Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Векторный и тензорный анализ

Файл:

Билеты / матан

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.12.2024

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

30. Замена переменных в кратном интеграле. Полярные, цилиндрические и сфе-

рические координаты.

Пусть А ᶰ-измеримо по Жордану; (x) = ( , … ) (A)

̅̅̅̅̅

Пусть задано n скалярных функций

( , … ,

), k = 1, n опр-х и диф-х в

ᶰ

Это означает, что задана одна векторная функция : ᶰ → ᶰ

(t): → A , (t) С1( )

Опр. Пусть задана векторная ф (t): ᶰ → ᶰ,

(t) С1( )

1( )

…

Тогда

( ) =

2( )

…

наз

матрицей Якоби точки =

( )

(

)

( , … , ), а ее определитель det ( )

= ‖

‖

= ( ) наз Якобианом ( ) =

( 1,…, )

Т 1.5 О замене переменных в кратном интеграле Пусть ᶰ- открытое, измеримое множество

Пусть задана векторная ф ( ): → A ᶰ, где А-открытое, измеримое мнво и отображение : → A биективно(взаимооднозн.)

Пусть (t) С1( ), а скалярная ф (x) = (				, … )( : → )инт на (
			1
(A)) ;
Пусть ( ( )) \|det (t))\| (t);

Тогда	справедлива	формула	замены	переменных∫	( ) =

∫ ( ( ))|det (t))|

(Отображение : → A, удовл усл. Т 1.5 наз. регулярным отображением) ►без док-ва ◄

Опр. При замене переменных в кратном интеграле новые независимые переменные 1, … , наз криволинейными координатами.

Наиболее распространённые криволинейные координаты в пространстве.

1.Цилиндрические координаты

{ =					0≤ ≤∞,0≤ ≤
{ =					−∞≤ ≤∞
			=		−∞≤ ≤∞
			=			−	0
				( , , )		−	0
	(	)		( , , )

			= (r, φ, z)		= \|		0\| =
			= (r, φ, z)		= \|		0\| =
					0	0	1

= = φdz

2.	Сферические координаты
( , , ) → ( , , ),							0 ≤ ≤ ∞, 0 ≤ ≤
( , , ) → ( , , ),							0 ≤ ≤ (− /2 ≤ ≤ /2)
							0 ≤ ≤ (− /2 ≤ ≤ /2)
					=
					{ =
						=
	( ) =	( , , )			=
	( ) =	(r,θ,φ)			=
		(r,θ,φ)
							−
\|							\| = 2
			−				0
3.	Полярные координаты
					=
				{ = , > 0

								−\| =
	= \|				\| = \|			−\| =

31. Криволинейный интеграл I рода и его свойства. Его вычисление.

Рассматриваем в 2 (в n аналогично). Рассмотрим на Oxy:

: {x = x(t) , y = y(t)}, t [α,β].

x(t),y(t) C1[α,β] (непрерывно диф-мы по 1ой производной),

x’2(t)+y’2(t) ≠ 0 t [α,β]. – простая, гладкая, незамкнутая кривая. Пусть – измеримое по Жордану мн-во в 1 – спрямляемая кривая(можно вычислить

длину).

Рассмотрим разбиение P = { }

опр. на [α,β].

Выберем точки

[

, ],

̅̅̅̅̅

i 1, . Получим разбиение (P, ). Таким отвечают

−1

точки ( ( ), ( )) L

Об.

- длина дуги. Точкам отвечают точки ( ), ( ) . Пусть

−1

задана

функция

z =

f(x,y).

Составим интегральную

сумму

Ϭ(f, P, ) =

∑

( ( ), ( ))

Об. λ(P) = max , 1 i n

Опр. 1 Если lim

Ϭ(f, P, ) = , то он наз-ся криволинейным инт-лом I рода от ф-

(Р) 0

ции f по кривой ( ε>0 = (ε)>0 : разбиения (Р, ) : (Р) < => | Ϭ(f, P, ) – I| < ε)

Об. I=∫/ ( , )

Т 2.1

Пусть

1): {x=x(t) , y=y(t)}, t [α,β]; x(t),y(t) C1[α,β]; x’2(t)+y’2(t)≠0 t [α,β];

2)f(x,y) непрерывна на , – простая(не имеющая точек самопересечения), незамкнутая(начало и конец не совпадают).

