Математика изометрии. Новая редакция 22 декабрь 2024г.
Раздел1. Окружность.
Задано:
.в
декарт
Требуется: рассчитать и начертить окружность в изометрии.
В изометрии коэффициент искажения по
осям берут равным 1. Отложим по положительным
ветвям осей X, Y
изометрии радиусы заданной окружности
,
которые являются полуосями сопряжённых
диаметров искомого эллипса.
По теореме Аполлония:
;
(1)
Где
;
полуоси сопряжённых диаметров;
;
полуоси искомого эллипса
-
острый угол между полуосью
сопряжённого диаметра и осью Хд
-
острый угол между полуосью
сопряжённого диаметра и осью Хд
Т.к. угол между осями в изометрии равен
120°, то
Решаем систему уравнений (1)
;
;
заменим
и приведём к виду
;
;
;
;
Подставляем, получаем:
;
,
;
,
таким образом получили известные
коэффиценты пересчёта окружности из
декарт в изометрию.
Полуоси найдены, чертим эллипс в плоскости XY, применяя уравнение эллипса в параметрическом виде:
;
- задаваемый параметр 0÷360°;
Для построения эллипса в плоскостях XZ, YZ изометрии рассчитываем координаты, используя формулы поворота:
для
плоскости XZ,
для плоскости YZ.
-1-
Раздел 2. Эллипс в изометрии.
Задано: эллипс в декартовой системе
координат с полуосями:
;
Требуется: рассчитать и начертить эллипс в изометрической проекции.
Совместим на плоскости оси декарт и изометрии черт.1
В изометрии коэффициент искажения по осям берут равным 1. Отложим по осям X, Y в изометрической проекции полуоси заданного эллипса. Они будут являться полуосями и сопряжённых диаметров искомого эллипса.
Черт. 1
По теореме Аполлония:
;
(1)
Где
;
полуоси сопряжённых диаметров
; полуоси искомого эллипса
- острый угол между полуосью и осью Хд
- острый угол между полуосью и осью Хд
Т.к. угол между осями изометрии равен 120°, то
-2-
Решаем систему уравнений (1)
;
;
заменим
и приведём к виду
;
;
;
;
Подставляем численные значения, получаем:
;
.
Чертим эллипс в декартовых координатах,
применив параметрическое уравнение
эллипса:
задаваемый параметр.
Теперь находим положение полуосей сопряжённых диаметров полученного эллипса, для этого решим системы уравнений:
(1)
;
;
;
;
подставляем численные значения,
получаем :
,
:
между полуосью
сопряженного
диаметра и
большой
полуосью полученного эллипса.
(2)
;
:
подставляем, получаем :
,
;
между полуосью
сопряженного
диаметра и
большой
полуосью полученного эллипса.
Убираем все вспомогательные линии и совмещаем полуось сопряжённого диаметра эллипса с осью Z в изометрии (для удобства расчёта эллипсоида вращения вокруг большой полуоси),
путём поворота на угол w.
;
-3-
Убираем все вспомогательные линии и совмещаем полуось сопряжённого диаметра эллипса с осью Z в изометрии (для удобства расчёта эллипсоида вращения вокруг малой полуоси),
путём поворота на угол w.
;
-4-
