ЛпМА_Бесов

142 Гл. 10. Функции многих переменных

ниченную производную на , . Показать, что равномерно непрерывна на , .

Определение 4. Пусть функция определена на множестве. Её модулем непрерывности (на ) называется функция F: 0, 0, , где

F Æ F Æ; F Æ; ;

, , Æ

Очевидно, что F — возрастающая функция и что для выпуклого множества (т. е. для множества, вместе с каждыми двумя точками содержащего и все точки отрезка, соединяющего эти две точки)

F Æ1 Æ2 F Æ1 F Æ2 при Æ1, Æ2 0

Теорема 3. Пусть функция определена на . Тогда для её равномерной непрерывности на необходимо и достаточно,

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1.Æ Пусть равномерно непрерывна на . Тогда из (1) следу-

ет, что

0 Æ 0 F Æ; 2

при 0 Æ Æ .

Следовательно, F 0 0; 0.

2.Æ Пусть F 0 0; 0. Тогда

0 Æ 0 F Æ ;

Поэтому выполняется (1), т. е. функция равномерно непрерывна на .

Теорема 4 (Коши о промежуточном значении функции).

Пусть область C , функция непрерывна на C. Тогда если

,C, , то

$ , C $

Д о к а з а т е л ь с т в о. Напомним, что область — это открытое связное множество, так что для точек , C существует кривая

на , по теореме о непрерывности сложной функции. Кроме того, # , # . По теореме Коши о промежуточном значении функции, непрерывной на отрезке,

, # $

Взяв , приходим к утверждению теоремы.

Следствие. Теорема Коши о промежуточном значении сохранится, если в её формулировке заменить область C на замкнутую область C.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Напомним, что замкнутой областью

В силу непрерывности функции в точках , , найдутся точки0 , 0 C такие, что

0 0, 0 0

Тогда 0 $ 0 , и остаётся применить доказанную теорему.

Упражнение 2. Доказать, что теорема 4 останется верной, если в её формулировке заменить область C на произвольное связное множество (см. упр. 10.2.9).

Г л а в а 11

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

В этой главе изучаются дифференциальные свойства функций во внутренних точках их областей определения.

§ 11.1. Частные производные и дифференцируемость функций многих переменных

Приращением функции в точке 0 , соответствующим приращению аргумента , называют

0 0 0

Вправой части (1) символ «* малое» имеет тот же смысл, что

ив случае функций одного переменного, так что вместо *

можно написать , где функция определена на ,

146 Гл. 11. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Доказанная теорема даёт возможность записать формулу (1) в виде

а + называют дифференциалами независимых переменных.

непрерывность, существование всех частных производных 0 ,

0

дифференцируемость. Соотношения между ними не такие, как в случае функции одного переменного. Именно, для функций2 переменных:

1Æ дифференцируемость функции в точке влечёт существо-

вание частных производных 0 ( 1, ..., ) и непрерывность

0

функции в этой точке (см. теоремы 1, 2);

2Æ из существования всех частных производных 0 и непре-

0

рывности функции в точке не следует дифференцируемость функции в этой точке;

3Æ из существования всех частных производных 0 в точке не следует непрерывность функции в этой точке. 0

В силу теоремы 2 эта функция не является дифференцируемой в точке 0, 0 . Тем самым данный пример показывает также,

В следующей теореме в терминах частных производных устанавливаются достаточные условия дифференцируемости функции в точке.

Теорема 3. Пусть в точке 0 непрерывны все частные

производные 0 ( 1, ... , ) функции . Тогда дифференци-

0

руема в точке 0 .

Д о к а з а т е л ь с т в о ради простоты записи проведём для случая функции двух переменных ( 2). Непрерывность частных производных функции переменных , в точке 0, 0 включает в себя предположение о существовании этих производных на некоторой окрестности Æ 0, 0 .

148 Гл. 11. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Считая 2 2 Æ2, рассмотрим приращение функции

0, 0 0 , 0 0, 00 , 0 0, 0

0, 0 0, 0

Правая часть равенства представляет собой сумму приращений функции по одному переменному при фиксированном другом. Применяя теорему Лагранжа о конечных приращениях по соответствующему переменному, имеем

1 , 2 ,

В силу замечания 1 последнее равенство означает, что функция дифференцируема в точке 0, 0 .

Теорема доказана.

Упражнение 1. Показать, что непрерывность частных производных функции в данной точке не является необходимым условием дифференцируемости функции в данной точке, рас-

смотрев пример функции двух переменных , 3 2 2 или функции

0

называют непрерывно дифференцируемой в данной точке или на данном множестве соответственно.

Заметим, что эта точка или все точки этого множества должны быть внутренними точками области определения функции в соответствии с определением частной производной.

Используя этот термин, последнюю теорему можно сформулировать так: функция, непрерывно дифференцируемая в точке, дифференцируема в этой точке.

§ 11.2. Геометрический смысл дифференциала функции и частных производных

Определение 1. Пусть функция дифференцируема в точке

0, 0 . Касательной плоскостью к графику функции в точке

0, 0, 0, 0 называется плоскость, уравнение которой име-

ет вид

.0 0, 0

Эта плоскость проходит через точку 0, 0, 0, 0 , а разность между значением . , функции в точке , и аппликатой .кас точки , , .кас касательной плоскости, как следует из (11.1.2) при 2 и из (1), равна

Упражнение 1. Показать, что (2) является определяющим свойством касательной плоскости в том смысле, что никакая другая плоскость таким свойством не обладает.

У к а з а н и е. Можно рассуждать аналогично тому, как это делалось при изучении касательной к графику функции одного переменного.

Из (1) видно, что дифференциал функции в точке 0, 0 совпадает с приращением аппликаты касательной плоскости к графику функции в точке 0, 0, 0, 0 (ср. (1) и определение 11.1.2). В этом состоит геометрический смысл дифференциала функции.

150 Гл. 11. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

где — угол между осью ' и (лежащей в плоскости 0) касательной к 7 в точке 0, 0, 0, 0 , отсчитываемый в направлении кратчайшего поворота от базисного вектора оси абсцисс к базисному вектору оси аппликат. В этом состоит геомет-

рический смысл частной производной 0 0, 0 .

0

Аналогично устанавливается геометрический смысл частной

производной 0 0, 0 .

0

§ 11.3. Дифференцируемость сложной функции

Теорема 1. Пусть каждая из функций 1, ..., , завися-

щих от переменных, дифференцируема в точке 0 . Пусть функция #, зависящая от переменных, дифферен-

цируема в точке 0 1 0 , ... , 0 . Тогда сложная функция

# 1 , ... ,

дифференцируема в точке 0 и для её частных производных справедливы равенства

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из дифференцируемости функций

в точке 0 и функции # в точке 0 следует непрерывность и # в этих точках. Поэтому по теореме о непрерывности суперпозиции непрерывных функций функция определена на некоторой окрестности точки 0 и непрерывна в точке 0 . В силу дифференцируемости функций # и запишем:

# 0 # 0 # 0

0 0 0 ,

1 0

0 0 0

0 0 ,

Мы получим приращение функции , вызванное приращением аргумента , если в # 0 вместо при 1, ... , подставим приращения 0 функций , вызванные приращением их аргумента. Тогда получим, что при достаточно малых

0 0 0

по теореме о непрерывности сложной функции.

Равенство (2) показывает, что функция дифференцируема