ЛпМА_Бесов

Определение 3 . Точка называется предельной точкой множества , если

0

Упражнение 3. Доказать эквивалентность определений 3 и 3 .

Определение 4. Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Примерами замкнутых множеств являются , одноточечное множество, пустое множество , замкнутый шар при 0, в том числе отрезок при 1.

Упражнение 4. Доказать, что 1Æ объединение конечного числа замкнутых множеств за-

мкнуто;

2Æ пересечение любого набора замкнутых множеств замкнуто.

Определение 5. Пусть . Множество

, — предельная точка множества

называется замыканием множества .

Используя символ , определение замкнутого множества можно сформулировать в виде .

Лемма 2. Замыкание множества является замкнутым множеством.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Случай тривиален. Пустьи — предельная точка множества . Требуется доказать,

Отсюда видно, что — предельная точка множества , что и требовалось доказать.

Доказанную лемму можно сформулировать в виде

Часто открытое множество обозначается буквой C, а замкнутое — буквой /.

Упражнение 5. Доказать, что если множество / замкнуто, а C открыто, то / C замкнуто, а C / открыто.

Определение 6. Точка называется граничной точкой множества , если при любом 0 содержит как точки из , так и точки не из .

Границей D множества называется множество граничных точек множества .

Граничная точка множества может как принадлежать, так и не принадлежать множеству . Так,

D , D ,

D

Упражнение 6. Доказать, что:

1Æ множество открыто тогда и только тогда, когда

D ;

2Æ множество замкнуто тогда и только тогда, когда D ;

3Æ множество замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение открыто;

4Æ множество открыто тогда и только тогда, когда его дополнение замкнуто.

У к а з а н и е. При доказательстве 3Æ можно использовать равенство D D , вытекающее из определения границы.

Множество : — внутренняя точка множества называется внутренностью множества .

Упражнение 7. Доказать, что для справедливы утверждения:

1Æ D — замкнутое множество (D D); 2Æ D ;

3Æ D .

Определение 7. Диаметром непустого множества

называется число

Определение 8. Расстоянием между двумя непустыми множествами , / называется число

Определение 9. Непустое ограниченное замкнутое множество в называется компактом.

Лемма 3. Пусть , / — компакты в , / . Тогда

" , / 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть " , / +. Из определения расстояния между множествами следует, что существуют две последовательности

где — непрерывные на , функции 1, ... , , называется (непрерывной) кривой.

При этом точка называется началом кривой, а точка

— концом кривой.

Определение 12. Замыкание C области C называется

замкнутой областью.

Упражнение 9. Множество называют связным, если для любого его разбиения на два непустых непересекающихся множества и ( , ) существует принадлежащая точка, являющаяся граничной для и для ( D D ). Доказать, что для открытого множества такое определение связности эквивалентно определению связности из определения 11.

Упражнение 10. Доказать следующую лемму.

метрического пространства , . Множество называется

136 Гл. 10. Функции многих переменных

Здесь даны три определения предела, их эквивалентность устанавливается так же, как в случае 1.

Упражнение 1. Сформулировать обобщение определения

предела на случаи , , ориентируясь на соответствующие обобщения для 1.

Замечание 1. Если Æ 0 при некотором Æ 0 или

Теорема 1 (критерий Коши существования конечного предела функции). Пусть функция определена на множестве

и0 — предельная точка множества . Для существования

конечного предела необходимо и достаточно, чтобы

0

выполнялось условие Коши:

0 Æ 0 , Æ 0

Д о к а з а т е л ь с т в о не отличается по существу от приведённого выше для функций одного переменного.

Пределы функций многих переменных по множеству обладают арифметическими свойствами и свойствами, связанными с неравенствами, аналогичными соответствующим свойствам пределов функций одного переменного. Доказательства этих свойств аналогичны доказательствам теорем 3.4.1 и 3.4.2 для функций одного переменного.

Определение 3. Функция , определённая на множестве

, называется ограниченной на множестве , если множество ограничено, т. е. если существует число 0 такое, что

Тогда при некотором Æ 0 функция ограничена на Æ.

138 Гл. 10. Функции многих переменных

Пример 1.

Здесь даны три определения непрерывности функции в точке по множеству. Их эквивалентность вытекает из эквивалентности соответствующих определений предела функции в точке. Следу-

Арифметические свойства функций, непрерывных в точке 0 по множеству , и свойство ограниченности функции наÆ 0 при достаточно малом Æ 0 очевидны, если 0 — изолированная точка множества , и вытекают непосредственно

Д о к а з а т е л ь с т в о такое же, как в случае 1. Рассмотрим вопрос о непрерывности композиции (суперпози-

ции) функций (сложной функции).

и функция # непрерывна в точке 0 1 0 , ..., 0

по множеству /.

Тогда определённая на сложная функция

# 1 , ... , , ,

непрерывна в точке 0 по множеству .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 0. Тогда 3 3 0:

# # 0 при / 0

140 Гл. 10. Функции многих переменных

Выберем теперь Æ Æ 3 Æ 3 Æ 0 столь малым, что

Мы использовали непрерывность функций #, 1, ..., в соответствующих точках. Из написанных соотношений, считая, что

деле сложной функции, аналогичную теореме 1 о непрерывности сложной функции. Сравнить с соответствующими теоремами для

1.

§ 10.5. Функции, непрерывные на множестве

Определение 1. Верхней (нижней) гранью на множестве

функции , определённой на , называется

Определение 2. Функция , непрерывная в каждой точкепо множеству , называется непрерывной на мно-

жестве .

Теорема 1 (Вейерштрасса). Пусть функция непрерывна на компакте . Тогда она ограничена на и достигает на своих верхней и нижней граней.

Д о к а з а т е л ь с т в о проведём лишь для случая верхней грани. Как увидим, оно повторяет доказательство теоремы Вейерштрасса для случая 1, , .

Пусть . Из определения верхней грани сле-

дует, что существует последовательность точек ,

, такая, что . Последовательность

ограничена в силу ограниченности множества . На основании теоремы 10.1.2 Больцано–Вейерштрасса выделим из

вытекает, что 0 , т. е. что верхняя грань функции достигается в точке 0 . Следовательно, верхняя грань

Аналогично доказывается, что функция достигает своей нижней грани на и ограничена снизу на . Теорема доказана.

Определение 3. Функция называется равномерно непрерывной на множестве , если

0 Æ Æ 0

В этом убеждаемся сразу, положив в (1) , 0 . Обратное неверно. Например, при 1 функции 1 ,

# 1 , непрерывные на 0, 1 , не являются равномерно непрерывными на .

Однако если — компакт, то непрерывность функции на эквивалентна равномерной непрерывности этой функции на в силу следующей теоремы.

Теорема 2 (Кантора). Пусть функция непрерывна на компакте . Тогда равномерно непрерывна на .

До к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что теорема неверна,

т.е. что существует функция , непрерывная, но не равномерно непрерывная на . Тогда

0 0 Æ 0 , Æ, 0