ЛпМА_Бесов

Г л а в а 9

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 9.1. Первообразная и неопределённый интеграл

Символом , будем обозначать промежуток, т. е. либо отрезок , , либо полуинтервал , , либо полуинтервал , , либо интервал , . При этом полуинтервал и интервал могут быть как конечными, так и бесконечными.

/ < 0

Тогда с помощью формулы конечных приращений Лагранжа получаем

/ < $

Определение 2. Операция перехода от данной функции к её первообразной называется (неопределённым) интегрированием. При этом функции ставится в соответствие некоторая конкретная произвольно выбранная первообразная. Эта первообразная называется неопределённым интегралом функции и обозна-

чается символом + . Функция при этом называется

подынтегральной.

Таким образом, каждый неопределённый интеграл функции является для неё первообразной, и наоборот, каждую первообразную можно выбрать в качестве неопределённого интеграла функции .

Рассмотренные свойства первообразных дают возможность описать общий вид неопределённого интеграла функции на, :

+ / $,

где / — некоторая конкретная первообразная для , а $ — произвольная постоянная.

Будем пользоваться также следующими обозначениями:

первообразная для . Это равенство можно переписать в виде 2ÆÆ / + / $.

3Æ Пусть существуют 1 + , 2 + . Тогда при, существует интеграл

1 2 + 1 + 2 + $

Свойство 1Æ содержится в определении неопределённого интеграла, свойство 2Æ уже было установлено.

/ 1 + 2 + 1 2

Остаётся сослаться на свойство 2Æ.

Свойства 1Æ, 2ÆÆ показывают, что операции дифференцирования и (неопределённого) интегрирования обратны друг другу.

В дальнейшем будет показано, что для любой функции , непрерывной на некотором промежутке, на этом промежутке

ных основных элементарных функций получаем таблицу неопределённых интегралов, которая приводится в приложении.

Каждая из формул таблицы рассматривается на тех промежутках, на которых определена соответствующая подынтегральная функция. Например, формулу

1

+ $

следует рассматривать отдельно на каждом из двух промежутков: , 0 и 0, .

§ 9.2. Методы интегрирования

Теорема 1 (интегрирование по частям). Пусть на некотором промежутке функции 0, = дифференцируемы и существует0 = + . Тогда на этом промежутке существует

0 = + 0 = 0 = + $

Д о к а з а т е л ь с т в о. Правая часть последнего равенства имеет вид / $. При этом

/ 0= 0 = + 0 = 0= 0 = 0= ,

так что функция / является первообразной для 0= . Остаётся сослаться на свойство 2Æ.

Теорема 2 (интегрирование заменой переменного). Пусть функция имеет первообразную на , , функция ,

, дифференцируема на , . Тогда на , существует

Д о к а з а т е л ь с т в о. Дифференцируя стоящую в правой части равенства сложную функцию / Æ , где / + ,

получаем

/ " " " ,

см. теорему 5.5.1 и замечание 5.5.1. Остаётся использовать свойство 2Æ.

Формулу (1) легко запомнить в виде

§ 9.3. Комплексные числа

Комплексным числом называется выражение вида

. 0 отождествляется с действительным числом . В этом случае пишут . .

Модулем комплексного числа . называется неотрицательное действительное число

. 2 2

Для каждого комплексного числа . определено сопряжённое ему комплексное число

.

Произведением .1.2 двух комплексных чисел .1 1 1 и .2 2 2 называется комплексное число

. 1 2 1 2 1 2 2 1

В частности, 1.

Определение 1. Множество выражений вида (1), в котором описанным способом введены операции сложения и умножения, называется множеством комплексных чисел и обозначается через .

Во множестве нет отношения порядка.

Легко проверить, что сумма и произведение комплексных чисел обладают теми же свойствами, что сумма и произведение действительных чисел. В частности, существуют 0 0 0 и 1 1 0, для каждого . существует противоположное комплексное число, для каждого . , . 0, существует обратное комплексное число, определены разность двух комплексных чисел и частное двух комплексных чисел (если делитель не равен нулю).

Для вычисления частного двух комплексных чисел удобно представить каждое из этих чисел в тригонометрической форме, с которой мы познакомимся ниже.

