Билеты / Матан 3 семестрр

6. Формула Грина

Пусть замкн., огран., квадрируемая обл. допускает разбиение на конеч. число элементарных обл. как 1-го и 2-го вида и огран. Замкн. контуром Γ. Пусть функции ( , ) и ( , ) 1( ). Тогда

Док-во: Разобьём область на конечное число элементарных областей 1-го типа. Если граница (1) есть Γ , то по лемме

Суммируем по всем :

По общим границам интегралы будут взаимно уничтожаться (т.к. направления обхода противоположные). Разобьём область на конечное число элементарных областей (2)

Просуммируем по всем и получим (действуя так же, как в 1-м случае):

По общим границам сумма интегралов так же равна 0. Складывая соотношения (1) и (2), получим

7. Условия независимости криволинейного интеграла 2-ого рода от пути интегрирования(на плоскости)

Теорема. О независимости криволинейного интеграла 2-го рода от вида кривой Γ. Пусть функции ( , ) и ( , )1( ), где – некоторая, квадрируемая, односвязная, замкнутая область. Тогда следующие 4 высказывания оказываются эквивалентными

1)По любому замкнутому контуру Γ

2)Если Γ , то значение интеграла

3)Существует функция ( , ), где ( , ) , такая, что

4)В любой точке области выполняется соотношение

Построим схему доказательства по принципу (1) (2) (3) (4) (1)

1)(1) (2). Пусть

Возьмём Γ (1) и Γ (2). Рассмотрим

Следовательно

т.е. интеграл не зависит от вида контура Γ, а только от расположения точек и .

Чтд

2) (2) (3). Пусть

. Рассм

где ( , ) – координаты точки . Рассмотрим

Совершенно аналогично рассматриваем и приращение по и находим:

Мы доказали, что существует функция ( , ), такая что

т.к. производные функций и непрерывны, то дифференциал существует. Отсюда получаем, что существует =

+ .

3) (3) (4). Т.к. дано, что = + и функции и имеют непрерывные производные, то существуют

Отсюда, в силу инвариантности 2-го дифференциала

5)(4) (1). В любой точке области G Рассмотрим интеграл, где Γ и по формуле Грина

Здесь область G c чертой находится внутри контура Γ. Здесь нам и

нужно свойство односвязности. ТЧД

8.Определение площади поверхности. Формулы вычисления площади поверхности

Определение Поверхность Σ называется гладкой, если в каждой её точке можно задать направление нормали. Определение Если при задании направления нормали в данной точке, при обходе по любому замкнутому контуру, на поверхности (если он не пересекает края поверхности) направление нормали при возвращении в исходную точку не меняется, то поверхность называется двусторонней.

Лемма. Пусть Σ – некоторая гладкая поверхность. Проведём T-разбиение этой поверхности: В каждой поверхности Σ выберем произвольно точку и в этих точках проведём касательные плоскости. Тогда при соответствующей мелкости разбиения все поверхности Σ будут однозначно ортогонально проектироваться на эти плоскости.

Определение площади поверхности. Пусть Σ – некоторая гладкая двусторонняя поверхность. Проведём T- разбиение этой поверхности

так, чтобы выполнялось условие предыдущей леммы. В каждой поверхности Σ выберем точку и проведём через касательную плоскость и спроектируем поверхность Σ на эту плоскость. Получим множество проекций , при этом площадь каждой из них будет пл . Составим сумму

не зависящий от выбора точек { }, то число называется площадью поверхности Σ.

Определение Пусть гладкая поверхность Σ однозначно проектируется на плоскость ( , ) (допустим, что Σ задана функцией = ( , ) 1( )). Проведём T-разбиение этой поверхности, выберем в каждой Σ произвольно точки и в каждой проведём касательную плоскость, но спроектируем на эти плоскости Σ проектируя их параллельно оси .

Тогда получим набор областей , и если существует предел не зависящий от выбора точек { }, то число назовём площадью поверхности Σ.

Теорема 1.1. Вычисление площади поверхности. Пусть гладкая поверхность Σ задана функцией = ( , )1( ) ( – область на плоскости ( , )). Тогда существует площадь поверхности Σ, равная и

При доказательстве будем использовать определение 1.4. Проведём разбиение поверхности на частичные поверхности:

В каждой из Σ выберем произвольно точки и в этих точках проведём касательные плоскости. Спроектируем каждую Σ на соответствующую ей касательную плоскость параллельно оси . Получим набор областей , площадь каждой из которых будет пл . Но одновременно при таком проектировании каждая из Σ однозначно проектируется на область и даёт частичную область .

Но тогда пл и пл оказываются связанными соотношением пл = пл |cos |. Где – угол между осью и нормалью к поверхности в точке . В этом случае координаты нормали определяются как

и значит По определению 1.4 получаем

Очевидно, что при → 0 и

мелкость разбиения для частичных областей { } также стремится к 0.

9. Определение поверхностного интеграла 1-ого рода. Теорема о его вычислении.

Определение 2.1. Пусть на гладкой двусторонней поверхности Σ задана функция ( ). Проведём T-разбиение этой поверхности, в каждой Σ выберем по точке и составим интегральную сумму

не зависящий от выбора точек { }, то это число называется поверхностным интегралом 1-

го рода и обозначается

Теорема 2.1. О сведении поверхностного интеграла 1-го рода к двойному интегралу. Пусть Σ – некоторая гладкая поверхность, задаваемая функцией = ( , ) 1( ), и на Σ задана непрерывная функция ( ). Тогда

Доказательство. Проведём T-разбиение поверхности Σ (одновременно получим и T- разбиение области ). Выберем в каждой частичной поверхности Σ произвольно точки (одновременно в появятся точки ( , )). Составим для интегралов в формуле ( ) следующие интегральные суммы:

Следует отметить, что интеграл справа в выражении ( ) всегда существует (т.к. все функции непрерывны). Пусть задано > 0 и возьмём ̃Рассмотрим.

10.Определение поверхностного интеграла 2-ого рода. Теорема о сведении его к двойному интегралу

Определение 3.1. Пусть на гладкой поверхности Σ задана вектор-функция ( ) = { ( ), ( ), ( )} и задана единичная нормаль к поверхности Тогда поверхностный

интеграл 1-го рода от скалярного произведения называется поверхностным интегралом 2-го рода и обозначается

Существует и другое определение поверхностного интеграла 2-го рода. Определение 3.2. Пусть на гладкой поверхности Σ, однозначно проектируемой на координатные плоскости, задана вектор-функция { , , }. Проведём T-разбиение поверхности Σ и составим 3 интегральные суммы. Пусть – произвольная точка в области

знаком “+” или “−” в зависимости от знака cos , где – угол между вектором и

вектором (единичный вектор из векторов , , ), где – единичная нормаль к поверхности Σ. Аналогично

не зависящий от набора точек { }, то число называется поверхностным интегралом 2-го рода и записывается как

Теорема 3.1. О сведении поверхностного интеграла 2-го рода к двойному интегралу. Пусть Σ – гладкая поверхность, задаваемая функцией = ( , ) 1( ) и вектор-функцией ( ) = { , , }, непрерывной на Σ. Тогда

Доказательство. Рассмотрим

, , – направляющие косинусы (cos , cos , cos

). Было показано, что