Добавил:

linnesse Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Математический анализ

Файл:

ЛпМА_Бесов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2024

Размер:

3.6 Mб

Скачать

☆

1 / 481 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

УДК 517 ББК 22.16

Б 53

Б е с о в О. В. Лекции по математическому анализу. —

М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014. — 480 с. — ISBN 978-5-9221-1506-3.

Учебник содержит материалы по теории пределов, дифференциальному и интегральному исчислению функций одного и нескольких переменных, числовым и функциональным рядам, тригонометрическим рядам Фурье, преобразованиям Фурье, элементам нормированных и гильбертовых пространств и другим темам. Он написан на основе лекций, в течение многих лет читаемых автором в МФТИ.

Рекомендовано Научно-методическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов вузов, обучающихся по направлениям 010400 «Прикладная математика и информатика», 010900 «Прикладные математика и физика».

	c
ISBN 978-5-9221-1506-3	ФИЗМАТЛИТ, 2014
ISBN 978-5-9221-1506-3	О.В. Бесов, 2014
	c

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . 10
Основные обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . 11
Г л а в а 1. Множество действительных чисел . . . . . . . . .	. . . 12
§ 1.1. Аксиоматика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . 12
§ 1.2. Верхние и нижние грани числовых множеств . . . . . . .	. . . 14
§ 1.3. Система вложенных отрезков . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . 16
§ 1.4. Связь между различными принципами непрерывности	. . . 17
§ 1.5. Счётные и несчётные множества . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . 18
Г л а в а 2. Предел последовательности . . . . . . . . . . . . . .	. . . 21
§ 2.1. Определение предела последовательности . . . . . . . . .	. . . 21
§ 2.2. Свойства пределов, связанные с неравенствами . . . . .	. . . 23
§ 2.3. Свойства пределов, связанные с арифметическими операци-
ями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . 24
§ 2.4. Предел монотонной последовательности . . . . . . . . . . .	. . . 25
§ 2.5. Число . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . 26
§ 2.6. Подпоследовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . 27
§ 2.7. Теорема Больцано–Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . 29
§ 2.8. Критерий Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . 30
§ 2.9. Изображение действительных чисел бесконечными	деся-
тичными дробями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . 31
Г л а в а 3. Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . 36
§ 3.1. Понятие функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . 36
§ 3.2. Элементарные функции и их классификация . . . . . . .	. . . 37
§ 3.3. Понятие предела функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . 38

4	Оглавление

§ 3.4. Свойства пределов функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	40
§ 3.5. Критерий Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	41
§ 3.6. Односторонние пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	42
§ 3.7. Пределы монотонных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	43
§ 3.8. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Срав-
нение функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	44
Г л а в а 4. Непрерывные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	47
§ 4.1. Непрерывность функции в точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	47
§ 4.2. Предел и непрерывность сложной функции . . . . . . . . . . .	48
§ 4.3. Односторонняя непрерывность и точки разрыва . . . . . . . .	49
§ 4.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке . . . . . . . . . .	50
§ 4.5. Обратные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	52
§ 4.6. Показательная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	55
§ 4.7. Логарифмическая и степенная функции . . . . . . . . . . . . . .	59
§ 4.8. Тригонометрические и обратные тригонометрические
функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	60
§ 4.9. Некоторые замечательные пределы . . . . . . . . . . . . . . . . .	61
Г л а в а 5. Производные и дифференциалы . . . . . . . . . . . . .	65
§ 5.1. Производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	65
§ 5.2. Дифференциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	66
§ 5.3. Геометрический смысл производной и дифференциала . . .	67
§ 5.4. Производная обратной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	70
§ 5.5. Производная сложной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	71
§ 5.6. Производные и дифференциалы высших порядков . . . . . .	73
Г л а в а 6. Свойства дифференцируемых функций . . . . . . . .	77
§ 6.1. Теоремы о среднем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	77
§ 6.2. Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	79
§ 6.3. Раскрытие неопределённостей (правило Лопиталя) . . . . . .	84
Г л а в а 7. Исследование поведения функций . . . . . . . . . . . .	88
§ 7.1. Монотонность и экстремумы функции . . . . . . . . . . . . . . .	88
§ 7.2. Выпуклость и точки перегиба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	90

