Добавил:

linnesse Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Математический анализ

Файл:

ЛпМА_Бесов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2024

Размер:

3.6 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 4813 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

122

Гл. 9. Неопределённый интеграл

! ,

+" $1

2 2

2! !

!2 2

A 2

!2 2

2 !2 2 A 2 B $2

Замечание 1. Во всех интегралах этой цепочки, зависящих

от ", после их нахождения вместо " следует подставить " +.
Здесь и ниже мы не отмечаем этого ради краткости записи.																																																2
Здесь и ниже мы не отмечаем этого ради краткости записи.
Первый из интегралов правой части подстановкой сводится
к табличному. Остаётся найти интеграл B																																								!				.
к табличному. Остаётся найти интеграл B																																					!2 2							.
При 1 имеем																																					!2 2
При 1 имеем
		2 2 2, +																									!
1																														$3
1			2			"															2									$3										2
										2							> ? 2, +																							2							$3
											2
																																2													2
																																2													2
																												2 -												-
																												2 -												-	4
																																4									4
Вычислим при 2 интеграл
								!						1								2 !			$1
B					!		2 2								2					!		2 2			$1
					!															!
	1					!2 2 !2 !																				1								1						2! !
											2 2										$1								B 1							"			2 2								$2
			2						!		2 2										$1						2		B 1					2		"		!	2 2								$2
									!																							2						!
Для							нахождения										последнего											интеграла применим																		форму-
лу	интегрирования по частям, считая																															0 ",						=								2!			,

																																										!2 2
=											1								.
=				1 !2 2 1															.
Получим
B						1			B 1														!												1					B			1	$3

								2					2										!2 2 1										2		1
												2				1																2			1
Отсюда получаем рекуррентную формулу
					B						2 3							B					1				!													$3

											2	1												2							!2 2 1
										2		1												2		1

§ 9.7. Интегрирование некоторых иррациональных функций

123

Зная

	!	1				1	!
B1	!	1			$	1	!	$,

	!2 2		2
				1
				1

мы можем по рекуррентной формуле найти последовательно B2, B3, ... .

§ 9.7. Интегрирование некоторых иррациональных функций

Функция вида
	1,...,	0 1	... 0 ,	0	, 1, ... , ,
1	1,...,	1		0
1	...

называется многочленом ( -й степени) от переменных 01, ...

..., 0 .

Функция вида

; 01, ... , 0 /1, ... , / ,

/1, ... , /

где %, & — многочлены от переменных 01, ..., 0 , называется

рациональной функцией от 01, ..., 0 . 1Æ. Рассмотрим

; , 1	, ... ,	+ ,
(	(

где 1, ..., .

Запишем в виде + , где , > ( 1, ... , 9).

Введём новое переменное "			равенством " . Тогда
!	, " — рациональная функция, +				(
					, " +". Про-
	(!
изводя замену переменного в интеграле , получаем
	; !	, " 1 ,	... , " , " +" $,
		(!
где под знаком интеграла стоит рациональная функция от ",
интеграл от которой мы умеем находить.
2Æ. Интеграл вида ; ,			2	+	может быть све-

ден к интегралу от рациональной функции с помощью одной из

подстановок Эйлера.

124 Гл. 9. Неопределённый интеграл

Случай 1:			0. Можно применить замену										на ", определя-
емую формулой
				2					",
				2					",
		2 (
откуда		!			.

		2!
		2!
Случай 2: 0. Применяется замена										на ", определяемая
формулой

					2		"
					2		"
Случай 3: корни 1,						2 трёхчлена		2			действитель-
ны.				, то
Если	1		2			2				1			.
Если	1		2			2				1			.
Если	1		2	, то можно применить замену								на ", определяе-
мую формулой

1 2 1 "

3Æ. Интегралом от биномиального дифференциала называет-

ся
	+
( 0, 0; , , > ). Применив замену "1 , +
1 "1 1+", получим

1 " " 1 1+" $,

так что задача сводится к нахождению интеграла вида
B " " +" >, ? , ? 1	1

Этот интеграл в трёх случаях (и ни в каких других) сводится к интегралу от рациональной дроби.

Случай 1: > — целое число. Случай 2: ? — целое число.

Случай 3: > ? — целое число.

В самом деле, в указанных случаях интеграл B имеет вид интеграла, рассмотренного в начале параграфа. В случае 3 это становится ясным после записи B в виде

B	!
B	!		" +"
Итак, интеграл сводится		к интегралу		от рациональных
функций в случаях целых >, 1			или 1	>.

