Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Векторный и тензорный анализ

Файл:

Билеты / матан

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.12.2024

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Тогда в т. х интеграл Фурье ф. ƒ(x) сходится к

ƒ(x+0)+ƒ(x−0)

, т.е.

∞

(

)

ƒ(x+0)+ƒ(x−0)

(ƒ(x), в т. непрерывности).

lim

∫

( − ) =

А→+∞

−∞

►без док-ва◄

Интеграл Фурье для четной и нечетной функции

Пусть ƒ(x) удовлетворяет всем условиям Т о поточечной сходимости

Если ƒ(x) − четная, то

∫

∞

(

)

d =0

и ƒ(x) = ∫

∞

и ƒ(x)

= ∫

∞

−∞

Преобразование Фурье. Интеграл Фурье в комплексной форме Пусть ƒ(x) удовлетворяет всем условиям Т о поточечной сходимости

=> ƒ(x)= 1 ∫0+∞ ∫−∞∞ ƒ( ) ( − )

Введем функцию:

F(λ)= 1 ∫−∞∞ ƒ( ) ( − ) – четная относительно λ: F(-λ)=F(λ)

=> ƒ(x) = ∫0∞ F( ) = 12 ∫0∞ F( ) => ƒ(x)= 21 ∫−+∞∞ ∫−∞∞ ƒ( ) ( − ) (*)

Введем функцию:

Ф(λ)= 1 ∫−∞∞ ƒ( ) ( − ) – нечетная относительно λ: Ф(-λ)=-Ф(λ)

=> ƒ(x) = ∫∞

Ф( ) =

∫∞ F( )

=> ƒ(x)=

∫−+∞∞ ∫−∞∞ ƒ( ) ( − ) =0 (**)

(*)+(- )(**):

ƒ(x)=

∫+∞ ∫∞

ƒ( ) ( ( − ) − ( − ))

ф. Эйлера

∫+∞

∫∞

ƒ( ) − ( − )

= 2

−∞

Интеграл Фурье в комплексной форме преобразуем следующим образом:

ƒ(x) = 21 ∫−+∞∞ ∫−∞∞ ƒ( ) − =21 ∫−+∞∞ − ∫−∞∞ ƒ( ) − = √21 ∫−∞∞ − (√21 ∫−∞∞ ƒ( ) − ) = √21 ∫−∞∞ F( ) −

Опр. 1 Ф-ия F(λ)= √21 ∫−∞∞ ƒ( ) − называется преобразованием Фурье функ-

ции ƒ(x). Об. F(λ)=F[ƒ]

Опр. 2 Преобразование ƒ(x) = √21 ∫−∞∞ F(λ) − х , где F(λ)=F[ƒ] называется об-

ратным преобразование Фурье Об. F−1[ƒ]

Замечание: Интегралы в опр. 1 и опр. 2, несмотря на внешнее сходство, существенно различаются. В Опр1 интеграл сходится для абс. интегральной функции ƒ(x), т.к. − х = 1 и это есть просто определение функции F(λ).

В опр. 2 интеграл нужно понимать в смысле главного значения (ƒ(x) =

1	lim	∫	F(λ) − х и в этой формуле содержится уже утверждение о том, что

√2	→+∞	−
1	∫∞ F(λ) − х существует и совпадает с функцией ƒ(x)).

√2	−∞

24. Теорема о поточечной сходимости интеграла Фурье.

Т3.5

Пусть f(x):

1)Абсолютно интегрируема на (-∞;∞);(В случае абсолютной сходимости интеграла от функции говорят, что функция f(x) абсолютно интегриру-

ема на [a,b] .)

2)Кусочно-непрерывна на любом конечном промежутке (имеет конечное число точек разрыва);

3)Удовлетворяет в т. Х условию Гельдера с показателем α (

0<α<1 )

( > 0: | ( + ) − ( )| < )

Тогда в т. х интеграл Фурье ф. f(x) сходится к

( +0)+ ( −0)

т.е.

