ЛпМА_Бесов

102 Гл. 8. Кривые в трёхмерном пространстве

ронняя касательная (которая определяется по аналогии с касательной).

Определение 3. Кривая 7 " : " называется дифференцируемой (непрерывно дифференцируемой), если вектор-функция " дифференцируема (непрерывно дифференцируема) на , .

Определение 4. Точка "0, "0 дифференцируемой кривой 7 называется неособой точкой, если "0 , и называется особой точкой в противном случае.

В лемме 1 показано, что дифференцируемая кривая в каждой неособой точке имеет касательную.

Определение 5. Непрерывно дифференцируемая кривая без особых точек называется гладкой кривой.

Определение 6. Пусть 7 " : " , , . Тогда каждая из кривых

7 " " , 7 " "

называется дугой кривой 7.

Аналогичное определение можно дать и в случае, когда кривая 7 разбита на любое конечное число дуг.

При этом кривая 7 называется кусочно-непрерывно дифференцируемой (кусочно-гладкой), если каждая из её дуг является непрерывно дифференцируемой (гладкой).

Рассмотрим вопрос о преобразовании (замене) параметра на кривой. Пусть

7 " " , " # 6 , ρ 6 # 6 ,

7 ρ 6 6

Будем считать кривую 7 той же, что и 7, но иначе параметризованной, если замена параметра " # 6 является допустимой.

При этом под допустимой заменой параметра понимается такая, при которой выполняются следующие условия.

1Æ #: , , непрерывна и строго монотонна на , .

Обратим внимание, что при этом от 7 можно перейти к 7 также с помощью непрерывной и строго монотонной замены параметра # 1 (обратной к #).

Понятие «допустимой» замены параметра определяется нашим желанием сохранить те или иные свойства кривой при такой замене. Так, например, если мы хотим сохранить ориентацию кривой, то к требованию 1Æ присоединяется требование

1ÆÆ # строго возрастает на , .

Последнее равносильно, очевидно, условию # ,

# .

Если 7 — дифференцируемая (непрерывно дифференцируемая) кривая, то допустимой заменой параметра на 7 будем называть замену " # 6 , удовлетворяющую, помимо условия 1Æ, ещё и условиям:

2Æ # дифференцируема (непрерывно дифференцируема) на

, ; 3Æ # 6 0 при 6 .

При этом, очевидно, дифференцируемая (непрерывно дифференцируемая) кривая 7 переходит в дифференцируемую (непре-

рывно дифференцируемую) кривую 7.

При выполнении условий 1Æ, 2Æ, 3Æ обратная к # функция

# 1 будет, очевидно, удовлетворять тем же условиям. Кривые 7

и7 при этом отождествляют (иначе говоря, их называют одной

итой же кривой, различным образом параметризованной).

Упражнение 1. Показать, что при замене параметра, удовлетворяющей условиям 1Æ, 2Æ, 3Æ (т. е. при допустимой замене параметра):

а) неособая точка переходит в неособую; б) касательная в неособой точке сохраняется;

в) гладкая кривая переходит в гладкую кривую. Упражнение 2. Показать, что всякую гладкую кривую 7

..., ), получим так называемую вписанную в кривую 7 лома-

Определение 1. Длиной кривой 7 называется

8 8

Определение 2. Кривая 7 называется спрямляемой, если её длина конечна (т. е. 8 ).

Ясно, что длина кривой и её спрямляемость не меняются при допустимой замене параметра на кривой.

Упражнение 1. Пусть 7 " : " — спрямляемая кривая, , . Показать, что кривые

7 " " , 7 " "

спрямляемы и сумма их длин равна длине кривой 7.

дифференцируема. Тогда она спрямляема и её длина удовлетворяет условию

но дифференцируема. Тогда переменная длина дуги 9 9 " , отсчитываемая от её начала , , является возрастающей непрерывно дифференцируемой функцией параметра ", причём

Деля последнее неравенство на " и переходя к пределу при" 0 0, получаем, что существует 9 "0 "0 .

Аналогично устанавливается, что существует 9 "0

"0 .

Отсюда следует, что существует 9 "0 "0 . Из неотрицательности 9 " следует, что 9 " возрастает на , .

108 Гл. 8. Кривые в трёхмерном пространстве

Вектор называется единичным вектором главной нормали.

Определение 3. Нормалью к кривой в данной точке называется всякая прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная касательной в этой точке.

Нормаль к кривой, коллинеарная , называется главной нормалью.

Пусть 7 9 : 0 9 8 , и пусть в точке 90, 90

Это равенство показывает, что в окрестности данной точки кривая отклоняется от своей касательной в сторону вектора с точностью до 9 2 .

Определение 4. Плоскость, проходящая через касательную и главную нормаль в данной точке кривой, называется соприкасающейся плоскостью.

Последнюю формулу для можно интерпретировать и так: в окрестности данной точки кривая лежит в соприкасающейся плоскости с точностью до 9 2 .

Выведем уравнение соприкасающейся плоскости в такой точке гладкой кривой 7 " : " , в которой кривизна

плоскостью называется всякая плоскость, содержащая касательную в этой точке.

Определение 5. Точка пространства, лежащая на главной нормали к кривой в данной её точке и находящаяся на расстоянии ; 1 от этой точки в направлении вектора главной нормали, называется центром кривизны кривой в данной точке кривой.

Центр кривизны лежит в соприкасающейся плоскости.

Если — радиус-вектор точки кривой, то радиус-вектор центра кривизны в этой точке имеет вид

ρ ; 1 2

#2 *2

Отсюда и из (1) имеем:

Определение 6. Кривая ρ ρ " , описывающая множество центров кривизны данной кривой 7, называется её эволютой.

Сама кривая 7 по отношению к своей эволюте называется

эвольвентой.

Определение 8. Сопровождающим трёхгранником Френе

кривой 7 в точке "0, "0 называется трёхгранник, образованный векторами "0 , "0 , β "0 , отложенными от точки "0 .

Сопровождающий трёхгранник задаёт следующие три взаимно перпендикулярные плоскости, проходящие через точку "0 :

1)соприкасающуюся плоскость, ортогональную вектору β бинормали,

2)нормальную плоскость, ортогональную вектору касательной,

3)спрямляющую плоскость, ортогональную вектору главной нормали.

Если 7 — гладкая трижды непрерывно дифференцируемая кривая, то справедливы формулы Френе:

кривой 7 в точке "0, "0 . Геометрический смысл состоит в том, что является мгновенной угловой скоростью поворота бинормали (или, что то же, поворота соприкасающейся плоскости), если параметр 9 считать временем. Это выясняется так же, как геометрический смысл кривизны кривой.

Вторая формула Френе легко выводится с помощью дифференцирования равенства β, и применения первой и третьей формул Френе.