Оглавление		5
§ 7.3. Асимптоты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . .	93
§ 7.4. Построение графика функции . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . .	94
Г л а в а 8. Кривые в трёхмерном пространстве . . . . . . . .	. . .	96
§ 8.1. Векторнозначные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . .	96
§ 8.2. Кривая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . .	101
§ 8.3. Длина дуги кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . .	104
§ 8.4. Кривизна, главная нормаль, соприкасающаяся плоскость .		106
Г л а в а 9. Неопределённый интеграл . . . . . . . . . . . . . . .	. . .	112
§ 9.1. Первообразная и неопределённый интеграл . . . . . . . .	. . .	112
§ 9.2. Методы интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . .	114
§ 9.3. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . .	115
§ 9.4. Разложение многочлена на множители . . . . . . . . . . . .	. . .	117
§ 9.5. Разложение правильных рациональных дробей на простей-
шие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . .	119
§ 9.6. Интегрирование рациональных дробей . . . . . . . . . . . .	. . .	121
§ 9.7. Интегрирование некоторых иррациональных функций . . .		123
Г л а в а 10. Функции многих переменных . . . . . . . . . . . .	. . .	127
§ 10.1. Метрическое пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . .	127
§ 10.2. Открытые и замкнутые множества . . . . . . . . . . . . . . .	. . .	131
§ 10.3. Предел функции многих переменных . . . . . . . . . . . . .	. . .	135
§ 10.4. Функции, непрерывные в точке . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . .	138
§ 10.5. Функции, непрерывные на множестве . . . . . . . . . . . .	. . .	140
Г л а в а 11. Дифференциальное исчисление функций	мно-
гих переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . .	144
§ 11.1. Частные производные и дифференцируемость функций мно-
гих переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . .	144
§ 11.2. Геометрический смысл дифференциала функции и	част-
ных производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . .	149
§ 11.3. Дифференцируемость сложной функции . . . . . . . . . .	. . .	150
§ 11.4. Производная по направлению и градиент . . . . . . . . . .	. . .	153
§ 11.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков		154
§ 11.6. Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . .	159

6		Оглавление
Г л а в а 12.	Неявные функции . . . . . . . . . . . . .		. . . . . . . . . . .	162
§ 12.1. Неявные функции, определяемые одним уравнением . . . .				162
§ 12.2. Система неявных функций . . . . . . . . . . . . .			. . . . . . . . . . .	167
§ 12.3. Дифференцируемые отображения . . . . . . . .			. . . . . . . . . . .	171
Г л а в а 13.	Экстремумы функций многих переменных . . . .			176
§ 13.1. Локальный экстремум . . . . . . . . . . . . . . . .			. . . . . . . . . . .	176
§ 13.2. Условный локальный экстремум . . . . . . . . .			. . . . . . . . . . .	181
Г л а в а 14.	Определённый интеграл . . . . . . . .		. . . . . . . . . . .	188
§ 14.1. Понятие определённого интеграла . . . . . . .			. . . . . . . . . . .	188
§ 14.2. Критерий интегрируемости функции . . . . .			. . . . . . . . . . .	190
§ 14.3. Свойства интегрируемых функций . . . . . . .			. . . . . . . . . . .	195
§ 14.4. Связь между определённым и неопределённым интегралами				200
§ 14.5. Замена переменного и интегрирование по частям . . . . . . .				203
§ 14.6. Приложения определённого интеграла . . . .			. . . . . . . . . . .	205
§ 14.7. Несобственные интегралы . . . . . . . . . . . . .			. . . . . . . . . . .	211
§ 14.8. Приближение		интегрируемых функций	ступенчатыми
и непрерывными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			. . . . . . . . . . .	220
Г л а в а 15.	Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . .		. . . . . . . . . . .	225
§ 15.1. Сходимость числового ряда . . . . . . . . . . . . .			. . . . . . . . . .	225
§ 15.2. Числовые ряды с неотрицательными членами . . . . . . . . . .				227
§ 15.3. Абсолютно сходящиеся ряды . . . . . . . . . . . .			. . . . . . . . . .	233
§ 15.4. Сходящиеся знакопеременные ряды . . . . . . .			. . . . . . . . . .	236
§ 15.5. Последовательности и ряды с комплексными членами . . .				241
Г л а в а 16.	Функциональные последовательности и ряды . .			243
§ 16.1. Равномерная		сходимость функциональных	последователь-
ностей и рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			. . . . . . . . . .	243
§ 16.2. Признаки равномерной сходимости рядов . . .			. . . . . . . . . .	247
§ 16.3. Свойства равномерно сходящихся последовательностей
и рядов . . . .		. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . .	251