∞

( )

(

)

( +0)− ( −0)

lim

∫

−

=f(x) в т. непрерыв-

→+∞

−∞

ности.

►без док-ва◄

25.Интеграл Фурье в комплексной форме. Преобразование Фурье.

Пусть (x) удовл. всем условиям Т 3.5 Теорема о поточечной сходимости интеграла Фурье. =>

( ) =

+∞

∞

∫

( ) ( − )

−∞

ф ( ) =

∫−∞∞ ( ) ( − ) – четная по λ ( (− ) = ( )) =>

( ) = ∫0+∞ ( ) =

∫−∞∞ ( ) => ( ) =

∫−+∞∞ ∫−∞∞ ( ) ( − )

( )

ф Ф( ) =

∫−∞∞ ( ) ( − ) –нечетная отн λ (Ф(− ) = −Ф( )) =>

∫−∞∞ Ф( ) = 0 =>

∫−+∞∞ ∫−∞∞ ( ) ( − ) = 0

( )

( ) + (− )( )

( ) =

∫−+∞∞ ∫−∞∞ ( )( ( − ) − sinλ( − )) =

∫∞ ∫∞ ( ) − ( − )

−∞

– интеграл Фурье в комплексной форме

Преобразуем следующим образом:

∞

( ) =

∫

( ) − =

∫ (∫

( ) − ) =

−∞

∞

−∞

∞

∫

(

∫

( ) − ) =

∫

( )

√2

−∞

√2

−∞

√2

−∞

( )

(

)

∞

−

Опр. 1 Функция

= √2

∫−∞ ( )

наз преобразование Фурье функции

(x):

Об. ( ) = [ ]

(

)

∞

(

)

Опр. 2

Преобразование

√2 ∫−∞ ( )

, где

= ( ) наз. обратным

преобразованием Фурье Об. −1[ ]

Замечание: Интегралы в опр. 1 и опр. 2, несмотря на внешнее сходство, существуют различия. В опр. 1 сх-ся для абс инт функции (x), | − | = 1 и это есть

определение функции (λ). В Опр2 интеграл нужно понимать в смысле главного значения:

	1
( . . : ( ) =	1	lim ∫ ( ) )
( . . : ( ) =		lim ∫ ( ) )
	√2 →∞ −				∫
и в этой формуле уже содержится утв. о том, что				1		( ) существует и
и в этой формуле уже содержится утв. о том, что						( ) существует и
			√2		−

совпадает с ф (x).

26. Измеримые по Жордану множества. Множество меры нуль в смысле Жордана. Мера Жордана измеримого множества.

Пусть n – n мерное измеримое координатное пространство точек x = {x1, x2, … xn}. Опр. 1 Мн-во B = {x n ai ≤ xi ≤ bi, i = 1, n} называется n-мерным параллелепипедом или n-мерным брусом.

n = 2, двумерный брус – прямоугольник n = 3, трехмерный брус – параллелепипед

Опр. 2 Мерой (объемом) n-мерного бруса B называется число μ(B)=(b1-a1)(b2-a2) …

(bn-an)

n = 2, μ(B)=(b1-a1)(b2-a2) – площадь прямоугольника

n = 3, μ(B)=(b1-a1)(b2-a2)(b3-a3) – объем параллелепипеда

Некоторые свойства меры

1)μ(B)≥0 и μ(B)=0 только если при некоторых i, ai=bi, i = 1, n. Следует из опр.

1-2.

2)Аддитивность

Если мн-во B1, B2, … Bm таковы, что B= =1 B и Bi i = 1, n не имеют попарно общих внутренних точек, то μ(B)=∑=1 μ(B ).

3)Если B =1 B , то μ(B)≤∑=1 μ(B ).

Опр. 3 Конечное или счетное мн-во n-мерных брусов B1, B2, … Bm называется покры-

тием мн-ва А n, если А =1 B .

Очевидно, что если мн-во А допускает конечное покрытие, то оно ограничено и наоборот, если мн-во А ограничено, то оно имеет конечное покрытие n- мерными брусами, в частности оно может быть покрыто одним брусом.

