ЛпМА_Бесов

92 Гл. 7. Исследование поведения функций

Д о к а з а т е л ь с т в о (для случая выпуклости вверх). До-

Отсюда следует достаточность в утверждении 1Æ и утверждение 2Æ.

Упражнение 2. Доказать необходимость условия 1Æ. Можно использовать при этом анализ расположения кривой относитель-

Д о к а з а т е л ь с т в о проведём от противного. Допустим, что 0 0 и для определённости 0 0. Тогда 0 на некоторой окрестности 0 . По предыдущей теореме точка 0 находится внутри интервала 0 строгой выпуклости вниз

и поэтому не может быть точкой перегиба.

Теорема 3 (достаточные условия точки перегиба). Пусть существует 0 , а меняет знак при переходе через точку 0.

Тогда 0 — точка перегиба функции .

Д о к а з а т е л ь с т в о сводится к проверке определения точки перегиба с помощью теоремы о достаточных условиях строгой выпуклости функции.

Следствие. Пусть 0 0, 0 0. Тогда 0 — точка перегиба функции .

94 Гл. 7. Исследование поведения функций

Упражнение 1. Выяснить наличие наклонных и вертикальных асимптот у графиков функций 2 ,

1 .

§ 7.4. Построение графика функции

Построение графика функции рекомендуется проводить по следующей схеме.

1Æ Найти область определения функции, точки разрыва.

2Æ Найти асимптоты.

3Æ Построить приблизительный график функции.

4Æ Найти первую и вторую производные.

5Æ Найти точки, в которых эти производные не существуют или равны нулю.

6Æ Составить таблицу изменения знаков первой и второй производных.

7Æ Найти области возрастания и убывания функции и точки экстремума.

8Æ Найти интервалы выпуклости вверх (вниз) функции, точки перегиба.

9Æ Найти точки пересечения графика функции с осью ' , вычислить значения функции в точках экстремума и в точках перегиба.

10Æ Построить уточнённый график функции.

Составляем таблицу в соответствии с приведенной схемой:

Теорема 1. Пусть существуют пределы

где — числовая функция. Тогда существуют следующие пределы:

Д о к а з а т е л ь с т в о. Эти свойства можно вывести из свойств числовых функций, перейдя к соответствующим равенствам для координат векторов.

Эти свойства можно доказать и непосредственно, опираясь на определение предела вектор-функции. Установим для примера свойство 4Æ. Пусть 1 " 10, 2 " 20. Тогда 1 "

Имеем 1 " 2 " 10 20 10 α " 20 β "10 20 10 β " α " 20 α " β " при " "0,

так как

10 β " 10 β " 0, α " 20 α " 20 0,

α " β " α " β " 0

Определение 4. Пусть вектор-функция определена на"0 0 . Вектор 0 называют её пределом справа в точке "0, и пишут

Свойства 1Æ–4Æ верны и для односторонних пределов.

1) Наряду с обозначением 1, 2 для векторного произведения будет использоваться также 1 2.

4 О.В. Бесов

" "0 .

0

Из свойств пределов вектор-функций следует, что непрерывность вектор-функции равносильна непрерывности трёх числовых функций — её координат.

Теорема 2. Пусть вектор-функции 1, 2 и числовая функ-

ция непрерывны в точке "0. Тогда 1 2, 1, 1, 2 , 1, 2 непрерывны в точке "0.

Д о к а з а т е л ь с т в о следует из свойств пределов векторфункций.

Аналогично определению непрерывности даётся определение односторонней непрерывности. На этот случай переносятся и свойства, указанные в последней теореме.

Производная вектор-функции " , определённой на"0 , определяется как предел

"0 0 !0 ! !0 ,

0 !

если этот предел существует.

Если " " , " , . " , то, как легко видеть,

" " , " , . "

Односторонние производные вектор-функции определяются как соответствующие односторонние пределы отношения приращения вектор-функции к приращению аргумента.

Определение 6. Вектор-функция " , определённая на

"0 , называется дифференцируемой в точке "0, если существует такой вектор , что при " "0 " "0

"0 " "0 " ε " ",

где ε " при " 0.

Как и в случае числовых функций, показывается, что существование производной "0 и дифференцируемость в точке "0 — эквивалентные свойства и что "0 .

Дифференцируемость в точке "0 (существование "0 ) влечёт, очевидно, непрерывность в точке "0.

Дифференциалом вектор-функции в точке "0 называется линейная функция

+ "0 "0 +", +"

100 Гл. 8. Кривые в трёхмерном пространстве

Теорема 4 (формула Тейлора). Пусть существует "0 . Тогда существует окрестность "0 такая, что при " "0

" !0 " "0 ε " "0 " "0 ,

0 #

где ε " "0 при " "0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Каждую координату вектор-функции" " , " , . " заменим её разложением по формуле Тейлора. Полученное представление " запишем в виде суммы векторов, стоящих в правой части доказываемой формулы Тейлора.

Замечание 1. Модуль остаточного члена доказанной формулы Тейлора есть, конечно, * " "0 при " "0.

Определение 7. Вектор-функцию называют непрерывной

(дифференцируемой) на интервале или на отрезке, если она непрерывна (дифференцируема) в каждой точке интервала или соответственно отрезка. При этом непрерывность (дифференцируемость) в концах отрезка понимается как односторонняя.

Вектор-функцию называют непрерывно дифференцируемой в точке (на интервале, на отрезке), если непрерывна в точке (на интервале, на отрезке).

Мы видим, что многие свойства числовых функций переносятся на вектор-функции. Однако не так обстоит дело с формулой конечных приращений Лагранжа. В самом деле, пусть

" ", ", 0 , 0 " 2-. Тогда " ", ", 0 ,

" 1 и

2- 0 2- 0

ни при каком значении .

Справедлив, однако, векторный аналог оценки, вытекающей

. Тогда 1 и

, , ,

Рассмотрим функцию " " , . Для неё выполняются условия теоремы Лагранжа. Поэтому

,

,

Отсюда следует утверждение теоремы.

§ 8.2. Кривая

Будем считать, что в трёхмерном пространстве 3 фиксирована декартова прямоугольная система координат.

Определение 1. Множество точек 7 3 с конкретным его описанием:

7 " , " , . " " ,

где , , . — непрерывные функции на , , называется (непрерывной) кривой.

Говорят ещё, что кривой называется «непрерывное отображение отрезка в пространство 3 ». На разъяснении этого понятия здесь останавливаться не будем.

Подчеркнём, что кривая определяется не только положением множества точек в пространстве 3 , но и способом его задания.

Ту же кривую 7 можно задать в виде

Точка 3 называется кратной точкой (точкой самопе-

ресечения) кривой 7, если "1, "2 , , "1 "2: "1 "2

.

Кривая без кратных точек называется простой кривой (или

простой дугой).

Кривая 7 называется замкнутой кривой, или контуром, если . Контур называется простым контуром, если

из "1 "2 , "1 "2 следует "1 , "2 . Возрастание параметра " определяет некоторое направление

движения точки " по кривой (некоторый порядок прохождения точек кривой).

Поэтому говорят, что на кривой 7 задана ориентация, рассматриваемую кривую называют ориентированной кривой, точку — началом кривой, а точку — концом кривой.

Введём понятие касательной к кривой 7. Пусть "0, "0 ", . Проведём секущую через точки "0 , "0 " , и пусть

" — единичный вектор секущей, так что " , где