Билеты / Матан 3 семестрр

Теорема 3.8. О дифференцировании функционального ряда.

∞

Пустьна отрезке [ ; ] заданряд ( ),

( )

[ ; ]

=1

= [ ; ]

все

[ ; ]

∞

. Пусть

1

и ряд сходится хотя бы в одной точке

также на

задан ряд

′ ( ),

=1

который равномерно сходится к функции ( ). Тогда ряд

∞

( )

=1

′

.

сходится на

равномерно к некоторой функции

и

Доказательство[ ; ]

. Т.к. сходимость ряда – это сходимость( ) ( последовательности) = ( )

{ ( )} ( )

∞

частичных сумм

{ ( )}, а для

этой последовательности выполняются все условия

теоремы 3.7, то

и

′( ) = ( ) = ′ ( ) при [ ; ].

=1

28) Определение 4.1.Параграф 4. Степенные ряды.

Ряд вида

∞

0 + 1 + 2 2

+ + + =

=0

Теорема 4.1. Теорема Абеля.

Если степенной ряд

∞

=0

|; | 0|).

сходится в точке = 0, то он сходится в интервале (−| 0

Глава 6

Доказательство. Т.к. ряд сходится в точке

, то выполняется необходимое

условие сходимости

= 0

при ≥

|

0

|

| <

.

lim

0

|

<

|

→∞

0

Воспользуемся теоремой сравнения:

| 0

при ≥

|

|

=

| ||

| <

| 0 |

|

| = 0

=

при | | < | 0|

= ,

где [0; 1)

|

|

< в

| |

<

| 0

|

ряд сходится.

области

этот ряд сходится0. Т.к. мы получили, что

(исходный ряд меньше

нового),

то

исходный

ряд

сходится.

Значит,

или

(−Теорема| 0|; | 0|)4.2. О радиусе сходимости

степенного ряда.

Если область сходимости степенного ряда есть ограниченное множество,

которое не сводится к одной точке

,

то существует число

,

называемое

радиусом сходимости степенного ряда,

такое, что при

ряд сходится (и

= 0

расходится.

при том абсолютно), а при

ряд (− ; )

(−∞; +∞)

Т.к. множество

не ограничено, то

(−∞; +∞)

0

Доказательство. 1. Пусть(область−∞; −сходимости) ( ; +∞)

ряда

> | 0

|

и множество

не

сходится, то по

| |

ограничено. Тогда ряд сходится при

.

Возьмём

.

=

{

}

0

и значит в точке

ряд сходится.

Ряд сходится в

:

(−| |;

| |)

(−| |; | |)

сказать, что

0.

существует

. Т.к. в точке

ряд

(−∞; +∞)

теореме Абеля ряд сходится в области

, а

{| |}

2. Пусть=область+∞

области

и можно

сходимости

ограничена.

Рассмотрим множество

ряд

sup{| |} =

. Тогда это

множество

будет

также ограничено. У всякого ограниченного

= {

}

(− ; )такой,

что

| 0

|

<(

Обозначим

.

Тогда

0

множества неотрицательных чисел есть

.

Покажем,

что

− <,

и есть

= −

| 0| > 0

| | {| |}

| |

.

радиус сходимости. Докажем, что при

сходится.

Пусть

принадлежат

(области

− ( − | 0|) = | 0| < | |

–

по

определению супремума)

или

. Т.к. либо

либо

сходимости), то, по крайней мере, в одной из них

Но по теореме Абеля ряд сходится и в области

,

а

ряд сходится.{ }

=

ряд

| | >

= sup{| |}

ряд

нет

точек,

где

принадлежит этой области. Итак, в

ряд сходится. Значит,

при – | |; | |

0

[−; ]

ряд расходится.

:

0

[−; ]

(−; и) вне

сходится. Докажем, что при

ряд расходится. Но

[−; ]

бы,

т.к.

,

поэтому при

таких

сходился

29)

Теорема 4.4. Теорема Коши-Адамара.

.

Если lim

|

| = , то:

Пусть заданстепеннойряд

∞

→∞

1)

=0

1

при (0; ∞) радиус сходимости ряда

=

;