Опр. 4 Мн-во А n называется мн-вом меры нуль в смысле Жордана, если ε>0

его	можно покрыть конечной системой n-мерных брусов B1, B2, …		Bm :
∑	μ(B ) < ε.
=1		∑	μ(B ),
Опр. 5 Верхней мерой Жордана мн-ва А n называется число μ*(А)=inf		∑	μ(B ),
		=1

где точная нижняя грань берется по всевозможным покрытиям n-мерными бру-

сами B1, B2, … Bm : А =1 B .
Опр. 6 Нижней мерой Жордана мн-ва А n называется число μ*(А)=sup∑=1		μ(B ),
где точная верхняя грань берется по всем объединениям =1	B , таким что

=1 B А и два бруса не имеют общих внутренних точек. Из опр. 5-6 и св-в меры ясно, что А n μ*(А) ≤ μ*(А).

Опр. 7 Если мн-во А обладает св-ом μ*(А) = μ*(А), то оно называется измеримым по Жордану, а число μ(А) = μ*(А) = μ*(А) называется мерой Жордана мн-ва А.

Справедлива следующая теорема.

Для того, чтобы мн-во А n было измеримо по Жордану, необходимо и достаточно, чтобы мера Жордана мн-ва граничных точек мн-ва А была равна нулю.

► без док-ва ◄

27. Определение кратного интеграла по измеримому множеству. Свойства кратных интегралов.

Опр. 8 Диаметром мн-ва А n называется число d(A)=sup (x`, x``), x`, x`` A.

` ``	√	(	`	``	2	+ (	`	``	)	2	+ + (	`	`` 2
(x , x )=		(		−	)	+ (		−	)		+ + (		−	)
		1		1		2		2

ОПР. Пусть мн-во А n измеримо по Жордану и заданы измеримые по Жордану подмножества Аi A, i={1, ... ,m} такие что А= =1 Аi и μ(Аi Aj)=0 i,j={1, ...

,m}(т.е. попарно не имеют общих внутренних точек). Тогда мн-ва А1, А2, … Аm называются разбиением мн-ва А.

Об. P={ } =1

В каждом Аi выберем точку i Аi. Получим разбиение Р с выбранными точками (Р,

Пусть задана ф-ия f: A f(x)=f(x1, x2, … xn)

Опр.

Число I называется n-кратным интегралом Римана по мн-ву А от ф-ии f(x), если

ε>0 = (ε)>0 : разбиения (Р, ) : (Р)=max d(Ai) < :
\|I – ∑	( ) μ( )\| < ε или I= lim			∑	( ) μ( )
=1	i		(Р) 0	=1	i
Ϭ(f, P, ) = ∑			(Р) 0
Ϭ(f, P, ) = ∑		( )μ( ) – интегральная сумма
	=1	i
Об. I обозначается символом I=∫/ ( ) = … ∫						( , … ) , …
			А			1 1
			А
n = 2, ( 1, 2) 1 2 двойной интеграл
n = 3, ( 1, 2, 3) 1 2 3				тройной интеграл

При этом f называется интегрируемой ф-ий по мн-ву А и об. f (А)

Кратные интегралы Римана обладают теми же св-ми, что и обычные интегралы Римана.

1)Линейность

Пусть ф-ии f, g (А), А n – измеримое мн-во, , - произвольные числа. Тогда ( f(x)+ g(x)) (А), причем выполняется неравенство

∫\(α ( ) + β ( )) =∫/ α ( ) + ∫| β ( )

из опр.

2)Аддитивность

Пусть A1, A2, A n – измеримы по Жордану, А=A1 A2 и A1 A2=0.