Тогда криволинейный ин-л 1 рода от ф-ции f(x,y) по кривой L и справедливо:

	∫/ ( , ) =	∫β/ ( ( ), ( )) √
	∫/ ( , ) =	∫β/ ( ( ), ( )) √	′2	( ) + ′2( )	(1)
		α
► Отметим, что определенный ин-л Римана в правой части р-ва (1)					, т.к. подын-
тегральная ф-ция непрерывна.
Об.	lim Ϭ(f, P, ) = .
	(Р) 0

Рассмотрим разб. (Р, )

кривой L и составим интегральную сумму Ϭ(f, P, ) =

∑

( ( ), ( ))

и применим ф-лу длины дуги кривой(из 1курса)

′2

( )

′2

(

)

∫ −1 √

)) ∫

∑

Получаем Ϭ(f, P, ) =

( ( ), (

√ ′2( ) + ′2( )

−1

β/

Применим

св-во

аддитивности:

(

( ), ( )

)

√

′2( )

′2(

)

I=∫α

∑

(

( ), ( )

)

√

′2

( )

′2(

)

∫ti−1

Составим разность:

| Ϭ(f, P, ) − | =

− ∑ =1

=| ∑ ∫ ( ( ), ( )) √ ′2( ) + ′2( ) –

ti−1

∫titi−1 ( ( ), ( )) √ ′2( ) + ′2( ) |=

(св − во линейности)

∑

= |

∫

[ ( ( ), ( )) −

∫

(

)

( )

] √

′2

(

)

′2

(

)

ti−1

(св − во аддитивности )

∑

∫

| [ ( ( ), ( )) − ∫

(

)

( )

) ] | √

′2( )

′2(

)

ti−1

x(t), y(t) C1[α,β] => x'(t), y'(t) C[α,β] – непрерывны => x’(t), y’(t) – равномерно непрерывны на [α,β].

Заметим,

что

λ(P) = max

→ 0

=max

→0

, т.к.

′2

( )

′2

(

)

′2( )

′2

(

)

∫ √

≥ m , где m = min√

на [α,β]

−1

≥

≥ m

Т.о. ε>0 = (ε)>0 : <

| ( ( ), ( )) – ( (t), ( ))| <

, l – длина кривой

∑ =1 ∫ti √

∑ =1 = ◄

L => | Ϭ − I| <

′2( ) + ′2( )

ti−1

Замечание 1: Если – кусочно-гладкая, а f(x,y) – кусочно-непрерывная, то Т.1

остается в силе. Если – замкнутая кривая, то Т 2.1

остается в силе.

Замечание 2: : {y=y(x), x [a,b]} ∫

( , ) = ∫ ( , ( ) √1 + ′2( )

Замечание 3 L: r=r(φ)

α≤ φ ≤β

∫ ( , ) = ∫ ( φ, φ) √ 2(φ) + ′2(φ) φ

Св-ва криволин. интеграла I рода. Вследствие Т 2.1, те же св-ва, что и у интеграла Римана.

1.Линейность:

∫( , ) + ( , ) = ∫ ( , ) + ∫ ( , )

2. Аддитивность:

∫ ( , ) =∫ ( , ) + ∫ ( , )

3. Св-во с модулем:

|∫ ( , ) |≤ ∫ | ( , )|

4.Ф-ла среднего значения:

Если f(x,y) непрерывна на , то

(x’,y’) ∫ ( , ) = ( ′, ′) ∫ = f(x’,y’) *

32. Криволинейный интеграл II рода. Его вычисление.

Рассматриваем в 2 (в n аналогично). Рассмотрим на Oxy:

: {x = x(t) , y = y(t)}, t [α,β].

x(t),y(t) C1[α,β] (непрерывно диф-мы по 1ой производной),

x’2(t)+y’2(t) ≠ 0 t [α,β]. L – простая(не имеющая точек самопересечения), гладкая, незамкнутая кривая. Пусть – измеримое по Жордану мн-во в 1 – спрям-

ляемая кривая(можно измерить длину).

Рассмотрим разбиение = { }

опр. на [α,β].

Выберем точки [

, ],

̅̅̅̅̅

i 1, . . Получим разбиение (P, ). Таким отвечают

−1

точки ( ( ), ( )) L

Об.

- длина дуги. Точкам отвечают точки ( ), ( ) . Пусть

−1

на кривой L заданы непрерывные ф-ции P (x,y) и Q(x,y).