§ 9.7. Интегрирование некоторых иррациональных функций

125

В других случаях интеграл не является элементарной функцией, что было доказано П.Л. Чебышёвым.

4Æ. Интеграл вида

; , +

сводится к интегралу от рациональной дроби универсальной тригонометрической подстановкой

			0 ,						- -
В самом деле, тогда:						2
В самом деле, тогда:
			2									2				2/
			2									2
					2 2								2				,
			2				2				1	2				1 /2	,
				2					2				2
				2			2				1	2				1 /2
				2					2		1		2			1 /2	,
							2									1 /2	,
			2				2			1		2				1 /2
				2					2				2
			2 0,							+			2/		,
			2 0,							+			1 /2		,
													1 /2
так что	2 ;					2/		,		1 /2				/
	2 ;				1	/2		,		1 /2 1 /2 $
					1	/2				1 /2 1 /2 $
Другие подстановки:
		0 ,				0						,		0

— иногда приводят к нужной цели при менее громоздких вы-

числениях. Например,	интеграл + ( , )
подстановкой 0	или 0 сводится к интегралу от

биномиального дифференциала.

5Æ. Некоторые интегралы от трансцендентных функций:

			+ ,					+ ,

где ,		, ,			, ,							, ,
,	, — вычисляются интегрированием по частям.
Например,

		+							+	$1
		+							+	$1
					2
						2			+		$2
				2		2			+		$2
												2
													2 $2
							2						2 $2

126 Гл. 9. Неопределённый интеграл

Из сравнения первой и последней частей равенства получаем

2 2
2 2	2 2	$

6Æ. Как уже упоминалось при интегрировании биномиальных дифференциалов, некоторые интегралы от элементарных функций не являются элементарными функциями. К их числу относятся

+ , + , 2 +

иэллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода соответственно:

1 2 2 + ,

1 #2 2

1 2

1 #2 2

Г л а в а 10

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 10.1. Метрическое пространство

Определение 1. Множество называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов , поставлено в соответствие действительное неотрицательное число , , 0, называемое расстоянием (или метрикой) между элементами и и удовлетворяющее следующим аксиомам:

1Æ , , 0 ;

2Æ	,	, , , (аксиома симметрии);
3Æ	,	, , , . , ., (аксиома треугольника).

Последнюю аксиому называют также неравенством треугольника.

Элементы метрического пространства называют также точками.

С помощью расстояния можно ввести понятия сходящейся последовательности точек метрического пространства, -окрест- ности точки, открытого и замкнутого множеств, замыкания множества и др. Мы познакомимся с этими понятиями на примере метрического пространства .

Определение 2. Пусть . Метрическим пространством

называется множество всевозможных упорядоченных наборов

1, ... , из действительных чисел с расстоянием

, , 1 1 2 ... 2

(1)

Элемент пространства будем называть точкой, а числа 1, ..., — координатами точки .

Свойства 1Æ, 2Æ расстояния в очевидны. Свойство 3Æ будет установлено ниже.

Вможно ввести вектор 0, ... , 0 , операции сложения

и умножения ) на число ) следующим образом: при

1, ... , , 1, ... ,

1 1, ... ,		, ,
) ) 1, ... , )	,	)

128	Гл. 10. Функции многих переменных
Тогда	превращается в линейное (векторное) пространство,
а точку	называют также вектором. Разность в
имеет вид
	1 1, ... , , ,

Определение линейного (векторного) пространства будет приве-

дено в § 25.1. Структура		векторного			пространства	в этой
и ближайших главах не будет играть роли.
Введём понятие модуля вектора					1, ... , :

Тогда , , .	2			...	2
			1

Лемма 1 (неравенство Коши–Буняковского).
					,	(2)

1

Д о к а з а т е л ь с т в о. При 2 и при 3 это неравенство является хорошо известным свойством скалярного произведения. Пусть . Рассмотрим лишь нетривиальный случай, когда 0, 0.

