Билеты / матан

35. Поверхностные интегралы первого и второго рода и их вычисление.

Пусть Р – гладкая поверхность.

ОПР. Если для т. Мо Р и для замкнутого контура Р (Мо ), не пересекающего границу области Р, выбранное в т. Мо направление нормали не изменяется после обхода по контуру , то поверхность называется двусторонней, в противном случае – односторонней.

Гладкая поверхность является двусторонней. На такой поверхности будем различать 2 стороны: на одной = { , , }, на другой = {− , − , − }. Пусть на Р задана функция f(x, y, z).

Об. f(M)=f(x, y, z)

Разобьём поверхность P с помощью кусочно-гладких кривых на n равных частей

ОПР. Если предел интегральной суммы lim σ( , М, f) = I , то он называется по-

→0

верхностным интегралом I рода от функции f(M) по поверхности Р.

Об. I= Р f(x, y, z)

ОПР. lim σ( , М, f) = I = f(x, y, z)

→0 Р

> 0 > 0 : < М | − | <

Выберем на поверхности Р одну из двух сторон, т.е. одно из двух, противоположных по направлению, непрерывных полей нормалей.

Об. (М)= (x, y, z)

(М)= {cos x(M), cos y(M), cos z(M)}

x (M) - угол между (М) и положительным направлением оси Ох; y(M) - угол между (М) и положительным направлением оси Оy; z(M) - угол между (М) и положительным направлением оси Оz.

На Р задана непрерывная функция f(M)=f(x, y, z). Рассмотрим разбиение поверх-

̅̅̅̅̅

ности Р с помощью кусочно-гладких кривых на части Р (i=1, ). В каждом Р вы-

берем т. М и составим три интегральных суммы:1 ( , М, f)=∑=1 (М ) cos x(М ) S(Р );

2 ( , М, f)=∑=1 (М ) cos y(М ) S(Р );3 ( , М, f)=∑=1 (М ) cos z(М ) S(Р ).

̅̅̅̅̅

ОПР. Если существуют пределы интегральных сумм ( , М, f), i=1, , при d→0, то они называются поверхностными интегралами II рода от функции f(M) по выбранной стороне поверхности Р.

Об. 1= Р f(M)cos x(M) , 2= Р f(M)cos y(M) , 3= Р f(M)cos z(M) .

ОПР. Пусть дана векторная функция (М)= {P(M), Q(M), R(M)}.

1+ 2 + 3= (P(M)cos x(M) + Q(M)cos y(M) + R(M)cos z(M)) – называется об-

щим поверхностным интегралом II рода от векторной функции (М)= {P, Q, R} по выбранной стороне поверхности.

= ( , )

2)f(M)=f(x, y, z) непрерывна на Р,

тогда поверхностный интеграл I рода от функции f(M) по поверхности P и справедлива формула:

Выберем на каждом Р точки М Р и составим интегральную сумму для поверх-

ностного интеграла, стоящего в левой части (1)

( , М, f)= ∑=1 (М )S(Р ).

Двойной интеграл в правой части (1) существует в силу условий 1) и 2) [подынт. f - непрерывна].

Обозначим его = f(x( , ), y( , ), z( , ))√ 2 + 2 + 2 =

(по св-ву аддитивности) ∑=1 f(x( , ), y( , ), z( , ))√ 2 + 2 + 2 =

(из ф-лы среднего значения)

∑=1 f(x( , ), y( , ), z( , )) √ 2 + 2 + 2 = = ∑=1 ( )S(Р ), где К (x( , ), y( , ), z( , )).

Рассмотрим разность ( , М, f)- I=∑=1( (М ) − (К )) S(Р ).

Т.к. функция f(x, y, z) непрерывна на Р, то f(M) равномерно непрерывна на Р, т.е.

> 0 > 0: < М , К Р :

| (М ) − (К )| < S(P)ε ; | ( , М, f) − I| < S(P)ε ∑=1 S(Р )= ε, т.е.

lim σ( , М, f) = I ◄

→0

Т.к. при выбранной стороне поверхности поверхностный интеграл II рода является поверхностным интегралом I рода, то если выполнены условия Т 3.1, то поверхностный интеграл II рода от векторной ф-ции (М)= {P, Q, R} по поверхности Р и справедливо:

(P(M)cos x(M) + Q(M)cos y(M)R(M)cos z(M)) =

(P(M)cos x(M), +Q(M)cos y(M) + R(M)cos z(M))√ 2 + 2 + 2 =

с = √2+ 2+ 2

|с = √2+ 2+ 2|= ( + + )

с = √2+ 2+ 2

Для общего поверхностного интеграла используется выражение:( , , ) + ( , , ) + ( , , ) .

36. Понятие скалярного и векторного полей. Градиент, дивергенция, ротор и их свойства.

Опр. В области задано скалярное поле, если каждой точке М по некоторому закону ставится в соответствие определённое число u(М).

3: u(M)=u(x, y, z)

Опр. В области задано векторное поле, если М поставлен в соответствие по некоторому закону вектор а (М).

3: а (М)= а (x, y, z)={P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)}

Опр. Градиентом скалярного поля u(x, y, z) называется векторная функция

Вектор grad М указывает направление наибольшего роста u(M) в данной точке М, а |grad u|- скорость роста поля u(M) в этом направлении.

Опр. Векторное поле а (М) называется потенциальным, если его можно в области представить в виде а (М) = grad u(М).

Опр. Дивергенцией векторного поля а (М) = + + называется скалярная функция

div а= + +

Дивергенция характеризует плотность источников векторного поля в рассматриваемой точке.

Рассмотрим векторное поле а (М), определённое в области , и некоторую ку- сочно-гладкую поверхность P . Пусть (М)- непрерывное поле единичных нормалей на выбранной стороне поверхности Р.

Опр. Поверхностный интеграл (а, )dS называется потоком векторного поляа (М) через выбранную сторону поверхности Р.

Пусть замкнутая поверхность Р ограничивает область пространства G, тогда справедлива формула Остроградского-Гаусса:

(а, )dS= а

Рассмотрим векторное поле а (М), определённое в области , и некоторую ку- сочно-гладкую кривую с заданным направлением.

Опр. Криволинейный интеграл II рода (а(М), )dS называется циркуляцией векторного поля а вдоль кривой в заданном направлении.

Пусть − замкнутый контур, а Р – произвольная поверхность, границей которой является контур , а (М)- непрерывное поле единичных нормалей к поверхности Р, тогда справедлива формула Стокса:

(а, )= ( а, )dS,

где ориентация контура связана с ориентацией поверхности правилом правого винта (буравчика).