∆ = −

, = ( ), ∆ = −

= ( )

−1

Составим интегральные суммы: Ϭ1(P, , ) =

∑

( (

), ( ))

Ϭ2(Q, , ) = ∑

( (

), ( ))

Об. λ(P) = max , 1 i n

Опр. 1 Если

lim

[

lim

], то он наз-ся криволинейным инт-лом II рода от

( ) 0

ф-ции P(x,y) [Q(x,y)] по кривой L и обозначается:

lim

Ϭ =

∫/ ( , ) ,

lim

= ∫/ ( , )

( ) 0

Сумма ∫/

( , ) + ( , ) наз-ся общим криволин. инт-лом II рода.

Физический смысл

(

)

(

)

{ (

)

(

)}

A = ∫ (

, ) ,

= { , } - работа силы вдоль кривой.

Т 2.2

Пусть

1): {x=x(t) , y=y(t)}, t [α,β]. x(t),y(t) C1[α,β]. x’2(t)+y’2(t)≠0 t [α,β].

2)Q(x,y), P(x,y) непрерывные на , – простая, незамкнутая, спрямляемая(измеряемая) кривая.

Тогда криволинейные интегралы 2 рода и справедливо р-во:

∫/	( , ) =		∫β/	( ( ), ( )) ′( )			(2)
	∫/		α		∫β/
	∫/	( , ) =			∫β/	( ( ), ( )) ′( )	(2')
					α

Докажем (2) ( (2’) аналогично)

► Отметим, что определенный интеграл Римана в правой части р-ва (2) , т.к. P(x(t),y(t)), x’(t) непрерывны на [α,β] . Рассмотрим разб. ( , ) отрезка [α,β] и со-

ставим

интегральную

сумму Ϭ(P, , ) = ∑

( ( ), ( )) . Учтем, что

∆ = −

= ( ) − (

) = ∫

′( ) .

−1

Получаем Ϭ(P, , ) = ∑

( ( ), ( )) ∫

′( )

−1

Применим св-во аддитивности:

I ≡ ∫αβ/ ( ( ), ( )) ′( ) = ∑ =1 ∫titi−1 ( ( ), ( )) ′( )

Составим разность:

| Ϭ(P, , ) − | =

= |

∑

∫

( ( ), ( )) ′( ) -

∑

∫

(

( ), ( )

)

′( )

ti−1

(св − во линейности)

= |

∑

∫

[

( ( ), ( )) − ∫

( )

) ] ′( ) |

ti−1

(св − во аддитивности )

∑

∫

| [ ( ( ), ( ))

− ∫

( )

) ] | | ′( )|

ti−1

I т.Вейерштрасса

x’(t) – ограничена на [α,β],

x`(t) C1[α,β] => x'(t) C[α,β] – непрерывна

т.е. > 0: ′( ) ≤ [ , ].

P(x(t), y(t)) непрерывна на [ , ]

т.Кантора

P(x(t),y(t)) равномерно непрерывна на

[ , ], т.е. ε>0 = (ε)>0 : | t| < | ( ( ), ( )) – ( (t), ( ))| <

. Заме-

( − )

тим, что λ( ) = max

→ 0

= max

→0 ;

= ∫

√

′2( )

′2(

)

−1

Т.о. ε>0 = (ε)>0 : ( , ): < | Ϭ(P, , ) − I| <

∑ =1 ∫ti−1

c =

◄

( − )

Замечание 1: Если – кусочно-гладкая, а Q и P – кусочно-непрерывная, то Т

2.2 остается в силе.

Замечание 2: : {y=y(x), x [a,b]}

∫ ( , ) + ( , ) = ∫[ ( , ( )) 1 + ( , ( )) ′( )]

Замечание 3: Крив. интеграл II рода, в отличие от I, зависит от того, в каком

направлении протекает кривая .

∫ ( , ) + Q(x, y)dy = −

∫ ( , ) + Q(x, y)dy

Если – замкнутая, то Т 2.2 остается в силе. Но за направление принимаем такое, чтобы область, лежащая внутри контура, оставалась слева.

Замечание 4. В силу Т 2.2, крив. интеграл II рода имеет св-ва:

1)Линейность (+)

2)Аддитивность (+)

3)	Св-во с модулем	вообще говоря, не выполняется
4)	Формула среднего значения

33. Формула Грина.

Опр. Область σ̅ называется односвязной, если её граница является замкнутой кривой Опр. Область σ̅ 2 называется простейшей, если она одновременно:

1)Односвязна;

2)Ограничена;

3)прямая, || осям координат и пересекающая область σ̅, пересекается с ней по некоторому отрезку;

4)Её граница ∂σ непрерывно-кусочно гладкая кривая, т.е. ∂σ состоит из конечного числа гладких кривых.