Имеем										2		2
		2 2 2					2		0,	2		2
											2	2
Заменив	на			, на				при произвольном " 0, получим
Заменив	на		"	, на			"	при произвольном " 0, получим
					2!	2			, 0, " 0
					2 2!
Применив это неравенство при									, и суммируя по ,
будем иметь
					2!				2		0
					2!					"	0
		1					2 2!			"
		1
Взяв " , получаем (2).
Лемма 2 (неравенство Минковского).
										,		(3)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем

	2 2 2 2 2
					1					1

§ 10.1. Метрическое пространство

129

Применяя неравенство Коши–Буняковского, получаем отсюда, что

	2 2 2 2 2,
откуда и следует утверждение леммы.
Неравенство (3) также называют неравенством треугольника.
Теперь вернемся к свойству 3Æ расстояния.
Пусть	, , . , , .. Тогда

.. В силу (3)

, т. е. . . ,

что лишь обозначением отличается от неравенства

, , . , , , , .

Понятие расстояния в даёт возможность ввести понятия-окрестности точки и предельного перехода в .

Определение 3. При 0 назовем -окрестностью точкимножество


Множество называют ещё шаром, или открытым шаром
в радиуса 0 с центром в точке .
Определение 4. Точку				называют пределом после-
довательности	точек			(или говорят, что
1
последовательность			сходится к точке ), и пишут
1
или		при		, если

				0,

или, иначе, если для любого 0 существует такое, что


Последнее соотношение можно переписать в виде

Теорема 1. Последовательность			точек из схо-
		1
дится к точке тогда и только тогда, когда при каждом
1, ... ,
	,

где и — координаты точек и		соответственно.

5 О.В. Бесов

130 Гл. 10. Функции многих переменных

Д о к а з а т е л ь с т в о		очевидно, если воспользоваться не-
равенством

			2
			2
	1

Определение 5. Множество называется ограниченным, если ; 0: ! .

Определение 6. Последовательность называется ограниченной, если множество её значений ограничено, т. е.

; 0: ; .

Теорема 2 (Больцано–Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть — ограниченная последовательность. Тогда при любом , 1 , числовая по-

следовательность					ограничена. Рассмотрим число-
				1
вую	последовательность						. По	теореме Больцано–
				1		1
Вейерштрасса (§ 2.7) существует такая подпоследовательность
1		последовательности натуральных чисел, что последо-
	1		1	сходится.
вательность				сходится.
		1	1				1		. По той же
Рассмотрим последовательность								1	. По той же
							2	1
теореме Больцано–Вейерштрасса существует подпоследователь-
ность 2			последовательности 1 такая, что по-
		1	2					1
следовательность				1	сходится.
			2	1
Продолжая это рассуждение, получим последовательностей

натуральных чисел 1 , 2 , ..., , причём каждая

следующая является подпоследовательностью предшествующей,

		, где 1, ... , , сходятся.
и последовательности
		1		,
Но тогда сходятся и последовательности
				1
1, ... , , как подпоследовательности сходящихся последова-
тельностей. Следовательно,		по теореме 1	последовательность
	сходится, что и требовалось доказать.

§ 10.2. Открытые и замкнутые множества

131

§ 10.2. Открытые и замкнутые множества

Определение 1. Точка называется внутренней точкой множества , если

Множество называется открытым, если каждая его точка является внутренней.

Примерами открытых множеств являются , .

Лемма 1. -окрестность точки является открытым множеством в .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Требуется доказать, что всякая точ-

ка	из	является внутренней.	Пусть	. Тогда
		и Æ 0.	Достаточно		показать, что
Æ	, т. е. что всякая точка из Æ				принадлежит
	. Пусть Æ , т. е. Æ. Тогда в силу неравен-
ства треугольника

Æ ,

т. е. , что и требовалось доказать. Упражнение 1. Доказать, что:

1Æ пересечение конечного числа открытых множеств является открытым множеством;

2Æ объединение любого набора открытых множеств является открытым множеством.

Определение 2. Всякое открытое множество, содержащее

точку	, называется	окрестностью точки		и обозначает-
ся	.
В силу леммы 1 -окрестность точки			является её окрестно-
стью. С другой стороны, для всякой окрестности					точки
найдётся 0 такое, что .
Упражнение 2.		Сформулировать	определение		предела

последовательности, используя окрестности

			.
вместо -окрестностей
В дальнейшем будут использоваться обозначения проколотых
окрестностей:
	,
Определение 3. Точка			называется предельной точ-
кой множества , если
				,
		1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 4813 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
28.12.20243.6 Mб6ЛпМА_Бесов.pdf
#
28.12.2024102.1 Кб1обозначения.pdf