Билеты / Матан 3 семестрр

25) Теорема 3.1.

О

предельном

переходе

в

равномерно

сходящихся

последовательностях.

0

– предельная точка множества .

{ ( )} Φ( ) при → ∞

Пусть на множестве

задана равномерно сходящаяся последовательность

Если lim

и

(для ),

то lim

= , lim Φ( ) и

( ) =

→0

→∞

→0

lim Φ( ) = =

lim

или

lim lim ( ) = lim

lim

( )

.

→0

→∞

→∞ →0

→0

→∞

||Т.е. порядок перехода к пределу по

и по

можно в равномерно сходящихся

||последовательностях менять.

Доказательство. Докажем, что существует

lim

.

→∞

иΦ( )

{ ( )}

Глава 6

критерий Коши. Возьмём

> 0

2

: для

′

и

′′ ≥

Т.к. последовательность сходится к

равномерно, то для

выполняется

рассмотрим

. Тогда

выполняется неравенство

| ′( )

− ′′( )| <

при .

Перейдём к пределу. Пусть

→ 0

(

0

может2и не принадлежать множеству

). По

условию существует

( )

=

lim

( ) =

.

lim

′

′

и,

соответственно,

′′

′′

→ 0

′ и

′′

→0

Получаем, что для

:

||В предельном переходе

все≥ строгие

неравенства становятся нестрогими.

{ }

| ′

− ′′| ≤

< .

Для последовательности

выполняется

критерий Коши, значит существует

2

= .

предел lim

. Обозначим lim

→∞

→∞

1)

Т.к.

Докажем, что lim Φ( ) = . Возьмём и рассмотрим 3.

→0

lim

= ,

≥

→∞

то

: для

|

− | < .

(1)

(1)

выполняется неравенство

2)

Т.к. ( ) Φ( ), то (2)

: для 3≥ (2) при выполняется

0

|

( ) − Φ( )| <

.

3)

Возьмём

> max (1); (2) . Тогда из

3

lim

( ) =

следует, что для 3

→0

0

0

0 < | − 0| < выполняется

= > 0 : для

:

0

( )

− 0 < .

3

|Φ( ) − |, где множеству 0 <

| − 0|

< .

Глава 6

Рассмотрим

− ≤

|Φ( )

− |

= Φ( )

+ 0

( )

+ 0

− 0( )

− 0

≤ 0

( )

− Φ( ) + 0( ) − 0

+ 0

− <

+

=

3 + 3

3

lim

Φ( )

= = lim

или

lim

lim

( ) = lim

lim

( ) .

→0

→∞

→0

→∞

→∞ →0

Теорема 3.2. Пусть ряд

∞

( )

Если для

=1

( )

0

– предельная точка множества

.

на множестве

равномерно сходится к

и

lim

существует

lim ( ) =

или lim

( ) = lim

( ).

( )

=

, то

→0

→0

∞

→0

∞

∞

→0

=1

=1

=1

||В этом случае знак предела и знак суммы ряда можно менять местами.

Доказательство. Рассмотрим ( )

= 1( )

+ 2( )

+ + ( ). Тогда

lim

( )

lim

( ) = .

( ) = lim

→0

=1

→0

→0

сумм { ( )}

выполняются все условия

Тогда для последовательности частичных

теоремы 3.1 и, значит,

lim

lim

( ) = lim lim

( )

.

lim

( ) = lim

( )

→0

→∞

→∞ →0

→0

∞

∞

→0

=1

=1

последовательности.

{ ( )}

все

( )

непрерывны[ ; ]

[ ; ]

{ ( )} Φ( )

, [ ; ]

Пусть на отрезке

задана функциональная последовательность

,

на

и

.

Тогда при

последовательность

( ) Φ( ) .

Доказательство. Т.к. все

непрерывны, то они и интегрируемы. И т.к.

функция Φ( ) непрерывна (по

теореме 3.3), то существует интеграл

( )

Φ( ) .

( )

сходится к

Φ( ) ,

Глава 6

и при том равномерно. Возьмём > 0 и будем рассматривать ̃. Рассмотрим

− Φ( )| ≤

( ) − Φ( ) = ( )

− Φ( ) ≤ | ( )

: для|

( ) − Φ( )|

̃

≥

связано с

сходимостью.

Поэтому,

Выражение

равномерной

при

это выражение меньше .

≤ ̃ = ̃| − | ≤ ̃| − | ≤ < .

Значение ̃выбрано равным

.

2

Теорема

3.6.

Об

2| − |

равномерно

сходящегося

интегрируемости

функционального ряда.

Пусть на отрезке [ ; ] задан ряд

∞

( ),

( ряд)

=1

( )

для

,

[ ; ]

[ ; ]

. Тогда

все функции

непрерывны на

и ряд равномерно сходится к

∞

равномерно сходится к ( ) .

( )

=1

Доказательство. Сходимость ряда – это сходимость последовательности его

частичных сумм ( ), а все они – непрерывные функции

(т. к. ( ) = ( ) ), и { ( )} ( ).

следовательно,

=1

{ ( )}

выполняются все условия теоремы 3.5,

Значит,

для последовательности

lim

( )

lim

( ) =

( ) =

= ( )

lim

→∞

→∞

=1

→∞

=1

∞

Глава 6

=

.

( ) = ( )

=1

27) Теорема 3.7. О дифференцировании функциональной последовательности.

( .)

[ ; ]

задана функциональная последовательность

′

,

Пусть на отрезке

[ ; ]

=

[ ; ]

1

{ ( )}

где все

точке

[ ;и ]последовательность сходится хотя бы в одной{ ( )}

,

Пусть на

задана функциональная последовательность

равномерно сходится на

[ ; ]

к[ ; ]

( )

Φ′( ) = ( )

{ ( )}

равномерно

к

Φ( )

сходящаяся на

.

Тогда

последовательность

функции

и

.

|| 1[ ; ] – класс непрерывных и дифференцируемых на отрезке [ ; ]

Глава 6

функций.

Доказательство. Т.к. последовательность { ′ ( )}

можно интегрировать, то

′ ( ) = ( ) − ( ) или ( ) =

′ ( ) + ( ).

При → ∞

последовательность

′ ( )

сходится к g( )

(по теореме 3.5) и последовательность {

( )} сходится. Пусть

lim

( )

= .

Значит,

lim

( ) = lim

′

( ) + lim

( ) =

→∞

→∞

→∞

→∞

= ( )

+ = Φ( )

Φ′( ) =

( ) + = ( ).

> 0

̃

. Возьмём

докажем, что сходимость равномерная, т.е.

Теперь

и будем рассматривать

. Рассмотрим

{ ( )} Φ( )

| ( ) − Φ( )| = ′ ( ) + ( ) − ( ) + =

= ′ ( ) − ( ) + ( ) − ≤ | ′ ( ) − ( )| + | ( ) − | ≤

||рассматривать< ̃

≥

.

< ̃

≥

||1-й модуль

≥ max (1); (2) =

модуль

при

(2). Будем

при

(1).

2-й

≤

̃ + ̃= ̃| − | + ̃≤ ̃| − | + ̃=

<

Выбираем̃=

+ 1)

.

2

при

≥

и

2(| − |

{ ( )}

[ ; ]

Φ( )

[ ; ]

.

равномерно

Значит, последовательность

сходится на отрезке

к функции

.