Оглавление	7
Г л а в а 17. Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	255
§ 17.1. Свойства степенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	255
§ 17.2. Аналитические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	259
§ 17.3. Разложение функций в ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . .	260
§ 17.4. Функции , , комплексного переменного . . . . .	267
Г л а в а 18. Мера множеств в метрическом пространстве	271
§ 18.1. Определение меры по Жордану . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	271
§ 18.2. Свойства множеств, измеримых по Жордану . . . . . . . . . .	275
Г л а в а 19. Кратные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	281
§ 19.1. Определение кратного интеграла и критерий интегрируемо-
сти функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	281
§ 19.2. Свойства кратного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	286
§ 19.3. Сведение кратного интеграла к повторному . . . . . . . . . . .	289
§ 19.4. Геометрический смысл модуля якобиана отображения . . .	293
§ 19.5. Замена переменных в кратном интеграле . . . . . . . . . . . . .	297
Г л а в а 20. Криволинейные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . .	304
§ 20.1. Криволинейные интегралы первого рода . . . . . . . . . . . . . .	304
§ 20.2. Криволинейные интегралы второго рода . . . . . . . . . . . . . .	306
§ 20.3. Формула Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	311
§ 20.4. Геометрический смысл знака якобиана плоского отображе-
ния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	322
§ 20.5. Потенциальные векторные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	326
Г л а в а 21. Элементы теории поверхностей . . . . . . . . . . . . .	332
§ 21.1. Гладкие поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	332
§ 21.2. Касательная плоскость и нормальная прямая . . . . . . . . . .	335
§ 21.3. Преобразование параметров гладкой поверхности . . . . . . .	337
§ 21.4. Ориентация гладкой поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	338
§ 21.5. Первая квадратичная форма гладкой поверхности . . . . . .	339
§ 21.6. Неявно заданные гладкие поверхности . . . . . . . . . . . . . . .	340
§ 21.7. Кусочно-гладкие поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	341

8	Оглавление
Г л а в а 22.	Поверхностные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . .	346
§ 22.1. Поверхностные интегралы первого рода . . . . . . . . . . . . . .		346
§ 22.2. Поверхностные интегралы второго рода . . . . . . . . . . . . . .		349
Г л а в а 23.	Скалярные и векторные поля . . . . . . . . . . . . . . .	351
§ 23.1. Основные скалярные и векторные поля . . . . . . . . . . . . . .		351
§ 23.2. Формула Гаусса–Остроградского . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		353
§ 23.3. Формула Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		358
§ 23.4. Потенциальные векторные поля (продолжение) . . . . . . . .		361
Г л а в а 24.	Тригонометрические ряды Фурье . . . . . . . . . . . .	365
§ 24.1. Определение ряда Фурье и принцип локализации . . . . . .		365
§ 24.2. Сходимость ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		370
§ 24.3. Приближение непрерывных функций многочленами . . . . .		378
§ 24.4. Почленное дифференцирование и интегрирование; убыва-
ние коэффициентов и остатка ряда Фурье . . . . . . . . . . .		381
§ 24.5. Ряды Фурье 2 -периодических функций. Комплексная фор-
ма рядов Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		390
Г л а в а 25.	Метрические, нормированные и гильбертовы
пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		393
§ 25.1. Метрические и нормированные пространства . . . . . . . . . .		393
§ 25.2. Пространства 1, 2, 1, 2, 1, 2 . . . . . . . . . . .		399
§ 25.3. Евклидовы и гильбертовы пространства . . . . . . . . . . . . . .		406
§ 25.4. Ортогональные системы и ряды Фурье по ним . . . . . . . . .		410
Г л а в а 26.	Интегралы, зависящие от параметра . . . . . . . . .	422
§ 26.1. Интегралы Римана, зависящие от параметра . . . . . . . . . .		422
§ 26.2. Равномерная сходимость функции на множестве . . . . . . .		426
§ 26.3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра . . . . .		428
Г л а в а 27.	Интеграл Фурье и преобразование Фурье . . . . .	439
§ 27.1. Интеграл Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		439
§ 27.2. Преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		445

