5. Сечение цилиндра плоскостью.
Задано:
в декарт. черт.1
Требуется: рассчитать и начертить изометрическую проекцию.
Решение:
В изометрии коэффицент искажения по главным осям равен 1. Основание цилиндра – окружность, в изометрии – эллипс (см. раздел окружность «Математика в изометрии»).
Откладываем по оси Z
отрезки AA1;
BB1;
CC1;
DD1;
B1E1;
OO1.
В косоугольном треугольнике A1B1E1
по теореме косинусов имеем;
C1D1;
A1E1
– являются сопряжёнными диаметрами
искомого эллипса. Обозначим A1O1
-
C1O1
-
;
по теореме Аполлония:
;
;
В косоугольном треугольнике С1B1О1
по теореме синусов имеем;
;
;
;
;
подставляем все значения в систему
уравнений и решаем относительно
;
.
По найденным полуосям делаем расчёт
(см. раздел эллипс в «Математика в
изометрии»), получаем;
чертим декарт. черт.2
-14-
Полученные данные подставляем в уравнение преобразования системы координат;
;
;
;
;
;
получаем конечный результат черт.3
-15-
Для нахождения образующих, касательных к сечению, решим систему уравнений:
;
;
;
возводим в квадрат, подставляем х=61,2, решаем квадратное уравнение относительно у получаем при высокой степе точности исходных значений
у=7,1. Координаты т.М1(у=110-7,1=102,9; х=61,2). Координаты т.N1(у=110+7,1=117,1; х=-61,2)
-16-
6. Сечение конуса плоскостью.
Задано: конус
в декарт.
Требуется: рассчитать и начертить изометрическую проекцию.
Жирными линиями выделены
отрезки
,
необходимые для построения изометрии.
Найдём их численные значения.
;
;
;
;
;
;
;
черт.1
-17-
По заданным и полученным данным чертим изометрическую проекцию.
Окружность
в изометрии будет эллипс с полуосями
-18-
черт.4
Жирным на чертежах 3, 4 выделены отрезки, угол ω и положение точки Оэ, которые следует найти.
;
;
;
;
подставляем численные значения, находим:
получили
полуоси искомого эллипса. Начертим
данный эллипс в декарт с нанасением
сопряжённых диаметров
.
(черт.4)
;
находим решая систему уравнений:
;
между полуосью
сопряженного
диаметра и
большой
полуосью.
между полуосью
-
сопряженного диаметра и
- большой полуосью.
(подробный расчёт см. раздел эллипс в
изометрии)
Определим положение точки Оэ – центра искомого сечения-эллипса.
Для этого найдём координаты т. Р
;
;
;
;
.
Подставим данные параметры в уравнение
преобразование координат:
;
где
;
параметрическое уравнение эллипса
- задаваемый параметр (0-360°)
получим сечение-эллипс на чертеже3.
-19-
Рассчитаем точки касания прямых к
основанию.Уравнение касательной к
эллипсу основания
тогда при
,
получаем
;
.
Эти же прямые будут и касательными к сечению-эллипс.
; .
-20-
-21-