Тогда если f(x) интегрируема на A1 и на A2, то она интегрируема и на А и спра-

ведливо

∫\	( ) =∫/ ( ) + ∫\|		( )
	1	2

3)Оценка по модулю

Если f (А), то |f | (А) A n – измеримо по Жордану и выполняется не-

равенство

\ \

| ∫ ( ) | ≤ ∫ | ( )|

4)	Если f, g (А) и х А f(x) ≤ g(x), то
	\	\
	∫ ( ) ≤ ∫ ( )

5)	Если f (А), A n – измеримо по Жордану и х А m≤ f(x) ≤ M, то

mμ(А)≤ ∫\ ( ) ≤ M μ(А)

6)Если f С(А), A n – измеримо по Жордану, то А

∫ ( ) = ( ) ( )

28. Суммы Дарбу. Критерий интегрируемости Дарбу. Классы интегрируемых функций.

Пусть A n – измеримо по Жордану

P={ } =1 − разбиение мн-ва А, f:A mi= ( ), Mi= ( )

Опр. Величины s(f, P) =∑	m μ(A	), S(f, P)= ∑	M μ(A	), называются соот-
=1	i i	=1	i i

ветственно нижней и верхней суммами Дарбу, отвечающие разбиению Р. Свойства сумм Дарбу

1)s(f, P) = inf Ϭ(f, P, ) ≤ Ϭ(f, P, ) ≤ sup Ϭ(f, P, ) = S(f, P).

Док-во следует из опр. интегральной суммы, s(f, P), S(f, P), inf, sup.

2)Если P` - измельчение разбиения Р (P P`) мн-ва А, то s(f, P) ≤ s(f, P`) ≤ S(f, P`) ≤ S(f, P)

Док-во следует из опр. s(f, P)и S(f, P).

3)Для пары разбиений Р1, Р2 мн-ва А

s(f, P1) ≤ S(f, P2)

Для док-ва рассматривается разбиение Р=Р1 Р2, тогда Р можно рассматривать как измельчение Р1, Р2. Тогда (2) (3).

4)Опр. Нижним и верхним интегралами Дарбу от ф-ии f:A называются ве-

личины I=supP s(f, P), I=inf̅ P S(f, P)

s(f, P) ≤ I ≤ I ≤ S(f, P)

Док-во из определения I, I̅и из (3).

5)Лемма Дарбу

lim ( , ) = I

(Р) 0

lim ( , ) = I̅

(Р) 0

► без док-ва ◄ Необходимое условие интегрируемости

f (А), где A n – измеримо по Жордану f ограничена на А (замкнутое мн-во).

1.1 Критерий интегрируемости Дарбу

Для того чтобы огр. ф-ия f:A , где A n – измеримое по Жордану мн-во, была интегрируема на А необходимо и достаточно, чтобы I=I̅

►

f (А) lim Ϭ( , , ) = I,

(Р) 0

т.е. >0 >0 (P, ): (P)< |Ϭ( , , ) – I|< или

I– < Ϭ( , , )<I+

I– <s(f, P)< Ϭ( , , )<S(f, P)<I+ lim(S-s)=0

Из опр. I и I из св-в сумм Дарбу (1) и (5) следует утв. I=I.̅

I=I.̅

Т.к. s(f, P) Ϭ( , , ) S(f, P), тогда по лемме Дарбу левая и правая части нер-ва при (P) 0 стремятся к одному и тому же пределу I=I=I.̅Тогда (по теореме о промежуточной ф-ии) и средняя часть нер-ва тоже стремится к I.

lim Ϭ( , , ) = I f (А).

(Р) 0

◄

1.2 Критерий интегрируемости (другая формулировка)

Для того чтобы ограниченная на измеримом мн-ве A n ф-ия f:A R была интегрируема необходимо и достаточно, чтобы lim ( , ) − ( , ) = 0.

(Р) 0

► аналогично Т 1.1 ◄

1.3

Для того чтобы ф-ия f:A R, где A n измеримое по Жордану мн-во, была интегрируема необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченна и непрерывна всюду, кроме мн-ва меры нуль (почти всюду).