Опр. Область ̅σ 2 называется простой, если её можно представить в виде объединения конечного числа простейших областей

Т 2.3. Формула Грина Пусть σ простая область и =∂σ-граница области σ̅ с положительным

направлением её обхода. Пусть ф. P(x, y) и Q(x, y) непрерывна вσ̅ и имеет в σ̅

непрерывные частные производные ∂P и ∂Q, тогда

∂y ∂x

P(x, y)dx + Q(x, y)dy= ∫ ∫ (∂Q∂x , ∂P∂y) dx dy

►1) Для простейшей области

Рассмотрим:

y2(x)

-∫ ∫ (

∂P

) dx dy = - ∫b dx ∫

∂P

dy=-∫b dx P(x, y)|y2(x)

∂y

(x)

y1(x)

-(∫

(

= − ∫

(

)

+ ∫

(

)

( , y2( ))-P(x, y1( ))) = По Т2.2)

ABC

CDA

∫ CDA ( , ) + ∫ ABC ( , ) = P(x, y) dx

Аналогично:

			x2(y)
∫∫ (	∂	) dx dy=∫d dy ∫		∂Q	dx=
∫∫ (		) dx dy=∫d dy ∫			dx=
σ	∂x	c	x (y)	∂x
			1

=(∫cd (x2( ), )-Q( 1( ), ) = (по Т 2.2 о криволинейном инт − ле 2 рода) =

= ∫ CD ( , ) + ∫ DAB ( , ) = Q(x, y) dy

Складывая, получим формулу Грина

2) Пусть теперь ̅σ-простая область, состоящая из 2-ух простейших областей:

̅σ = ̅σ1 ̅σ2(не имеет общих внутренних точек)

Об. =∂σ

=∂σ1=∂σ1

+ = ∫ ABC( + ) + ∫ ( + ) =

∫ −//− … +∫ −//− … +∫ CA −//−… +∫ −//− … = 1

… 2

По 1) Т 2.3.

+ =

(

−

)dxdy

+ =

(

−

)dxdy

∫

( , ) + ( , ) = 1

+ + 2

+ = 1(

−

) +

(

−

) =(аддитивная кривая и интегр. ̅σ)= (

−

)dxdy

По индукции Т2.3 распространяется на простую область ◄

Следствие: Пусть ф. P(x,y) и Q(x,y) на обл. σ уд. Условиям Т 2.3. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

I.Для замкнутого контура σ, ( , ) + ( , ) = 0

II.Для точек A,B σ ∫AB ( , ) + ( , ) не зависит от пути интегр.

III.Выражение ( , ) + ( , ) является полным дифференциалом, т.е.

в обл. σ ф. U(x,y): dU(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy ∫AB ( , ) +

( , ) = ∫AB =U(B)-U(A)
IV. Пусть обл. σ-односвязна =	( , ) σ

34. Понятие поверхности. Площадь поверхности. Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла.

Пусть в замкнутой области ̅σ 2 заданы 3 непрерывные функции: x=x (U, V),y=y (U, V),z=z (U, V) (1)

Опр. Множество P= {(x(U, V), y(U, V), z(U, V)): (U,V) ̅σ 2} точек 3х-мерного про-

странства, координаты которых задаются уравнениями (1), будем называть простой параметрически-заданной поверхностью если различным (U, V) σ̅ соответ-

ствуют различные (x, y, z) P(непрерывное взаимнооднозначное соответствие

(σ̅ 2 → P 3)

Опр. Поверхностью будем называть объединение конечного числа простых поверхностей

Уравнение поверхности в векторной форме:

Радиус-вектор r̅=i̅x+ j̅y+kz

		(x, y, z) P, учитывая (1) получаем
x		̅
x	y	r̅(U,V)= i̅x(U,V)+ j̅( , )+kz(U,V) (2),
где	y	r̅(U,V)-векторная функция двух аргументов (U,V)
где		r̅(U,V)-векторная функция двух аргументов (U,V)
Пусть, ф-ии		x=x(U, V), y=y(U, V), z=z(U, V) непрерывно дифф. В ̅σ.

