3. Сфера. Расчёт уравнения огибающей сечений сферы. Задано: окружность в декарт.
Найти: уравнение огибающей семейства
линий сечений сферы
плоскостью XY , решить
численно, начертить в изометрии.
черт.1
-5-
Окружность в изометрии – эллипс с полуосями ;
(см. раздел 1. Окружность «Математика
изометрии...»). На черт.1 сплошной линией
начерчена окружность
в изометрической плоскости XY
при
,
пунктиром – параметры окружности из
семейства кривых сечений сферы в
изометрической плоскости XY
в зависимости от переменного фиксированного
значения Cz (в данном
случае
),
изменяющегося по оси Z, в
декартовых координатах в данном случае
она совпадает с осью Yд.
Для того чтобы найти параметры эллипса
в сечении сферы при Cz
нужно решить систему уравнений:
;
;
;
подставляем (2) в (1) получаем квадратное
уравнение
решаем относительно
:
обозначим
;
;
;
;
выделим Cz , обозначим
;
;
;
;
после подстановки получим:
;
далее находим радиус сопряжённого
диаметра эллипса соответствующего
сечения при Cz;
;
и
полуоси эллипса сечения при заданном
значении Сz:
;
;
обозначим,
;
;
подставим, получим;
;
уравнение семейства кривых(эллипсов)
- сечений сферы в изометрической плоскости
XY при переменном
фиксированном значении Сz
в параметрическом виде :
или в неявном виде:
(3)
Уравнение огибающей находим из системы
уравнений:
приведём уравнение (3) к виду удобному для дифференцирования по Cz.
После громоздких преобразований получим приведённую формулу, удобную для дифференцирования:
(5)
Производная по Сz:
;
подставляем в (5), получим
после упрощений:
;
или
-6-
подставим численные значения получим;
или
;
Огибающей является окружность радиусом .
3.1 Эллипсоид вращения вытянутый.
Задано: эллипс в декарт ; , который в изометрии представлен на черт. 1 (расчёт эллипса в изометрии см. «Математика изометрии…» раздел 2.)
Требуется: рассчитать огибающую семейства сечений эллипса плоскостью параллельной XY в зависимости от переменного фиксированнного параметра Сz, начертить эллипсоид вращения вокруг большой полуоси , расположенной оси Z
черт.1
-7-
Уравнение эллипса с учётом поворота :
;
;
- уравнение прямой секущей плоскости
XZ плоскости параллельной
оси XY при переменном
фиксированном параметре – Cz
(в данном случае на черт.1 Cz=0).
Решим систему уравнений относительно
х, подставив (2) в (1);
после алгебраических преобразований получим квадратное уравнение с коэффицентами;
подставим коэффиценты в уравнение
;
выделим переменный параметр
,
и произведём замены для упрощения и
наглядности:
-8-
;
;
получим;
;
тогда полуось сопряжённого диаметра
эллипса сечения XY будет
равна:
;
;
т.к. эллипсоид вращения, то в плоскости
XY будет окружность, которая
в изометрии - эллипс с полуосями;
;
последовательно подставляем, получаем:
; обозначим
;
;
обозначим
Запишем уравнение семейства кривых в
параметрическом виде:
;
или в неявном виде:
.
последовательно подставляем, получаем:
;
или в общем виде:
(3)
-9-
Уравнение огибающей находим из системы
уравнений:
приведём уравнение (3) к виду удобному для дифференцирования по Cz.
После громоздких преобразований получим приведённую формулу, удобную для дифференцирования:
(5)
Производная по Сz: ; подставляем в (5), получим
после упрощений:
;
или
;
3.2 Алгоритм расчёта эллипсоида вращения сплющенного аналогичен, по оси Z откладывается полуось .
Калькулятор расчёта огибающей сферы, эллипсоидов вращения см. файл Excel.
-10-
Касательная к окружности в декарт.
Задано: окружность
;
точка
Найти координаты точек касания
прямых к окружности из точки
;
при
,
,
тогда
;
2. Касательная к окружности в декарт из произвольной точки с поворотом и смещением центра окружности.
Задано: окружность центр
;
;
точка
Найти координаты точек касания прямых к окружности из точки
;
Совместим центр окружности
с центром координат О и
с осью Y. и найдём координаты
точек касания.
;
при
,
,
тогда
;
-11-
Теперь подставим значения
в уравнения поворота со смещением;
;
:
для
для
Перенос центра осей (или любой другой точки) изометрической проекции в декартовую систему координат со смещением. Расчёт приведён для оси XY.
Задано: точка О с координатами (хо, уо) ; смещение а=50, b=75 в изометрии.
Найти
положение точки О1
в декартовых координатах.
Для этого решим систему уравнений
;
;
;
подставляем численные значения с учётом
знаков, получаем:
Касательная к эллипсу со смещением осей декарт или конус в изометрии сосмещением осей.
Задано: конус в декартовых координатах
с параметрами
Рассчитать и начертить изометрическую проекцию конуса в плоскости XY со смещением по осям изометрии х=75, у=-50
Окружность в изометрии - эллипс с
полуосями;
Сначала чертим изометрическую проекцию конуса с центром основания в точке начала координат изометрии.
-12-
Далее находим точки касания образующих к основанию.
Вариант 1.
Уравнение касательной к эллипсу
тогда при
,
получаем
;
Вариант 2. Решение системы уравнений
;
;
;
;
;
решаем уравнение относительно
Избавляемся от дробей, корней, возводим
в степень, получаем:
Этот вариант сложнее, но универсальнее.
Теперь смещаем все заданные и полученные параметры на рассчитанные выше величины.
;
получаем конус в изометрии со смещением.
-13-