►без док-ва ◄

29.Теорема Фубини

1.4 Фубини

Пусть 1) мн-фо n-1 – измеримо по Жордану;

2)ф-ии 1: → и 2: → - непрерывны на ;

3)мн-во A n:

А={(x,y) n: x , 1(x)<y< 2(x)}

Тогда мн-во А – измеримо по Жордану и если f (А), то кратный интеграл Римана

		1			1			2( )
		∫ ( ) = ∫				∫				( , )
								1( )
					или
1
∫ ( , , …		, ) …			=
1 2	−1	1	2	−1
	1			( , ,…						)
	1			( , ,…						)
				2	1		2	−1		( , , …		, )
	= ∫ …			∫						( , , …		, )
		1 2	−1							1 2	−1
				( ,		2	,…	−1	)
				1	1	2		−1

►

Док-во в 2 этапа.

Пусть мн-во =Bn-1 – (n-1)-мерный брус А=В={(x,y) n: x Bn-1, с<y<d}

Любое разбиение Р n-мерного бруса Bn-1 порождается разбиениями Рх и Ру бруса Bn-1 и [c, d] соответственно.

Пусть Bn-1 разбито на l частей, а [c, d] на m частей, получим l m n-мерных брусов

Вij, где i={1, … l} и j={1, … m}, которое есть разбиение Р из мн-ва А.

При этом μ(Вij)=μ( −1) yj, где yj=yj - yj-1, y0=c, ym=d.

Об. mij=

( , ), Mij=

( , )

Пусть (Рх, ) – разбиение Bn-1 с выбранными точками в −1

| ∫

mij f( i, у) Mij

(при этом yj-1 y yj)

∫

m ∫

f( , у) ∫

−1

mij yj

f( i

, у) Mij yj

| =1\

∫ −1

∑

m y

∫ f( , у) ∑

M y

| μ( −1)

| ∑

∑ m y

μ(Bn−1) ∑ F( )μ(Bn−1) ∑ M y

μ(Bn−1)

ij j

s(f, P) Ϭ( , , ) S(f, P)

перейдем к пределу при (P) 0

Т.к. f (В), то

lim

( , ) =

lim

( , ) = ∫\ ( , ) =

(Р) 0

Следовательно,

lim

Ϭ( , , )

(Р) 0

Т.е. F(x) (Вn-1)

Следовательно, по опр. интеграла по Риману

1	\	1
∫ ( , ) = ∫		( ) = ∫	∫ ( , )
	−1	−1

Вернемся к условиям теоремы А n n-1 – произв.

Заключим А в n-мерный брус В={(x,y) n: x Bn-1, с<y<d} и введем в нем ф-ию

( , )при ( , ) F(x,y)={ 0 при ( , ) \ }

	1		1					1					1
	∫ ( , ) = ∫ ( , ) + ∫								( , ) = ∫ ( , )
								\
x Bn-1
∫ ( , ) = ∫ 1( )			( , ) + ∫ 2( )			( , ) + ∫					( )	( , ) = 0 +
				( )							( )
∫ 2( )	( , ) +0=∫ 2( ) ( , )				1					2
∫ 2( )	( , ) +0=∫ 2( ) ( , )
( )		( )
1			1
Используя I
			1				1
			∫ ( , ) = ∫						∫ ( , )
							−1
			1				1
			∫ ( , ) = ∫						∫ ( , )
							−1
			1				1		1( )
			∫ ( , ) = ∫ ∫							( , )
									2( )
													◄
	Следствие 1
Если А=В={х n : ai xi bi}
	∫	1								( , … ,			)
	∫		( ) =∫	1	∫		2		∫	( , … ,			)
				1	1		2	2		1
				1			2

Получим последовательное применение т. Фубини Т 1.4

Следствие 2

Пусть D и A удовлетворяют усл. Т Ф., тогда

μ(A)=∫/ ( 2( ) − 1( ))

f: A />1

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Билеты

#
20.12.202460.8 Mб1Билеты ВТА.pdf
#
20.12.20248.88 Mб1матан 3 семестр.pdf
#
20.12.202417.53 Mб1Матан 3 семестрр.pdf
#
20.12.20241.22 Mб3матан.pdf
#
20.12.202478.05 Mб1Математический анализ Ф3 Леонов.pdf