Практическая работа №1 Исследование двумерного нормального распределения
Выполнил студент . Вариант №11
Цель работы
Исследовать свойства двумерного случайного вектора имеющего нормальное распределение, овладеть навыками преобразования нормального вектора в стандартный и в вектор с независимыми компонентами.
Основные теоретические положения
Плотность нормального распределения:
Многомерное нормальное распределение |
|
|
|
|
|
|
|||
Определение: Случайный вектор |
|
имеет многомерное нормальное распределение, если существует вектор независимых стандартных нормальных случайных величин |
вещественный вектор |
и ненулевая матрица |
размера такая, что |
, |
|||
где - вектор мат ожиданий, |
- матрица ковариаций, |
|
|
|
|
||||
Плотность случайного вектора: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Независимое распределение
Условное распределение
, где
Аффинное преобразование
Это такое преобразование, которое переводит вектор в стандартный нормальный.
|
, |
|
|
где |
, |
|
|
где |
- квадратичная матрица размером как вектор (в данном случае |
), |
- смещение |
Постановка задачи
Плотность двумерного нормального распределения имеет вид:
1.Вычислить вектор математических ожиданий и ковариационные характеристики данного случайного вектора. Построить график плотности распределения
2.Найти аффинное преобразование, переводящее исходный случайный вектор в стандартный нормальный
3.Найти ортогональное преобразование, переводящее соответствующий центрированный случайный вектор в вектор с независимыми компонентами. Построить график плотности полученного распределения
4. |
Вычислить характеристики совместного распределения случайного вектора |
и записать его плотность. Построить график плотности полученного распределения. |
|
5. |
Найти условное распределение при условии . Вычислить |
и |
. |
Выполнение работы
Каждый пункт работы выполняется с помощью кода.
Задание 1
Преобразуем полином из начала:
Отсюда получаем вектор математического ожидания:
Получим обратную матрицу:
Вычислим значение :
Отсюда получаем, что функция распределения имеет вид:
In [5]: import numpy as np
from mpl_toolkits import mplot3d import matplotlib.pyplot as plt from math import pi, e
def func(x,y):
return 5*3**0.5/(4*pi)*e**(-0.5*(3*x**2-3*x*y+7*y**2+9*x-17*y+13))
x=np.linspace(-3,3,50) y=np.linspace(-3,3,50) X, Y = np.meshgrid(x, y) Z = func(X,Y)
fig = plt.figure()
ax = plt.axes(projection ='3d') ax.plot_wireframe(X,Y,Z, color ='green') ax.set_title('Graph 1');
plt.show()
#https://www.geeksforgeeks.org/three-dimensional-plotting-in-python-using-matplotlib/
Задание 2
Стандартное нормально распределение:
Проверим:
Задание 3
Отсюда получаем, что:
Найдем собственные вектора: 1.
2.
Составим уравнение плотности, используя ковариационную матрицу:
In [1]: import numpy as np
from mpl_toolkits import mplot3d import matplotlib.pyplot as plt from math import pi, e
def func(x,y):
return 5*3**0.5/(4*pi)*e**(-0.5*(2.5*(x+4/(10)**0.5)**2+7.5*(y-2/(10)**0.5)**2))
x=np.linspace(-3,3,50) y=np.linspace(-3,3,50) X, Y = np.meshgrid(x, y) Z = func(X,Y)
fig = plt.figure()
ax = plt.axes(projection ='3d') ax.plot_wireframe(X,Y,Z, color ='green') ax.set_title('Graph 2');
plt.show()
#https://www.geeksforgeeks.org/three-dimensional-plotting-in-python-using-matplotlib/
Задание 4
Найдем вектор мат ожидания:
Отсюда получаем, что:
Посчитаем плотность:
In [2]: import numpy as np
from mpl_toolkits import mplot3d import matplotlib.pyplot as plt from math import pi, e
def func(x,y):
return 4*3**0.5/(3*pi)*e**(-(1/200)*( 37*(x+7)**2 +44*(x+7)*(y-2) + (103/4)*(y-2)**2) )
x=np.linspace(-10,10,50) y=np.linspace(-10,10,50) X, Y = np.meshgrid(x, y) Z = func(X,Y)
fig = plt.figure()
ax = plt.axes(projection ='3d') ax.plot_wireframe(X,Y,Z, color ='green') ax.set_title('Graph 3');
plt.show()
#https://www.geeksforgeeks.org/three-dimensional-plotting-in-python-using-matplotlib/
Задание 5
Из первого задания известно:
Распределение при условии:
, где
Отсюда получаем, что:
Согласно формуле |
получаем, что |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выводы
В результате работы был вычислен вектор математических ожиданий равный , а также ковариациионные характеристики случайного вектора равные соответственно. Было выполнено аффинное преобразование, переводящее исходный случайный вектор в
стандартный нормальный. В данной работе, кроме всего вышеперечисленного, было выполнено ортогональное преобразование, переводящее соответствующий центрированный случайный вектор в вектор с независимыми компонентами. А также найдены характеристики и плотность совместного распределения заданного случайного вектора. В конце работы были получены математическое ожидание и дисперсия при условии :
Кроме этого были получены базовые умения работы с программным обеспечением "Jupyter-notebook"