) все её частные производные до порядка включительно

Функция имеет на отрезке 0, 1 непрерывные производные порядка , что вытекает из теоремы о дифференцируемости сложной функции. Поэтому для справедлива формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

Полученная формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

При сделанных предположениях о функции частные производные, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, совпадают. Поэтому формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа можно переписать в следующем виде:

160 Гл. 11. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

0 1 0

1

1 0 2 (2)

Из этой формулы при предположениях, что функция непрерывно дифференцируема раз на Æ 0 и что Æ, следует формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:

Из приведённых рассуждений следует

Теорема 1. Пусть функция непрерывно дифференцируемараз на Æ-окрестности точки 0 . Тогда для функции при Æ справедлива формула Тейлора в каждой из форм

(2), (3).

Для получения разложения конкретных функций по формуле Тейлора без вычисления коэффициентов формулы с помощью дифференцирования используется

Теорема 2 (единственности). Пусть 0 ,

* при ,

* при

Тогда : .

Д о к а з а т е л ь с т в о. После почленного вычитания приходим к требованию доказать, что из равенства

0 * при

следует, что 0 : .

Покажем это. Зафиксируем 1, ... , и при" получаем