Введение

Цель работы: реализовать алгоритм поиска минимального остова на основе алгоритма Краскала (Крускала). Продемонстрировать знания следующих вопросов:

- сортировка,

- обход графов,

- хранение графов,

- построение системы непересекающихся множеств.

Входные данные - любой текстовый файл, содержащий матрицу смежности графа в виде:

A B C

0 3 1

3 0 2

1 2 0

где первая строка содержит через пробел список всех рёбер, за которым следует матрица смежности. В матрице значение 0 стоит, если ребра между вершинами нет, положительный вес, если ребро идёт из вершины для этой строки.

Результат в виде отсортированных по имени пар и суммарный вес:

A C

B C

3

Максимальный размер входных данных: 50 вершин. Вершины могут быть заданы любой текстовой последовательностью без пробелов. Вес ребра ограничен интервалом от 1 до 1023 включительно.

В работе используется язык программирования Python с применением стандартных библиотек, а также структуры данных и алгоритмы, реализованные в рамках работы над лабораторными работами.

1. Система непересекающихся множеств

1.1 Описание структуры

Система непересекающихся множеств (англ. disjoint-set, или union–find data structure) — структура данных, которая позволяет администрировать множество элементов, разбитое на непересекающиеся подмножества. При этом каждому подмножеству назначается его представитель — элемент этого подмножества.

В структуре определены две операции:

1. union(x, y) — объединяет множества, содержащие x и y.

2. find(x) — возвращает представителя множества, в котором находится x.

Система непересекающихся множеств может быть реализована несколькими способами. В курсовой работе выбран способ реализации с помощью массивов.

Множество элементов хранится с помощью деревьев. Одно дерево соответствует одному множеству.

Заводится родительский массив, где для каждого элемента хранится ссылка на его предка. Корни деревьев ссылаются сами на себя и являются представителями этого множества.

Чтобы создать новый элемент, создаётся дерево с корнем в данной вершине, а её предком будет являться она сама.

Для объединения двух множеств сначала находятся лидеры этих множеств (то есть родители или корни). Если они совпали – множества уже объединены. Иначе – один из лидеров становится ребёнком второго.

Описанная версия алгоритма не является эффективной, она работает за O(n).

1.2 Способы оптимизации

Первый способ – объединение по рангу.

В реализации, описанной выше, выбор множества для объединения происходил случайно. Теперь для каждой вершины будем хранить её ранг.

Рангом в данном случае называем размеры поддеревьев вершины.

При объединении присоединение происходит к дереву с большим рангом.

При применении данного способа оптимизации мы ограничиваем высоту дерева до O(log n), а соответственно и асимптотику для операции нахождения корня.

Второй способ – сжатие пути.

При возвращении из рекурсивной функции будем записывать текущее значение родителя в узел. Таким образом, узел сразу же получит ссылку на своего самого высокого предка. Сжатие пути улучшает асимптотику до O(log n) в среднем случае.