Для геометрического изображения комплексных чисел пользуются комплексной плоскостью. При этом комплексное число . изображается точкой , или радиус-вектором этой точки. Сложение и вычитание комплексных чисел сводится

к сложению и вычитанию соответствующих векторов. Сопряжённые комплексные числа . и . изображаются точками, симметричными относительно действительной оси.

Нам понадобятся следующие свойства операции комплексного сопряжения:

. ., .1 .2 .1 .1, .1 .2 .1 .2,

.1.2 .1.2, .. . 2

Эти свойства устанавливаются непосредственной проверкой.

§ 9.4. Разложение многочлена на множители

Многочленом степени 0 называется функция

% . . 1. 1 ... 1. 0, 0,

где . , при 0, 1, ..., .

Корнем многочлена % называется комплексное число .0, такое, что % .0 0.

При произвольном .0 многочлен % . можно разделить на одночлен . .0 , т. е. представить % . в виде

% . . .0 & 1 . , где частное & 1 — многочлен степени 1, а остаток .

Теорема 1 (Безу). Число .0 является корнем многочлена % тогда и только тогда, когда % . делится без остатка на . .0.

Д о к а з а т е л ь с т в о очевидно.

Если многочлен % при некотором , представим´ в виде

% . . .0 & . , & .0 0,

где & — многочлен, то .0 называют корнем многочлена %

кратности . Если 1, то .0 называют простым корнем.

В курсе теории функций комплексного переменного доказывается, что всякий многочлен имеет в хотя бы один корень. Отсюда сразу следует разложение многочлена % на множители

% . . .1 1 . .2 2 ... . . , ,

1

где .1, .2, ..., . — различные корни многочлена % , кратности которых равны 1, 2, ..., соответственно.

В дальнейшем будем рассматривать многочлены % лишь с действительными коэффициентами.

Лемма 1. Пусть % — многочлен с действительными коэффициентами, и пусть .0 0 — его корень кратности . Тогда .0 также является его корнем кратности .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем

% . . .0 & .

Переходя в этом равенстве к сопряжённым значениям в его левой и правой частях, получим

% . . .0 & .

Отсюда в силу свойств сопряжённых чисел следует, что

% . . .0 & . ,

где коэффициенты многочлена & являются сопряжёнными к соответствующим коэффициентам многочлена & .

Заменив в последнем равенстве . на ., получаем

% . . .0 & .

Отсюда следует, что .0 — корень многочлена % , причём кратность корня .0 не меньше кратности корня .0.

Аналогично показывается, что если .0 — корень многочлена % кратности , то .0 .0 является корнем многочлена % кратности не меньше . Отсюда следует, что кратности корней

Учитывая лемму 1 и замечание 1, приходим к выводу, что для многочлена % с действительными коэффициентами справедливо следующее разложение на множители:

Здесь , — различные действительные корни многочлена % , — их кратности ( ).

2 > ? . . ,

. , . — комплексные корни % ( . 0), — их кратности ( ).

§ 9.5. Разложение правильных рациональных дробей на простейшие

Рациональная дробь (т. е. частное двух многочленов)

называется правильной, если степень многочлена % меньше степени многочлена &. Неправильную рациональную дробь (деля числитель на знаменатель по правилу деления многочленов) можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби (второе слагаемое отсутствует, если при делении не оказалось остатка).

В этом параграфе все многочлены имеют лишь действительные коэффициенты.

правой части, т. е. . Тогда по теореме Безу

% & %

Тогда

где , , A — некоторые действительные числа.

Д о к а з а т е л ь с т в о состоит в последовательном многократном применении лемм 1, 2. Именно, применяем лемму 1 сначала 1 раз с 1, затем 2 раз с 2 и т. д.

Рациональные дроби вида

простейшими, или элементарными рациональными дробями. При нахождении коэффициентов , , A разложения

(3) правильной рациональной дроби на простейшие в случае конкретной дроби % & обычно применяют метод неопределённых коэффициентов. Он состоит в том, что записывают разложение (3) с неопределёнными коэффициентами , , A , приводят все дроби к общему знаменателю и сравнивают числители. Из полученного равенства многочленов находят все нужные коэффициенты, сравнивая, например, коэффициенты при одинаковых степенях переменного или значения многочленов в некоторых точках.

§ 9.6. Интегрирование рациональных дробей

Всякую рациональную дробь можно представить в виде сум-