Тогда r̅(U,V0), при фиксированном V=V0 становится непрерывно-дифф. кривая на поверхности P (коорд. линия)

′	′	̅	′	. Аналогично при фиксирован-
Касательный вектор этой кривой r̅=i̅	+j̅	+k		. Аналогично при фиксирован-
u

ном U=U0 ур-е r̅(U0,V)-определяет другую координатную линию( непрерывно-

	′	′	̅	′	. В точке
дифф. кривую на P, её касательный вектор имеет вид r̅=i̅		+j̅	+k		. В точке

0(x0, y0, z0), где x0 = (U0, V0), y0=y(U0, V0), z0=z(U0, V0), обе эти координатные линии будут пересекаться.

Опр. Точка параметрически заданной поверхности наз-ся особой, если в этой

′

̅′



′

̅′

и . Отметим, что точка не является особой

точке вектора

[ , ] ≠0.

Опр. Если поверхность P задана уравнением (1) и формулой (2) непрервыно-дифф.

в σ и P не имеет особых точек, то она называется гладкой.

Если точка ̅ = r̅(U

̅′

, V ) определяют единственную плоскость, которая

, V ) и

является касательной плоскостью к поверхности P в точке μ0(x0, y0, z0)

′

̅′



′

̅′

Ур-е касательной плоскости r̅-r̅ , , - компланарны

(r̅-r̅ , , )=0 или

− x0

0−uy0

− z0

0 u

′

, V )

′

, V )

′

, V )

|=0

или

′

(U , V )

′

, V )

′

, V )

′

x-x

′

|+y-y

′

|+z-z

|=0

′

A( − x0)+B( − y0)+C(( − z0)=0 — касательная плоскость к поверхности P в точке μ0.

Нормаль к касательной пл. точки r̅(U0, V0) и единичный вектор нормали ̅ = { , , }

n̅ = ± {

;

}—направляющие косинуса.

2 2

√A

+B +C

√A

+B +C

√A

+B +C

Т.к. ф-и x=x(U, V), y=y(U, V), z=z(U, V) имеют непрерывные частные производные, то ABC-непрервные. В этом случае говорят, что на поверхности P задано непрерывное поле нормалей.

Площадь поверхности

Пусть P-гладкая огр. поверхность, разобьём её с помощью кусочно-гладких кри-

̅̅̅̅̅

вых на конечное число n частей Pi=(i = 1, n) так, чтобы каждая часть Pi однозначна проектировалась на касательную пл-ть, проведённую в точку Pi(предполагается, что такое рубление возможно)

На каждой части Pi выберем произв. точку μ и проведем через неё касательную плоскость к поверхности. Пусть S −площадь проекции Pi на касат. плоскость(эта проекция огранич. Кусочно-гладкими кривыми измеримо по Жордану)

n	̅̅̅̅̅
Составим сумму: σ( , М)=∑i=1	Si Об. λ = max di-диаметр Pi, i = 1, n

Опр. Если lim σ( , М)= (P)=S, то он называется площадью поверхности P, а по-

λ→0

верхность P называется квадрируемой(измеримой)

Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла Разобьем плоскость (U, V) линиями U=const, V=const прямоугольники. Рассмотрим прямоугольник Пi с вершиной в точке(U0, V0) и длинами сторон U и V, тогда прямоугольнику Пi при отображении (1) отвечает образ: криволинейный четырёхугольник на P заменяем приближенно криволинейный 4x-угольник паралле-

̅′

V. Получим для площади паралле-

лограммом, построенном на векторах

лограмма S

̅′

]| (П

̅′

]| U V=

= |[

V]|= |[

V=|[

) или dS=|[

i̅

j̅

̅′

′

+ C

]=|

=|i̅ + j̅B + k | U V=√A + B

U V (т.к.[

′

S= dS= √A2

+ B2

+ C2

U V

Используя соотношение |[a̅, b]|

+|(|(a, b)|

=|a̅|

|b|

̅′

̅′ 2

̅′

̅′ 2

=( )

( )

, ) =EG-F

̅′

′

′ 2

S= √EG − F

U V

E=(

) =x

Явное задание поверхности:

z=f(x,y), (x,y) σ {

(подставим (1))

= ( , )

i̅

j̅

̅′

′2

′

√

′

+ B

+ C

]|=||1

+ 1

√A

=|[

||=|i̅(-

)+ j̅(-

)+ k|=

′

S= √1 + ′ 2

+ ′

2dxdy

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Билеты

#
20.12.202460.8 Mб1Билеты ВТА.pdf
#
20.12.20248.88 Mб1матан 3 семестр.pdf
#
20.12.202417.53 Mб1Матан 3 семестрр.pdf
#
20.12.20241.22 Mб3матан.pdf
#
20.12.202478.05 Mб1Математический анализ Ф3 Леонов.pdf