Оглавление	9
Г л а в а 28. Обобщённые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	449
§ 28.1. Пространства и основных и обобщённых функций .	449
§ 28.2. Дифференцирование обобщённых функций . . . . . . . . . . .	453
§ 28.3. Пространства и основных и обобщённых функций . .	455
Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	459
Производные основных элементарных функций . . . . . . . . . . .	459
Простейшие неопределённые интегралы . . . . . . . . . . . . . . . .	460
Формулы Тейлора для основных элементарных функций . . . .	461
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	462

Предисловие

Настоящий учебник написан на основе лекций автора, читаемых студентам Московского физико-технического института (государственного университета).

Отбор и порядок следования основных тем математического анализа и их содержание соответствуют Государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования по направлению и специальности «Прикладная математика и физика». Книга может быть использована студентами физико-математических, а также инженерно-физических специальностей и направлений с повышенной подготовкой по математике.

В ряде вопросов изложение несколько отличается от стандартного в сторону его упрощения, уточнения или доходчивости. В изложении доказательств теорем и лемм автор стремился к сравнительной краткости (не в ущерб завершённости), полагая, что необходимое обдумывание читаемого будет способствовать лучшему пониманию и усвоению материала. При изучении курса настоятельно рекомендуются самостоятельное выполнение предлагаемых упражнений и тщательный разбор примеров.

Автор благодарит профессоров А.А. Абрамова, Б.И. Голубова, С.А. Теляковского за конструктивные обсуждения ряда вопросов, изложенных в книге, и Т.Е. Денисову, прочитавшую рукопись всей книги и сделавшую много полезных замечаний, способствовавших её улучшению, а также сотрудника кафедры высшей математики МФТИ А.В. Полозова, взявшего на себя нелёгкий труд по подготовке рукописи к печати.

Основные обозначения

Для сокращения записи используются следующие обозначения:

— «для каждого», «для любого», «для всех» (от англ. All);

— «существует», «найдётся» (от англ. Exists);

— «такой, что», «такие, что»;, — «по обозначению равно» 1);

— «соответствует», «поставлено в соответствие»;

— «следует»;

— «равносильно».

Множество является одним из исходных понятий в математике, оно не определяется. Вместо слова «множество» говорят «набор», «совокупность», «собрание». Множество состоит из объектов, которые принято называть его элементами. Вводится также пустое множество как множество, не содержащее ни одного элемента. Множества

часто обозначают прописными буквами		, , , ..., а элементы мно-
жеств — строчными. Запись	, или	означает, что элемент
содержится во множестве	, принадлежит		, множество
содержит элемент . Запись означает, что множество				не
содержит элемента .			является под-
Запись , означает, что множество
множеством множества , т. е. что			. Если и

, то пишут . Запись означает, что и — это один и тот же элемент.

Примеры множеств: — множество всех действительных чисел,

2 1 , 1, 2, ... , , ... .

(объединение множеств и ) — множество, состоящее из всех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств , ;

(пересечение множеств и ) — множество, состоящее из всех элементов, каждый из которых принадлежит как множеству ,

так и множеству ;
(разность множеств	и ) — множество, состоящее из
всех элементов, каждый из которых принадлежит множеству		и не
принадлежит множеству .

В книге все теоремы, определения и т. п. нумеруются автономно внутри каждого параграфа. При ссылке на теорему (лемму и т.п.) из другого параграфа его номер указывается следующим образом: например, для теоремы 3 из § 14.8 используется обозначение «теорема 14.8.3».

1) Двоеточие ставится со стороны определяемого объекта.

1 / 481 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
28.12.20243.6 Mб2ЛпМА_Бесов.pdf
#
28.12.2024102.1 Кб0обозначения.pdf